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- En géométrie et en relativité restreinte, l'espace de Minkowski du nom de son inventeur Hermann Minkowski, appelé aussi l'espace-temps de Minkowski ou parfois l'espace-temps de Poincaré-Minkowski, est un espace mathématique, et plus précisément un espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte : les propriétés géométriques de cet espace correspondent à des propriétés physiques présentes dans cette théorie. La physique classique est également géométrisée, et ce depuis Isaac Newton, voire avant ; l'intérêt de cette géométrisation de la relativité restreinte est dans le fait que le temps lui-même y est représenté comme indissociablement lié à l'espace matériel, que les propriétés abstraites de la relativité restreinte y trouvent une représentation proche de la géométrie euclidienne, et que cela a aidé à la formulation de la relativité générale. (fr)
- En géométrie et en relativité restreinte, l'espace de Minkowski du nom de son inventeur Hermann Minkowski, appelé aussi l'espace-temps de Minkowski ou parfois l'espace-temps de Poincaré-Minkowski, est un espace mathématique, et plus précisément un espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte : les propriétés géométriques de cet espace correspondent à des propriétés physiques présentes dans cette théorie. La physique classique est également géométrisée, et ce depuis Isaac Newton, voire avant ; l'intérêt de cette géométrisation de la relativité restreinte est dans le fait que le temps lui-même y est représenté comme indissociablement lié à l'espace matériel, que les propriétés abstraites de la relativité restreinte y trouvent une représentation proche de la géométrie euclidienne, et que cela a aidé à la formulation de la relativité générale. (fr)
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- Hazewinkel (fr)
- (fr)
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- Thibault Damour, Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (fr)
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- avant-propos par Michèle Leduc et Michel Le Bellac (fr)
- du français par Erik Novak (fr)
- avant-propos par Michèle Leduc et Michel Le Bellac (fr)
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- Savoirs actuels (fr)
- Progress in mathematical physics (fr)
- Graduate texts in physics (fr)
- Une à... (fr)
- Savoirs actuels (fr)
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- Une à... (fr)
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- On se rappelle que si et , alors .
On note quand est un vecteur de .
On suppose que et , donc on a , , et, , à partir de obtenu par l’inégalité triangulaire de la norme euclidienne classique .
Démontrons, par une suite d'équivalences, que
par mise au carré.
Par développement et simplification.
par mise au carré.
par développement.
en utilisant.
par quelques calculs algébriques
Comme et , on a
avec égalité pour
: on peut aussi étudier les variations de sur l'intervalle [-1 ; 1] et montrer que son minimum est atteint en 1.
or, par développement puis factorisation
Avec égalité pour , soit
L'inégalité triangulaire initiale est donc vraie.
Il y a égalité uniquement pour et , soit , donc dans le cas où les quadrivecteurs et sont proportionnels . (fr)
- Dans le référentiel tangent à la ligne d'univers du mobile qui se déplace , les coordonnées du quadrivecteur de position du mobile sont . C'est le quadrivecteur temps propre ou encore le quadrivecteur tangent à la ligne d'univers par le fait qu'il n'indique aucune séparation spatiale avec le référentiel, tout en reflétant une évolution temporelle car .
Si un quadrivecteur est perpendiculaire à , on a :
, soit . Donc un point joint à l'origine de ce référentiel par un quadrivecteur orthogonal à la ligne d'univers représente un événement simultané avec celui de l'origine du référentiel .
Comme la forme bilinéaire est invariante par changement de référentiel, l'orthogonalité est assurée quel que soit le référentiel d'où l'on considère les quadrivecteurs, et ainsi dans les diagrammes de Minkowski, si l'angle dessiné entre et dépend du référentiel choisi, leur orthogonalité minkowskienne est conservée.
Les calculs des carrés des pseudo-normes de et , à l'aide des coordonnées dans le référentiel galiléen tangent, donnent : et . Donc est à l'intérieur du cône de lumière et est à l'extérieur. Par ailleurs, on sait que le carré de la pseudo-norme est conservé par changement de référentiel, donc ces caractéristiques restent vraies pour tout référentiel, et y compris dans les diagrammes de Minkowski. (fr)
- et avec car
On remarque qu'alors ce qui est l'inégalité triangulaire cherchée. L'égalité a lieu pour , c'est-à-dire dans le cas où les trois points sont alignés.
Remarquons que cette justification dans une situation particulière permet de justifier le cas général : ce dernier peut toujours se ramener au précédent par un changement de référentiel qui ne change pas les valeurs obtenues par la forme quadratique. (fr)
- Considérons trois événements chronologiques situés dans le cône de lumière.
