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- Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires. (fr)
- Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires. (fr)
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- La construction du produit tensoriel permet d'affirmer que est une application bilinéaire, que l'on note .
Montrons que ce module résout bien le problème des applications bilinéaires posé en introduction. Pour cela, donnons-nous une application bilinéaire . Comme le module C est libre, définir une application linéaire de C dans F revient à choisir l'image des éléments de la base canonique de C. On définit ainsi l'application par :
::
Mais, le fait que f soit bilinéaire implique que :
*
*
*
*
Donc le sous-module D est inclus dans le noyau de . On déduit par passage au quotient qu'il existe une application telle que :
::
De plus g est unique car les éléments de la forme engendrent .
Montrons finalement que est unique à un isomorphisme près, c'est-à-dire que s'il existe un module H tel que :
* Il existe une application bilinéaire .
* Si f : M × N → F est une application bilinéaire, il existe une unique application linéaire g : H → F telle que .
alors H est isomorphe à .
Si tel est le cas, comme est bilinéaire, il existe une application telle que . De même, comme est bilinéaire, il existe une application telle que . Donc et comme est aussi une application linéaire de dans vérifiant , on déduit d'après la propriété d'unicité que . De même . Donc et sont des A-modules isomorphes. (fr)
- La construction du produit tensoriel permet d'affirmer que est une application bilinéaire, que l'on note .
Montrons que ce module résout bien le problème des applications bilinéaires posé en introduction. Pour cela, donnons-nous une application bilinéaire . Comme le module C est libre, définir une application linéaire de C dans F revient à choisir l'image des éléments de la base canonique de C. On définit ainsi l'application par :
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Mais, le fait que f soit bilinéaire implique que :
*
*
*
*
Donc le sous-module D est inclus dans le noyau de . On déduit par passage au quotient qu'il existe une application telle que :
::
De plus g est unique car les éléments de la forme engendrent .
Montrons finalement que est unique à un isomorphisme près, c'est-à-dire que s'il existe un module H tel que :
* Il existe une application bilinéaire .
* Si f : M × N → F est une application bilinéaire, il existe une unique application linéaire g : H → F telle que .
alors H est isomorphe à .
Si tel est le cas, comme est bilinéaire, il existe une application telle que . De même, comme est bilinéaire, il existe une application telle que . Donc et comme est aussi une application linéaire de dans vérifiant , on déduit d'après la propriété d'unicité que . De même . Donc et sont des A-modules isomorphes. (fr)
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- Réponse à la question initiale (fr)
- Réponse à la question initiale (fr)
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- Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires. (fr)
- Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires. (fr)
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- Produit tensoriel de deux modules (fr)
- Tensorprodukt von Moduln (de)
- Produit tensoriel de deux modules (fr)
- Tensorprodukt von Moduln (de)
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