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- En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles elliptique du second ordre suivante : où est l'opérateur laplacien et est une distribution généralement donnée. Sur un domaine borné de et de frontière régulière, le problème de trouver à partir de et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé : la solution existe et est unique. Ce problème est important en pratique :
* En électrostatique, la formulation classique (voir Équation de Poisson-Boltzmann) exprime le potentiel électrique associé à une distribution connue de charges par la relation
* En gravitation universelle, le potentiel gravitationnel est relié à la masse volumique par la relation
* En mécanique des fluides, pour des écoulements incompressibles, la pression est reliée au champ de vitesse par une équation de Poisson. Par exemple, en 2D, en notant les composantes du champ de vitesse , la relation s'écrit :où représente la densité du fluide. (fr)
- En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles elliptique du second ordre suivante : où est l'opérateur laplacien et est une distribution généralement donnée. Sur un domaine borné de et de frontière régulière, le problème de trouver à partir de et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé : la solution existe et est unique. Ce problème est important en pratique :
* En électrostatique, la formulation classique (voir Équation de Poisson-Boltzmann) exprime le potentiel électrique associé à une distribution connue de charges par la relation
* En gravitation universelle, le potentiel gravitationnel est relié à la masse volumique par la relation
* En mécanique des fluides, pour des écoulements incompressibles, la pression est reliée au champ de vitesse par une équation de Poisson. Par exemple, en 2D, en notant les composantes du champ de vitesse , la relation s'écrit :où représente la densité du fluide. (fr)
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- 2020 (xsd:integer)
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- Michiel Hazewinkel (fr)
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- Maria Zack et Dirk Schlimm (fr)
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- / Société canadienne d'histoire et de philosophie des mathématiques (fr)
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- Si les conditions de continuité et de coercivité des hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont satisfaites, ce dernier permet de conclure.
*Continuité
Pour la continuité des deux formes, il s’agit de montrer l’existence de constantes positives notées génériquement telles que
:
:
Ces constantes existent par définition de la norme de
et par la continuité des opérateurs de trace qui, à une fonction associe une fonction de définie par la restriction de sur .
On peut remarquer que la continuité des formes assure simultanément leur définition rigoureuse. Pour le second problème en particulier, borné implique la continuité de l’injection de dans pour la norme , ce qui justifie la définition de l’espace correspondant.
*Coercivité
Pour la coercivité des , il s’agit de montrer l’existence d’une constante indépendante de telle que
*
Cette propriété découle de l’inégalité de Poincaré classique pour la forme et de l’inégalité de Poincaré-Wirtinger pour la forme .
La coercivité de la forme peut se montrer par l’absurde. En notant
:
supposons qu’il existe une suite satisfaisant
: et tend vers 0.
Par compacité de l’injection canonique de dans , il existe une sous-suite convergeant vers une fonction pour la norme . Cette suite est donc une suite de Cauchy dans et, puisque son gradient tend vers 0 dans , elle est également une suite de Cauchy dans qui converge vers et qui ne peut être qu’une fonction constante avec . Ainsi, sa trace sur ne peut être que constante non nulle, ce qui contredit . (fr)
- À une dimension, il s’agit d’une corde élastique chargée qui est fixée en ses deux extrémités.
Sur un petit élément , considérons l’équilibre statique entre les deux forces de traction et de la corde , puis la force de la charge induite par une densité de charge linéaire notée :
*
*
*
Sans restreindre la généralité, les facteurs et ont été divisés par afin de leur conserver une grandeur non différentielle.
La somme vectorielle de ces forces conduit aux égalités :
* qu’on peut appeler , un coefficient indépendant de puisque toutes les composantes horizontales se compensent pour se répercuter uniquement sur les points d’attache,
* qui, lorsque tend vers 0, s’écrit
Cette dernière relation est bien l’équation de Poisson à une dimension. (fr)
- Si les conditions de continuité et de coercivité des hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont satisfaites, ce dernier permet de conclure.
*Continuité
Pour la continuité des deux formes, il s’agit de montrer l’existence de constantes positives notées génériquement telles que
:
:
Ces constantes existent par définition de la norme de
et par la continuité des opérateurs de trace qui, à une fonction associe une fonction de définie par la restriction de sur .