Sans restreindre la généralité, supposons .
Notons le quadrivecteur de la différence entre les événements 2 et 1, celui de la différence entre le et le , donc celui de la différence entre le et le .
Par hypothèse et , ce qui implique par l’inégalité triangulaire de la norme euclidienne classique .
Il s’agit de montrer
:
ou encore
: lorsque
: et
:.
L’inégalité de Jensen s’applique à la fonction qui est concave, soit
: pour tout et satisfaisant .
Avec et , il vient
: pour tout et .
En choisissant et , il vient
:
L’inégalité triangulaire classique, puis la convexité de la fonction impliquent
:, soit
: pour tous vecteurs et .
En choisissant et , on a , et ainsi
:.
Conditions d’égalité :
Par « stricte » concavité de et convexité de , l’égalité implique parallèle à . puis , soit .
Si l’inégalité triangulaire est une égalité, alors les quadrivecteurs des 3 événements sont alignés.
La réciproque se vérifie facilement. (fr)
- Plaçons-nous dans une situation physiquement réaliste : en allant de l'événement A à l'événement C par un mouvement inertiel, un observateur va en ligne droite, alors qu'un deuxième observateur va en ligne droite de A vers B puis de B vers C. Dans un référentiel inertiel du premier observateur, les coordonnées des événements sont : A , C et B. Pour que le deuxième observateur puisse aller de B vers C, il faut que t>t', et autres petites précautions sur lesquelles il n'est pas utile d'insister.
Calcul des pseudo-distances : (fr)
- On se rappelle que si et , alors .
On note quand est un vecteur de .
On suppose que et , donc on a , , et, , à partir de obtenu par l’inégalité triangulaire de la norme euclidienne classique .
Démontrons, par une suite d'équivalences, que
par mise au carré.
Par développement et simplification.
par mise au carré.
par développement.
en utilisant.
par quelques calculs algébriques
Comme et , on a
avec égalité pour
: on peut aussi étudier les variations de sur l'intervalle [-1 ; 1] et montrer que son minimum est atteint en 1.
or, par développement puis factorisation
Avec égalité pour , soit
L'inégalité triangulaire initiale est donc vraie.
Il y a égalité uniquement pour et , soit , donc dans le cas où les quadrivecteurs et sont proportionnels . (fr)
- Dans le référentiel tangent à la ligne d'univers du mobile qui se déplace , les coordonnées du quadrivecteur de position du mobile sont . C'est le quadrivecteur temps propre ou encore le quadrivecteur tangent à la ligne d'univers par le fait qu'il n'indique aucune séparation spatiale avec le référentiel, tout en reflétant une évolution temporelle car .
Si un quadrivecteur est perpendiculaire à , on a :
, soit . Donc un point joint à l'origine de ce référentiel par un quadrivecteur orthogonal à la ligne d'univers représente un événement simultané avec celui de l'origine du référentiel .
Comme la forme bilinéaire est invariante par changement de référentiel, l'orthogonalité est assurée quel que soit le référentiel d'où l'on considère les quadrivecteurs, et ainsi dans les diagrammes de Minkowski, si l'angle dessiné entre et dépend du référentiel choisi, leur orthogonalité minkowskienne est conservée.
Les calculs des carrés des pseudo-normes de et , à l'aide des coordonnées dans le référentiel galiléen tangent, donnent : et . Donc est à l'intérieur du cône de lumière et est à l'extérieur. Par ailleurs, on sait que le carré de la pseudo-norme est conservé par changement de référentiel, donc ces caractéristiques restent vraies pour tout référentiel, et y compris dans les diagrammes de Minkowski. (fr)
- et avec car
On remarque qu'alors ce qui est l'inégalité triangulaire cherchée. L'égalité a lieu pour , c'est-à-dire dans le cas où les trois points sont alignés.
Remarquons que cette justification dans une situation particulière permet de justifier le cas général : ce dernier peut toujours se ramener au précédent par un changement de référentiel qui ne change pas les valeurs obtenues par la forme quadratique. (fr)
- Considérons trois événements chronologiques situés dans le cône de lumière.
Sans restreindre la généralité, supposons .
Notons le quadrivecteur de la différence entre les événements 2 et 1, celui de la différence entre le et le , donc celui de la différence entre le et le .
Par hypothèse et , ce qui implique par l’inégalité triangulaire de la norme euclidienne classique .
Il s’agit de montrer
:
ou encore
: lorsque
: et
:.
L’inégalité de Jensen s’applique à la fonction qui est concave, soit
: pour tout et satisfaisant .
Avec et , il vient
: pour tout et .
