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- En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, en physique classique, le plan ainsi que l'espace qui nous entoure. Un espace euclidien permet également de traiter les dimensions supérieures ; il est défini par la donnée d'un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, muni d'un produit scalaire, qui permet de « mesurer » distances et angles. La donnée d'un produit scalaire permet par exemple de définir la notion de bases particulières dites orthonormales, d'établir une relation canonique entre l'espace et son dual, ou de préciser des familles d'endomorphismes faciles à réduire. Il permet aussi de définir une norme et par conséquent une distance donc une topologie, ce qui met à disposition les méthodes d'analyse. Les espaces euclidiens possèdent une longue histoire ainsi que de nombreuses applications. Les relations entre cet outil et le reste des mathématiques sont multiples et variées, depuis la logique et l'algèbre jusqu'aux géométries non euclidiennes. Cet aspect est traité dans l'article « Géométrie euclidienne ». (fr)
- En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, en physique classique, le plan ainsi que l'espace qui nous entoure. Un espace euclidien permet également de traiter les dimensions supérieures ; il est défini par la donnée d'un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, muni d'un produit scalaire, qui permet de « mesurer » distances et angles. La donnée d'un produit scalaire permet par exemple de définir la notion de bases particulières dites orthonormales, d'établir une relation canonique entre l'espace et son dual, ou de préciser des familles d'endomorphismes faciles à réduire. Il permet aussi de définir une norme et par conséquent une distance donc une topologie, ce qui met à disposition les méthodes d'analyse. Les espaces euclidiens possèdent une longue histoire ainsi que de nombreuses applications. Les relations entre cet outil et le reste des mathématiques sont multiples et variées, depuis la logique et l'algèbre jusqu'aux géométries non euclidiennes. Cet aspect est traité dans l'article « Géométrie euclidienne ». (fr)
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| prop-fr:contenu
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- * Unicité , pour tout n : (fr)
- Notons R la matrice de rotation plane d'angle π/2. Son image R par φ est d'ordre 4 donc de valeurs propres et , si bien qu'il existe une base dans laquelle la matrice de R est R. On munit V du produit scalaire pour lequel cette base est orthonormée. Pour tout élément f de O, les valeurs propres de g := φ sont de module 1 et le conjugué de R par g est R ou R — selon que f appartient à SO ou à son complémentaire — donc g est une isométrie de V .
** G est égal à O : (fr)
- Soit φ un isomorphisme de groupes topologiques de O dans G.
** Choix d'un produit scalaire pour lequel G est inclus dans O : (fr)
- Soient 〈⋅, ⋅〉 et 〈⋅, ⋅〉 deux produits scalaires sur V ayant même groupe orthogonal G, x un vecteur de norme 1 pour le premier, et R sa norme pour le second. Alors l'ensemble des vecteurs de la forme u quand u parcourt G est à la fois la sphère unité de 〈⋅, ⋅〉 et la sphère de 〈⋅, ⋅〉, de rayon R, d'où 〈⋅, ⋅〉 = R2〈⋅, ⋅〉.
* Existence, pour n = 2 : (fr)
- Par restriction, φ constitue une application continue injective de SO dans SO ou encore, un homéomorphisme du cercle unité dans une partie de ce cercle. Par des arguments élémentaires de connexité, cette partie est le cercle tout entier, autrement dit G contient SO. Comme remarqué précédemment, il contient aussi des isométries négatives de V. Il contient donc le sous-groupe engendré : O. (fr)
- * Unicité , pour tout n : (fr)
- Notons R la matrice de rotation plane d'angle π/2. Son image R par φ est d'ordre 4 donc de valeurs propres et , si bien qu'il existe une base dans laquelle la matrice de R est R. On munit V du produit scalaire pour lequel cette base est orthonormée. Pour tout élément f de O, les valeurs propres de g := φ sont de module 1 et le conjugué de R par g est R ou R — selon que f appartient à SO ou à son complémentaire — donc g est une isométrie de V .
** G est égal à O : (fr)
- Soit φ un isomorphisme de groupes topologiques de O dans G.
** Choix d'un produit scalaire pour lequel G est inclus dans O : (fr)
- Soient 〈⋅, ⋅〉 et 〈⋅, ⋅〉 deux produits scalaires sur V ayant même groupe orthogonal G, x un vecteur de norme 1 pour le premier, et R sa norme pour le second. Alors l'ensemble des vecteurs de la forme u quand u parcourt G est à la fois la sphère unité de 〈⋅, ⋅〉 et la sphère de 〈⋅, ⋅〉, de rayon R, d'où 〈⋅, ⋅〉 = R2〈⋅, ⋅〉.
* Existence, pour n = 2 : (fr)
- Par restriction, φ constitue une application continue injective de SO dans SO ou encore, un homéomorphisme du cercle unité dans une partie de ce cercle. Par des arguments élémentaires de connexité, cette partie est le cercle tout entier, autrement dit G contient SO. Comme remarqué précédemment, il contient aussi des isométries négatives de V. Il contient donc le sous-groupe engendré : O. (fr)
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| prop-fr:titre
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- Cours de mathématiques (fr)
- Preuve d'unicité et, pour n = 2, d'existence (fr)
- Cours de mathématiques : MPSI, PCSI, PTSI et MP, PSI, PC, PT (fr)
- Cours de mathématiques (fr)
- Preuve d'unicité et, pour n = 2, d'existence (fr)
- Cours de mathématiques : MPSI, PCSI, PTSI et MP, PSI, PC, PT (fr)
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| rdfs:comment
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- En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, en physique classique, le plan ainsi que l'espace qui nous entoure. Un espace euclidien permet également de traiter les dimensions supérieures ; il est défini par la donnée d'un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, muni d'un produit scalaire, qui permet de « mesurer » distances et angles. (fr)
- En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, en physique classique, le plan ainsi que l'espace qui nous entoure. Un espace euclidien permet également de traiter les dimensions supérieures ; il est défini par la donnée d'un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, muni d'un produit scalaire, qui permet de « mesurer » distances et angles. (fr)
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