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- Chaque partenaire « verse » au pot son résultat et « retire » sa part définie par
:.
La variabilité du résultat passe donc de à dont le rapport est bien le facteur . (fr)
- Considérons une formulation dans laquelle chaque partenaire , ayant défini sa propre variable d’espérance nulle, échange avec le pot un montant défini par
:
où la matrice est à déterminer.
À la suite d'une réalisation , le montant final effectif entre les mains du partenaire sera ainsi défini par
:
et la variable est bien d’espérance nulle.
La somme des montants échangés avec le pot doit être nulle dans tous les cas, ce qui implique la contrainte
:
où est le vecteur dont les composantes sont toutes identiques à 1.
Afin de tenir compte des tailles respectives des partenaires, considérons des pondérations .
L’idée consiste à déterminer qui minimise la fonction objectif scalaire
:
sous la contrainte .
La solution est donnée par
:
c'est-à-dire
:
Les éléments d’une colonne de sont identiques et les colonnes sont proportionnelles entre elles.
Il est remarquable de constater que les éléments de ne dépendent pas de la matrice de covariance des .
En fin de compte, le processus permet au partenaire de transformer son écart en un écart défini par
:
Le mécanisme naturel consiste simplement à choisir . (fr)
- Les résultats présentés ici constituent une simple illustration numérique du mécanisme à l’aide de données issues des publications de l’OCDE .
Les fonctions envisagées ici sont particulièrement simplifiées : elles ne tiennent compte que du ratio Dette / PIB noté . Si est la fonction générique donnant le taux d’emprunt en fonction du ratio , le coût annuel de la dette s’écrit
:
La fonction commune « arbitrairement » choisie est une fonction quadratique définie par les trois points :
vignette|centré|400px|Taux d’intérêt supposé pour une dette nationale en fonction du ratio d’endettement Dette / PIB
Sur cette base, l’application numérique fournit les résultats suivants :
vignette|centré|500px|Exemple d’exploitation de la synergie sur les coûts annuels des dettes de l’UE : avec les données et les hypothèses retenues, le bénéfice de synergie atteint 127.5 mia € par an et chaque pays membre trouve un bénéfice dans le partenariat (valeurs en rouge).
Ces tableaux indiquent les résultats suivants :
* Le coût annuel total du financement de la dette pays par pays atteint 964.6 G€.
* Le partenariat permet de réduire ce montant à 837.2 G€, soit un bénéfice de synergie de 127.5 G€ .
* Chaque membre retire un profit dans l’opération . Le profit attribué à un membre augmente non seulement avec sa taille, mais également lorsque ses caractéristiques s’écartent de la moyenne : la rémunération est favorable aux « bons » et aux « mauvais » élèves.
* Singulièrement atypique, la dette de la Grèce diminue d’un tiers.
* Certains membres sont parfois rémunérés : on peut considérer qu’il s’agit d’une rétribution associée à une forte contribution au bénéfice de synergie.
Note : afin de préserver l’homogénéité des données, certains membres de l’UE n’ont pas été pris en compte dans l’exemple car ils ne font pas partie de l’OCDE .
Élaboration concrète des résultats précédents :
Partant des dettes nominales , le problème consiste à
:Trouver le paramètre et les inconnues qui minimisent
:
Les conditions
:
et la relation
:
impliquent ainsi
:
Avec l’hypothèse de convexité de , il en découle que les sont tous égaux à une valeur , qui par la contrainte, ne peut que satisfaire
:
étant le ratio Dette / PIB de l’ensemble des partenaires, permet de déterminer la solution
:
:
puis la répartition stable suivante
: (fr)
- Supposons sans restreindre la généralité que : dans le cas contraire en effet, le pot est identiquement nul et les poids ne jouent ici aucun rôle.
Ainsi, par hypothèse, les indiqués existent, ils sont positifs ou nuls et de somme égale à 1.
Soit un ensemble d’indices correspondant à un sous-groupe. Afin de montrer que le sous-groupe n’a aucun intérêt économique à se séparer de l’ensemble, il suffit de vérifier que l’écart type de leur pot reste supérieur à la somme des écarts types des termes qu’ils retireraient dans le partage du pot de l’ensemble à l’aide les poids indiqués. Si
:
est le contenu du pot du sous-groupe, il s’agit ainsi de montrer :
:
Par l’inégalité triangulaire qui se vérifie pour l’écart type :
:. (fr)
- Existence d’une solution :
Les fonctions de la variable scalaire étant concaves, elles sont continues, tout comme la fonction définie sur le domaine qui est caractérisé par les contraintes. étant un espace fermé et compact, le théorème des bornes implique l’existence dans d’un point qui maximise .
