| dbo:abstract
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- En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e. La notion de nombre réel émerge progressivement de la manipulation des rapports de grandeurs géométriques autres que les rapports d'entiers naturels depuis leur prise en compte par Eudoxe de Cnide au IVe siècle av. J.-C. Elle s'insère aussi dans l'approximation des solutions de problèmes algébriques et donne même lieu, au milieu du XIXe siècle, à la mise en évidence de nombres transcendants. Mais la définition des nombres réels n'est formalisée que quelques décennies plus tard avec les constructions de Dedekind d'une part et de Cantor et Méray d'autre part. L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, est alors un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d'ordre. Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l'analyse réelle. Enfin, cet ensemble est caractérisé par Hilbert comme plus grand corps archimédien. Dans la droite réelle achevée les valeurs infinies ne satisfont plus les règles opératoires de corps, l'extension au corps des nombres complexes rend impossible la relation d'ordre total compatible, tandis que l'analyse non standard adjoint des nombres infiniment petits qui invalident le caractère archimédien. L'adjectif « réel » est utilisé pour qualifier des nombres dès le XVIIe siècle, mais il n'est explicitement défini par opposition aux nombres imaginaires qu'à la fin du XIXe siècle Il a aussi été opposé à « nombre formel » dans certains traités de théologie ou de philosophie de la même époque. (fr)
- En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e. La notion de nombre réel émerge progressivement de la manipulation des rapports de grandeurs géométriques autres que les rapports d'entiers naturels depuis leur prise en compte par Eudoxe de Cnide au IVe siècle av. J.-C. Elle s'insère aussi dans l'approximation des solutions de problèmes algébriques et donne même lieu, au milieu du XIXe siècle, à la mise en évidence de nombres transcendants. Mais la définition des nombres réels n'est formalisée que quelques décennies plus tard avec les constructions de Dedekind d'une part et de Cantor et Méray d'autre part. L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, est alors un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d'ordre. Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l'analyse réelle. Enfin, cet ensemble est caractérisé par Hilbert comme plus grand corps archimédien. Dans la droite réelle achevée les valeurs infinies ne satisfont plus les règles opératoires de corps, l'extension au corps des nombres complexes rend impossible la relation d'ordre total compatible, tandis que l'analyse non standard adjoint des nombres infiniment petits qui invalident le caractère archimédien. L'adjectif « réel » est utilisé pour qualifier des nombres dès le XVIIe siècle, mais il n'est explicitement défini par opposition aux nombres imaginaires qu'à la fin du XIXe siècle Il a aussi été opposé à « nombre formel » dans certains traités de théologie ou de philosophie de la même époque. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- * Soit un nombre réel. Un voisinage de est un ensemble contenant un intervalle ouvert contenant . Démonstration dans l'article Voisinage.
* ℝ est un espace séparé.
* ℚ est dense dans ℝ. Démonstration dans l'article Ordre dense.
* Les ouverts de ℝ sont les réunions quelconques d'intervalles ouverts. Démonstration dans l'article Voisinage.
* Les compacts de ℝ sont les fermés bornés. Cette propriété permet une démonstration simple et rapide du théorème des bornes. En particulier les segments sont compacts. Démonstration dans l'article Théorème de Borel-Lebesgue et variante dans l'article Compacité séquentielle.
* Toute suite bornée de ℝ admet une sous-suite convergente. Démonstration dans l'article Théorème de Bolzano-Weierstrass
* ℝ est connexe et simplement connexe. Démonstration dans les articles Connexité et Connexité simple.
* Les connexes de ℝ sont les intervalles. Cette propriété permet une démonstration simple et rapide du théorème des valeurs intermédiaires. Démonstration dans l'article Connexité.
* Théorème des compacts emboités. L'intersection de toute suite décroissante de compacts non vides est non vide. Démonstration dans l'article Compacité (mathématiques) et variante dans l'article Compacité séquentielle. (fr)
- Montrons que l'intervalle [0, 1] n'est pas dénombrable, en montrant qu'une suite dans [0, 1] n'est jamais surjective. Il suffit de trouver un point dans [0, 1] qui n'est pas dans l'ensemble image de la suite. Pour cela, définissons par récurrence deux suites , telles que :
::
Initialisons nos deux suites en posant :
::
Il est évident que la propriété est vraie si n est égal à 0.
Définissons alors nos suites pour le rang n + 1.
::
::
L'intervalle étant inclus dans l'intervalle , il ne peut contenir d'élément de la suite d'ordre strictement inférieur à n, par hypothèse de récurrence. Par construction, il ne peut pas non plus contenir et la propriété est vérifiée.
Les deux suites étant adjacentes , leur limite commune appartient, pour tout n, à l'intervalle , donc est différente des n premières valeurs de la suite . Comme n est quelconque, la proposition est démontrée. (fr)
- L'analyse suppose qu'une fonction réelle de la variable réelle est essentiellement connue par son comportement infinitésimal. Par exemple, si l'accélération d'une planète est connue à chaque instant et que sa position et sa vitesse initiales sont connues, alors il est possible d'en déduire la trajectoire exacte. Une chaîne de théorèmes, celle du théorème des accroissements finis qui se prouve par le théorème de Rolle qui se prouve par le théorème des bornes devient fausse sur les fractions rationnelles. Si on représente ce théorème en termes imagés, on peut décrire ces théorèmes de la manière suivante : pour le théorème des accroissements finis, si une voiture parcourt en alors cette voiture se déplace au moins une fois à ; pour le théorème de Rolle , si une voiture part et arrive du même endroit sans jamais changer de route alors elle a fait au moins une fois demi-tour .