En choisissant et , il vient
:
L’inégalité triangulaire classique, puis la convexité de la fonction impliquent
:, soit
: pour tous vecteurs et .
En choisissant et , on a , et ainsi
:.
Conditions d’égalité :
Par « stricte » concavité de et convexité de , l’égalité implique parallèle à . puis , soit .
Si l’inégalité triangulaire est une égalité, alors les quadrivecteurs des 3 événements sont alignés.
La réciproque se vérifie facilement. (fr)
- Plaçons-nous dans une situation physiquement réaliste : en allant de l'événement A à l'événement C par un mouvement inertiel, un observateur va en ligne droite, alors qu'un deuxième observateur va en ligne droite de A vers B puis de B vers C. Dans un référentiel inertiel du premier observateur, les coordonnées des événements sont : A , C et B. Pour que le deuxième observateur puisse aller de B vers C, il faut que t>t', et autres petites précautions sur lesquelles il n'est pas utile d'insister.
Calcul des pseudo-distances : (fr)
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- Gourgoulhon 2010 (fr)
- Taillet, Villain et Febvre 2018 (fr)
- Sokolov 1995 (fr)
- Choquet-Bruhat 2014 (fr)
- Aspect, Bouchet, Brunet 2005 (fr)
- Bracco et Provost 2009 (fr)
- Damour 2007 (fr)
- Gourgoulhon 2013 (fr)
- Le Bellac 2015 (fr)
- Gourgoulhon 2010 (fr)
- Taillet, Villain et Febvre 2018 (fr)
- Sokolov 1995 (fr)
- Choquet-Bruhat 2014 (fr)
- Aspect, Bouchet, Brunet 2005 (fr)
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- Éric Gourgoulhon (fr)
- François Bouchet (fr)
- Alain Aspect (fr)
- Yvonne Choquet-Bruhat (fr)
- Thibault Damour (fr)
- Éric Gourgoulhon (fr)
- François Bouchet (fr)
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- Louvain-la-Neuve (fr)
- Oxford (fr)
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- Berlin et Heidelberg (fr)
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- Bâle, Berlin et Boston (fr)
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- le rôle de l'action dans le Mémoire de Poincaré de (fr)
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- Aspect, Bouchet, Brunet 2005 (fr)
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| prop-fr:titre
|
- Relativité restreinte (fr)
- Dictionnaire de physique (fr)
- Einstein aujourd'hui (fr)
- Les relativités (fr)
- Introduction to general relativity, black holes, and cosmology (fr)
- De l'électromagnétisme à la mécanique (fr)
- Démonstration de l'inégalité triangulaire (fr)
- Détails mathématiques (fr)
- General relativity today (fr)
- Preuve algébrique de l'inégalité triangulaire (fr)
- Special relativity in general frames (fr)
- Ébauche de justification de l'inégalité triangulaire (fr)
- Relativité restreinte (fr)
- Dictionnaire de physique (fr)
- Einstein aujourd'hui (fr)
- Les relativités (fr)
- Introduction to general relativity, black holes, and cosmology (fr)
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- Special relativity in general frames (fr)
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- Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique (fr)
- Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique (fr)
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- Gravitation and experiment (fr)
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- du français (fr)
- du français (fr)
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| prop-fr:traductionTitre
|
- Introduction à la relativité générale, aux trous noirs, et à la cosmologie (fr)
- Encyclopédie des mathématiques (fr)
- Introduction à la relativité générale, aux trous noirs, et à la cosmologie (fr)
- Encyclopédie des mathématiques (fr)
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- En géométrie et en relativité restreinte, l'espace de Minkowski du nom de son inventeur Hermann Minkowski, appelé aussi l'espace-temps de Minkowski ou parfois l'espace-temps de Poincaré-Minkowski, est un espace mathématique, et plus précisément un espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte : les propriétés géométriques de cet espace correspondent à des propriétés physiques présentes dans cette théorie. (fr)
- En géométrie et en relativité restreinte, l'espace de Minkowski du nom de son inventeur Hermann Minkowski, appelé aussi l'espace-temps de Minkowski ou parfois l'espace-temps de Poincaré-Minkowski, est un espace mathématique, et plus précisément un espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte : les propriétés géométriques de cet espace correspondent à des propriétés physiques présentes dans cette théorie. (fr)
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- Espace de Minkowski (fr)
- Espai de Minkowski (ca)
- Espaço de Minkowski (pt)
- Minkowski space (en)
- Minkowski-Raum (de)
- Minkowski-ruimte (nl)
- Spaziotempo di Minkowski (it)
- Пространство Минковского (ru)
- مكان مينكوفسكي (ar)
- 閔考斯基時空 (zh)
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