Caractéristiques d’une solution :
En introduisant un multiplicateur de Lagrange , c'est-à-dire une variable supplémentaire, le problème de recherche du maximum peut se formuler de la manière suivante :
:Trouver le scalaire et les qui maximisent
:.
correspond au revenu marginal de l’ensemble des acteurs par rapport à la quantité de ressource totale disponible.
Méthode de recherche d’une solution :
La concavité des implique qu’elles sont dérivables, hormis en certains points sur lesquels des dérivées « à gauche » et « à droite » existent.
Pour simplifier, faisons abstraction de ces points de singularité. Les sont donc provisoirement supposées dérivables et ces dérivées sont décroissantes.
On peut finalement formuler le problème de la manière suivante :
:Trouver auquel on associe les définis par
# si ,
# si ,
# si ,
: satisfaisant .
Si les points de singularité des dérivées existent, avec les dérivées à gauche et à droite , la première condition s’écrit
# si .
Sous cette forme, il est facile de résoudre le problème en appliquant par exemple une méthode de bissection sur jusqu’à satisfaire la dernière contrainte. En effet, si augmente, les diminuent et réciproquement.
Autre propriété :
Par construction, la droite de pente passant par le point est une tangente à la courbe en ce point. Par concavité, cette droite se situe « au-dessus » du graphe de la fonction. (fr)
- Puisque la variabilité de chacun des partenaires du groupe est nulle, la stabilité au sein de ce groupe est assurée.
Vérifions la stabilité de la répartition au sein du sous-groupe :
En définissant pour tout ,
:.
Considérons un sous-groupe de et notons les scalaires d’appartenance valant 1 si est dans , 0 sinon. Il vient finalement
:
qui correspond à la condition de stabilité pour le sous-groupe . (fr)
- Soit un sous-groupe d’acteurs et les parts respectives conduisant au profit maximal que ces seuls acteurs peuvent obtenir en mettant en commun leurs parts contractuelles. Ainsi
: .
D’autre part, en reprenant la solution de l’ensemble des acteurs, la tangente étant située « au-dessus » de la fonction, il en découle
:
En sommant cette relation sur dans , il vient
:
Cette inégalité indique justement que le profit maximal que le sous-groupe peut obtenir à l’interne n’excède pas la somme des profits individuels que ses membres obtiendraient au sein de l’alliance globale . (fr)
- Exemple 1
Considérons 3 partenaires dont les variables sont les mêmes au signe près :
:
Dans la répartition « naturelle » de la synergie des risques, ils obtiennent un facteur puisque
:
Si les partenaires 2 et 3 se mettent ensemble, ils obtiennent et éliminent toute vulnérabilité au risque.
En fait, cet exemple n’est pas spécifique au mécanisme naturel car, avec les variables choisies, aucun mécanisme de répartition ne peut être stable. En effet, puisque les partenaires 1 et 3 sont parfaitement opposés et annulent leurs risques, ils ne devraient pas participer à la répartition du pot ; puisque, par symétrie, il en va de même pour les partenaires 2 et 3, il en découle qu’aucun partenaire ne devrait participer à vider le pot, ce qui ne convient pas.
Méthode de construction de variables aléatoires
En partant de vecteurs choisis arbitrairement dans un espace euclidien de dimension finie, il est facile de leur associer une matrice carrée de taille dont les composantes sont les produits scalaires deux à deux. Il est ensuite possible de construire un ensemble de variables aléatoires dont la matrice de covariance est précisément . Sans entrer dans tous les détails :
* est une matrice semi-définie positive qui se diagonalise sous la forme où est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres et où est une matrice orthogonale dont les colonnes contiennent les vecteurs propres correspondants.
*En partant de variables aléatoires supposées indépendantes, d’espérances nulles et de variances respectivement égales aux , les variables définies par ont précisément comme matrice de covariance.
Il est donc possible de proposer un exemple de variables aléatoires en donnant des vecteurs de et en égalisant les produits scalaires et les covariances. Sans confondre les concepts, on identifie les notations pour les vecteurs et les variables associées.