Ce sont ces théorèmes qui intuitivement sont si évidents, que l'on se demande même comment il est possible de les démontrer. Newton a poussé tellement loin les conséquences de ces évidences, que seules quelques rares personnes pouvaient à son époque véritablement comprendre son ouvrage majeur . Les preuves se fondaient toujours sur une intuition.
Explicitons alors pourquoi la démonstration du théorème des bornes impose une compréhension profonde de la nature topologique des nombres réels. Pour cela considérons la fonction f sur les rationnels de l'intervalle dans ℚ, où ℚ désigne l'ensemble des nombres rationnels, définie par :
:
vignette|centré|Graphe de la fonction.
La fonction semble discontinue en un point dont le carré est égal à 2, mais ce point n'existe pas dans les rationnels, la fonction est donc continue partout où elle est définie. On remarque que les petits trous rompent notre notion intuitive de continuité. Une description infinitésimale ne peut donc décrire convenablement une fonction car les petits trous permettent des sauts qui ne sont pas décrits par le comportement infinitésimal. Notre notion intuitive de continuité n'a donc pas le même sens dans ℚ que dans ℝ. Plus l'abscisse se rapproche par la droite de ce point qui n'existe pas dans ℚ, plus elle augmente. Il n'existe donc aucun point qui atteint le maximum. (fr)
- * Soit un nombre réel. Un voisinage de est un ensemble contenant un intervalle ouvert contenant . Démonstration dans l'article Voisinage.
* ℝ est un espace séparé.
* ℚ est dense dans ℝ. Démonstration dans l'article Ordre dense.
* Les ouverts de ℝ sont les réunions quelconques d'intervalles ouverts. Démonstration dans l'article Voisinage.
* Les compacts de ℝ sont les fermés bornés. Cette propriété permet une démonstration simple et rapide du théorème des bornes. En particulier les segments sont compacts. Démonstration dans l'article Théorème de Borel-Lebesgue et variante dans l'article Compacité séquentielle.
* Toute suite bornée de ℝ admet une sous-suite convergente. Démonstration dans l'article Théorème de Bolzano-Weierstrass
* ℝ est connexe et simplement connexe. Démonstration dans les articles Connexité et Connexité simple.
* Les connexes de ℝ sont les intervalles. Cette propriété permet une démonstration simple et rapide du théorème des valeurs intermédiaires. Démonstration dans l'article Connexité.
* Théorème des compacts emboités. L'intersection de toute suite décroissante de compacts non vides est non vide. Démonstration dans l'article Compacité (mathématiques) et variante dans l'article Compacité séquentielle. (fr)
- Montrons que l'intervalle [0, 1] n'est pas dénombrable, en montrant qu'une suite dans [0, 1] n'est jamais surjective. Il suffit de trouver un point dans [0, 1] qui n'est pas dans l'ensemble image de la suite. Pour cela, définissons par récurrence deux suites , telles que :
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Initialisons nos deux suites en posant :
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Il est évident que la propriété est vraie si n est égal à 0.
Définissons alors nos suites pour le rang n + 1.
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L'intervalle étant inclus dans l'intervalle , il ne peut contenir d'élément de la suite d'ordre strictement inférieur à n, par hypothèse de récurrence. Par construction, il ne peut pas non plus contenir et la propriété est vérifiée.
Les deux suites étant adjacentes , leur limite commune appartient, pour tout n, à l'intervalle , donc est différente des n premières valeurs de la suite . Comme n est quelconque, la proposition est démontrée. (fr)
- L'analyse suppose qu'une fonction réelle de la variable réelle est essentiellement connue par son comportement infinitésimal. Par exemple, si l'accélération d'une planète est connue à chaque instant et que sa position et sa vitesse initiales sont connues, alors il est possible d'en déduire la trajectoire exacte. Une chaîne de théorèmes, celle du théorème des accroissements finis qui se prouve par le théorème de Rolle qui se prouve par le théorème des bornes devient fausse sur les fractions rationnelles. Si on représente ce théorème en termes imagés, on peut décrire ces théorèmes de la manière suivante : pour le théorème des accroissements finis, si une voiture parcourt en alors cette voiture se déplace au moins une fois à ; pour le théorème de Rolle , si une voiture part et arrive du même endroit sans jamais changer de route alors elle a fait au moins une fois demi-tour .
Ce sont ces théorèmes qui intuitivement sont si évidents, que l'on se demande même comment il est possible de les démontrer. Newton a poussé tellement loin les conséquences de ces évidences, que seules quelques rares personnes pouvaient à son époque véritablement comprendre son ouvrage majeur . Les preuves se fondaient toujours sur une intuition.
Explicitons alors pourquoi la démonstration du théorème des bornes impose une compréhension profonde de la nature topologique des nombres réels. Pour cela considérons la fonction f sur les rationnels de l'intervalle dans ℚ, où ℚ désigne l'ensemble des nombres rationnels, définie par :
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vignette|centré|Graphe de la fonction.
La fonction semble discontinue en un point dont le carré est égal à 2, mais ce point n'existe pas dans les rationnels, la fonction est donc continue partout où elle est définie. On remarque que les petits trous rompent notre notion intuitive de continuité. Une description infinitésimale ne peut donc décrire convenablement une fonction car les petits trous permettent des sauts qui ne sont pas décrits par le comportement infinitésimal. Notre notion intuitive de continuité n'a donc pas le même sens dans ℚ que dans ℝ. Plus l'abscisse se rapproche par la droite de ce point qui n'existe pas dans ℚ, plus elle augmente. Il n'existe donc aucun point qui atteint le maximum. (fr)
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- En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e. (fr)
- En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e. (fr)
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