On peut remarquer que la continuité des formes assure simultanément leur définition rigoureuse. Pour le second problème en particulier, borné implique la continuité de l’injection de dans pour la norme , ce qui justifie la définition de l’espace correspondant.
*Coercivité
Pour la coercivité des , il s’agit de montrer l’existence d’une constante indépendante de telle que
*
Cette propriété découle de l’inégalité de Poincaré classique pour la forme et de l’inégalité de Poincaré-Wirtinger pour la forme .
La coercivité de la forme peut se montrer par l’absurde. En notant
:
supposons qu’il existe une suite satisfaisant
: et tend vers 0.
Par compacité de l’injection canonique de dans , il existe une sous-suite convergeant vers une fonction pour la norme . Cette suite est donc une suite de Cauchy dans et, puisque son gradient tend vers 0 dans , elle est également une suite de Cauchy dans qui converge vers et qui ne peut être qu’une fonction constante avec . Ainsi, sa trace sur ne peut être que constante non nulle, ce qui contredit . (fr)
- À une dimension, il s’agit d’une corde élastique chargée qui est fixée en ses deux extrémités.
Sur un petit élément , considérons l’équilibre statique entre les deux forces de traction et de la corde , puis la force de la charge induite par une densité de charge linéaire notée :
*
*
*
Sans restreindre la généralité, les facteurs et ont été divisés par afin de leur conserver une grandeur non différentielle.
La somme vectorielle de ces forces conduit aux égalités :
* qu’on peut appeler , un coefficient indépendant de puisque toutes les composantes horizontales se compensent pour se répercuter uniquement sur les points d’attache,
* qui, lorsque tend vers 0, s’écrit
Cette dernière relation est bien l’équation de Poisson à une dimension. (fr)
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- Taillet, Villain et Febvre 2018 (fr)
- Godard et Boer 2020 (fr)
- Poisson 1813 (fr)
- Solomentsev 1995 (fr)
- Taillet, Villain et Febvre 2018 (fr)
- Godard et Boer 2020 (fr)
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- Siméon Denis Poisson (fr)
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- Solomentsev (fr)
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- Nouveau bulletin des sciences : par la Société philomat(h)ique (de Paris) (fr)
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- an updated and annotated translation of the Soviet Mathematical encyclopaedia (fr)
- the CSHPM volume (fr)
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- Dictionnaire de physique (fr)
- Justification (fr)
- Gauss et le modèle du champ magnétique terrestre (fr)
- Poisson Integral (fr)
- Poisson Kernel (fr)
- Poisson equation (fr)
- Remarques sur une équation qui se présente dans la théorie des attractions des sphéroïdes (fr)
- Éléments de justification (fr)
- Dictionnaire de physique (fr)
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- Éléments de justification (fr)
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- Monge-Ampère equation – Rings and algebras [« Équation de Monge-Ampère – Anneaux et algèbre »] (fr)
- Monge-Ampère equation – Rings and algebras [« Équation de Monge-Ampère – Anneaux et algèbre »] (fr)
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- Recherche en histoire et en philosophie des mathématiques (fr)
- Encyclopédie des mathématiques : une traduction mise à jour et annotée de l'Encyclopédie des mathématiques soviétique (fr)
- Recherche en histoire et en philosophie des mathématiques (fr)
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- En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles elliptique du second ordre suivante : où est l'opérateur laplacien et est une distribution généralement donnée. Sur un domaine borné de et de frontière régulière, le problème de trouver à partir de et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé : la solution existe et est unique. Ce problème est important en pratique : (fr)
- En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles elliptique du second ordre suivante : où est l'opérateur laplacien et est une distribution généralement donnée. Sur un domaine borné de et de frontière régulière, le problème de trouver à partir de et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé : la solution existe et est unique. Ce problème est important en pratique : (fr)
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- Ecuación de Poisson (es)
- Equação de Poisson (pt)
- Poissons ekvation (sv)
- Równanie różniczkowe Poissona (pl)
- Équation de Poisson (fr)
- Рівняння Пуассона (uk)
- 泊松方程 (zh)
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