Exemple 2
Considérons ainsi 3 partenaires dont les variables sont associées aux vecteurs suivants :
:
On vérifie puis .
Pour les partenaires 1 et 2, leurs poids dans la répartition naturelle de sont tous deux égaux à , ce qui conduit à l’attribution globale d’un écart type atteignant alors que l’écart type de la somme est inférieur puisqu’il atteint : ces deux partenaires ayant ainsi intérêt à se séparer du , le mécanisme de répartition naturel est instable dans cette situation.
Alors que le calcul ci-dessus reste un peu laborieux, il est simple de constater dans la situation où les sont du même ordre de grandeur qu’il suffit que les variables de deux partenaires soient presque en opposition pour qu’ils aient intérêt à se retirer de partenariat. (fr)
- La formulation proposée ici passe par la résolution d’un problème de programmation linéaire mais, contrairement à la propriété précédente, le résultat ne donne pas de formules algébriques à partir desquelles les poids des partenaires peuvent être calculés explicitement.
Considérons partenaires dont chacun a choisi sa propre variable . Notons :
:
et supposons sans restreindre la généralité que .
Soit l’ensemble des sous-groupes non vides parmi les partenaires. À tout élément , notons les scalaires d’appartenance valant 1 si est dans , 0 sinon.
Considérons le problème suivant :
: Trouver les poids qui maximisent
:
: sous les contraintes
:
Les contraintes inégalités impliquent que le sous groupe correspondant à n’est pas incité à se séparer de l’ensemble ; ce sont précisément les conditions de stabilité.
Malgré le nombre élevé de contraintes , ce problème admet toujours une solution bornée :
* est une solution réalisable ;
* lorsque ne comprend que le partenaire , la contrainte inégalité correspondante implique et chaque poids est alors borné ;
* lorsque comprend tous les partenaires , la contrainte inégalité correspondante implique
Par conséquent :
* Si la solution de ce problème satisfait , elle caractérise des poids garantissant la stabilité.
* Si , il n’y a aucun moyen d’assurer une répartition stable. (fr)
- Chaque partenaire « verse » au pot son résultat et « retire » sa part définie par
:.
La variabilité du résultat passe donc de à dont le rapport est bien le facteur . (fr)
- Considérons une formulation dans laquelle chaque partenaire , ayant défini sa propre variable d’espérance nulle, échange avec le pot un montant défini par
:
où la matrice est à déterminer.
À la suite d'une réalisation , le montant final effectif entre les mains du partenaire sera ainsi défini par
:
et la variable est bien d’espérance nulle.
La somme des montants échangés avec le pot doit être nulle dans tous les cas, ce qui implique la contrainte
:
où est le vecteur dont les composantes sont toutes identiques à 1.
Afin de tenir compte des tailles respectives des partenaires, considérons des pondérations .
L’idée consiste à déterminer qui minimise la fonction objectif scalaire
:
sous la contrainte .
La solution est donnée par
:
c'est-à-dire
:
Les éléments d’une colonne de sont identiques et les colonnes sont proportionnelles entre elles.
Il est remarquable de constater que les éléments de ne dépendent pas de la matrice de covariance des .
En fin de compte, le processus permet au partenaire de transformer son écart en un écart défini par
:
Le mécanisme naturel consiste simplement à choisir . (fr)
- Les résultats présentés ici constituent une simple illustration numérique du mécanisme à l’aide de données issues des publications de l’OCDE .
Les fonctions envisagées ici sont particulièrement simplifiées : elles ne tiennent compte que du ratio Dette / PIB noté . Si est la fonction générique donnant le taux d’emprunt en fonction du ratio , le coût annuel de la dette s’écrit
:
La fonction commune « arbitrairement » choisie est une fonction quadratique définie par les trois points :
vignette|centré|400px|Taux d’intérêt supposé pour une dette nationale en fonction du ratio d’endettement Dette / PIB
Sur cette base, l’application numérique fournit les résultats suivants :
vignette|centré|500px|Exemple d’exploitation de la synergie sur les coûts annuels des dettes de l’UE : avec les données et les hypothèses retenues, le bénéfice de synergie atteint 127.5 mia € par an et chaque pays membre trouve un bénéfice dans le partenariat (valeurs en rouge).
