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- Soit un lagrangien . On suppose que l'on peut le réécrire comme où est une fonction quelconque des coordonnées généralisées et du temps . Dans ce cas, on a :
On peut réécrire la dérivée totale de comme :
Donc . On insère ceci dans l'équation d'Euler-Lagrange plus haut :
et ainsi, on voit que le lagrangien satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange. (fr)
- Le lagrangien électromagnétique se construit à partir de l'expression de la force de Lorentz qui est, rappelons-le, une force non conservative. Si elle ne dérive pas d'un potentiel classique, elle dérive en revanche d'un potentiel dit généralisé au sens des équations de Lagrange. Son énergie potentielle V satisfait en effet l'équation suivante :
La force de Lorentz a pour expression :
D'après Maxwell :
Donc :
donc il existe un potentiel tel que
donc : .
Or d'après la formule de Gibbs :
Posons : .
Déterminons :
:.
Or :
On peut remarquer au passage :
donc :
.
satisfait l'équation de Lagrange vue supra. est donc l'énergie potentielle relative à la force de Lorentz dont le lagrangien est . (fr)
- Cet encart propose de vérifier que le lagrangien
donne bien le principe fondamental de la dynamique pour une particule de masse m et de charge électrique q soumise à la force de Lorentz. Il constitue donc la démonstration dans le sens contraire de la précédente.
On écrit explicitement en coordonnées cartésiennes indicées
On a donc :
avec composante n°i du potentiel vecteur et
Évaluons les équations de Lagrange pour la composante n°1 :
Or la dérivée totale par rapport au temps de est égale à sa dérivée particulaire :
D'où l'expression de l'équation du mouvement pour la composante n°1 :
En simplifiant, il reste :
Avec et , on reconnait à droite de l'égalité l'expression de la première composante de la force de Lorentz. (fr)
- En partant des équations d'Euler-Lagrange de la densité lagrangienne originale, on a pour tout :
On peut réécrire la quadridivergence du vecteur comme :
Ainsi, en insérant cette identité dans l'équation du haut on obtient :
et ainsi, la densité lagrangienne satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que la densité . (fr)
- Soit un lagrangien . On suppose que l'on peut le réécrire comme où est une fonction quelconque des coordonnées généralisées et du temps . Dans ce cas, on a :
On peut réécrire la dérivée totale de comme :
Donc . On insère ceci dans l'équation d'Euler-Lagrange plus haut :
et ainsi, on voit que le lagrangien satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange. (fr)
- Le lagrangien électromagnétique se construit à partir de l'expression de la force de Lorentz qui est, rappelons-le, une force non conservative. Si elle ne dérive pas d'un potentiel classique, elle dérive en revanche d'un potentiel dit généralisé au sens des équations de Lagrange. Son énergie potentielle V satisfait en effet l'équation suivante :
La force de Lorentz a pour expression :
D'après Maxwell :
Donc :
donc il existe un potentiel tel que
donc : .
Or d'après la formule de Gibbs :
Posons : .
Déterminons :
:.
Or :
On peut remarquer au passage :
donc :
.
satisfait l'équation de Lagrange vue supra. est donc l'énergie potentielle relative à la force de Lorentz dont le lagrangien est . (fr)
- Cet encart propose de vérifier que le lagrangien
donne bien le principe fondamental de la dynamique pour une particule de masse m et de charge électrique q soumise à la force de Lorentz. Il constitue donc la démonstration dans le sens contraire de la précédente.
On écrit explicitement en coordonnées cartésiennes indicées
On a donc :
avec composante n°i du potentiel vecteur et
Évaluons les équations de Lagrange pour la composante n°1 :
Or la dérivée totale par rapport au temps de est égale à sa dérivée particulaire :
D'où l'expression de l'équation du mouvement pour la composante n°1 :
En simplifiant, il reste :
Avec et , on reconnait à droite de l'égalité l'expression de la première composante de la force de Lorentz. (fr)
- En partant des équations d'Euler-Lagrange de la densité lagrangienne originale, on a pour tout :
On peut réécrire la quadridivergence du vecteur comme :
Ainsi, en insérant cette identité dans l'équation du haut on obtient :
et ainsi, la densité lagrangienne satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que la densité . (fr)
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