Ces tableaux indiquent les résultats suivants :
* Le coût annuel total du financement de la dette pays par pays atteint 964.6 G€.
* Le partenariat permet de réduire ce montant à 837.2 G€, soit un bénéfice de synergie de 127.5 G€ .
* Chaque membre retire un profit dans l’opération . Le profit attribué à un membre augmente non seulement avec sa taille, mais également lorsque ses caractéristiques s’écartent de la moyenne : la rémunération est favorable aux « bons » et aux « mauvais » élèves.
* Singulièrement atypique, la dette de la Grèce diminue d’un tiers.
* Certains membres sont parfois rémunérés : on peut considérer qu’il s’agit d’une rétribution associée à une forte contribution au bénéfice de synergie.
Note : afin de préserver l’homogénéité des données, certains membres de l’UE n’ont pas été pris en compte dans l’exemple car ils ne font pas partie de l’OCDE .
Élaboration concrète des résultats précédents :
Partant des dettes nominales , le problème consiste à
:Trouver le paramètre et les inconnues qui minimisent
:
Les conditions
:
et la relation
:
impliquent ainsi
:
Avec l’hypothèse de convexité de , il en découle que les sont tous égaux à une valeur , qui par la contrainte, ne peut que satisfaire
:
étant le ratio Dette / PIB de l’ensemble des partenaires, permet de déterminer la solution
:
:
puis la répartition stable suivante
: (fr)
- Supposons sans restreindre la généralité que : dans le cas contraire en effet, le pot est identiquement nul et les poids ne jouent ici aucun rôle.
Ainsi, par hypothèse, les indiqués existent, ils sont positifs ou nuls et de somme égale à 1.
Soit un ensemble d’indices correspondant à un sous-groupe. Afin de montrer que le sous-groupe n’a aucun intérêt économique à se séparer de l’ensemble, il suffit de vérifier que l’écart type de leur pot reste supérieur à la somme des écarts types des termes qu’ils retireraient dans le partage du pot de l’ensemble à l’aide les poids indiqués. Si
:
est le contenu du pot du sous-groupe, il s’agit ainsi de montrer :
:
Par l’inégalité triangulaire qui se vérifie pour l’écart type :
:. (fr)
- Existence d’une solution :
Les fonctions de la variable scalaire étant concaves, elles sont continues, tout comme la fonction définie sur le domaine qui est caractérisé par les contraintes. étant un espace fermé et compact, le théorème des bornes implique l’existence dans d’un point qui maximise .
Caractéristiques d’une solution :
En introduisant un multiplicateur de Lagrange , c'est-à-dire une variable supplémentaire, le problème de recherche du maximum peut se formuler de la manière suivante :
:Trouver le scalaire et les qui maximisent
:.
correspond au revenu marginal de l’ensemble des acteurs par rapport à la quantité de ressource totale disponible.
Méthode de recherche d’une solution :
La concavité des implique qu’elles sont dérivables, hormis en certains points sur lesquels des dérivées « à gauche » et « à droite » existent.
Pour simplifier, faisons abstraction de ces points de singularité. Les sont donc provisoirement supposées dérivables et ces dérivées sont décroissantes.
On peut finalement formuler le problème de la manière suivante :
:Trouver auquel on associe les définis par
# si ,
# si ,
# si ,
: satisfaisant .
Si les points de singularité des dérivées existent, avec les dérivées à gauche et à droite , la première condition s’écrit
# si .
Sous cette forme, il est facile de résoudre le problème en appliquant par exemple une méthode de bissection sur jusqu’à satisfaire la dernière contrainte. En effet, si augmente, les diminuent et réciproquement.
Autre propriété :
Par construction, la droite de pente passant par le point est une tangente à la courbe en ce point. Par concavité, cette droite se situe « au-dessus » du graphe de la fonction. (fr)
- Puisque la variabilité de chacun des partenaires du groupe est nulle, la stabilité au sein de ce groupe est assurée.
Vérifions la stabilité de la répartition au sein du sous-groupe :
En définissant pour tout ,
:.
Considérons un sous-groupe de et notons les scalaires d’appartenance valant 1 si est dans , 0 sinon. Il vient finalement
:
qui correspond à la condition de stabilité pour le sous-groupe . (fr)
- Soit un sous-groupe d’acteurs et les parts respectives conduisant au profit maximal que ces seuls acteurs peuvent obtenir en mettant en commun leurs parts contractuelles. Ainsi
: .
D’autre part, en reprenant la solution de l’ensemble des acteurs, la tangente étant située « au-dessus » de la fonction, il en découle
:
En sommant cette relation sur dans , il vient
:
Cette inégalité indique justement que le profit maximal que le sous-groupe peut obtenir à l’interne n’excède pas la somme des profits individuels que ses membres obtiendraient au sein de l’alliance globale . (fr)
- Exemple 1
Considérons 3 partenaires dont les variables sont les mêmes au signe près :
:
Dans la répartition « naturelle » de la synergie des risques, ils obtiennent un facteur puisque
:
Si les partenaires 2 et 3 se mettent ensemble, ils obtiennent et éliminent toute vulnérabilité au risque.
En fait, cet exemple n’est pas spécifique au mécanisme naturel car, avec les variables choisies, aucun mécanisme de répartition ne peut être stable. En effet, puisque les partenaires 1 et 3 sont parfaitement opposés et annulent leurs risques, ils ne devraient pas participer à la répartition du pot ; puisque, par symétrie, il en va de même pour les partenaires 2 et 3, il en découle qu’aucun partenaire ne devrait participer à vider le pot, ce qui ne convient pas.
Méthode de construction de variables aléatoires
En partant de vecteurs choisis arbitrairement dans un espace euclidien de dimension finie, il est facile de leur associer une matrice carrée de taille dont les composantes sont les produits scalaires deux à deux. Il est ensuite possible de construire un ensemble de variables aléatoires dont la matrice de covariance est précisément . Sans entrer dans tous les détails :
* est une matrice semi-définie positive qui se diagonalise sous la forme où est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres et où est une matrice orthogonale dont les colonnes contiennent les vecteurs propres correspondants.
*En partant de variables aléatoires supposées indépendantes, d’espérances nulles et de variances respectivement égales aux , les variables définies par ont précisément comme matrice de covariance.
Il est donc possible de proposer un exemple de variables aléatoires en donnant des vecteurs de et en égalisant les produits scalaires et les covariances. Sans confondre les concepts, on identifie les notations pour les vecteurs et les variables associées.
Exemple 2
Considérons ainsi 3 partenaires dont les variables sont associées aux vecteurs suivants :
:
On vérifie puis .
Pour les partenaires 1 et 2, leurs poids dans la répartition naturelle de sont tous deux égaux à , ce qui conduit à l’attribution globale d’un écart type atteignant alors que l’écart type de la somme est inférieur puisqu’il atteint : ces deux partenaires ayant ainsi intérêt à se séparer du , le mécanisme de répartition naturel est instable dans cette situation.
Alors que le calcul ci-dessus reste un peu laborieux, il est simple de constater dans la situation où les sont du même ordre de grandeur qu’il suffit que les variables de deux partenaires soient presque en opposition pour qu’ils aient intérêt à se retirer de partenariat. (fr)
- La formulation proposée ici passe par la résolution d’un problème de programmation linéaire mais, contrairement à la propriété précédente, le résultat ne donne pas de formules algébriques à partir desquelles les poids des partenaires peuvent être calculés explicitement.
Considérons partenaires dont chacun a choisi sa propre variable . Notons :
:
et supposons sans restreindre la généralité que .
Soit l’ensemble des sous-groupes non vides parmi les partenaires. À tout élément , notons les scalaires d’appartenance valant 1 si est dans , 0 sinon.
Considérons le problème suivant :
: Trouver les poids qui maximisent
:
: sous les contraintes
:
Les contraintes inégalités impliquent que le sous groupe correspondant à n’est pas incité à se séparer de l’ensemble ; ce sont précisément les conditions de stabilité.
Malgré le nombre élevé de contraintes , ce problème admet toujours une solution bornée :
* est une solution réalisable ;
* lorsque ne comprend que le partenaire , la contrainte inégalité correspondante implique et chaque poids est alors borné ;
* lorsque comprend tous les partenaires , la contrainte inégalité correspondante implique
Par conséquent :
* Si la solution de ce problème satisfait , elle caractérise des poids garantissant la stabilité.
* Si , il n’y a aucun moyen d’assurer une répartition stable. (fr)
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