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- La sphère étant homogène, on peut utiliser le théorème de Gauss pour déterminer le champ en tout point. Ce théorème stipule que le flux sortant du champ au travers d'une sphère centrée sur la distribution de matière est déterminé par la masse intérieure à cette sphère. Ainsi, à une distance r du centre, la composante radiale du champ gravitationnel g, notée g, s'écrit
:,
M étant la masse comprise à l'intérieur du rayon r. Du fait que la distribution de matière est ici supposée homogène à l'intérieur du rayon R, on a
:.
En conséquence,
:.
L'intégrale du carré de g à l'intérieur et à l'extérieur de la sphère donne ainsi
:,
et
:.
L'énergie potentielle gravitationnelle totale est donc égale à la somme de ces deux quantités, le tout multiplié par -1/, ce qui donne
: (fr)
- En effet, on peut exprimer le potentiel Φ en un point en fonction de la densité de matière, selon l'équation de Poisson, à savoir
:.
Ainsi, l'expression de départ se réécrit-elle
:.
Cette expression peut naturellement s'intégrer par parties, pour donner
:.
Or le champ gravitationnel n'est rien d'autre que l'opposé du gradient du potentiel Φ. Ainsi,
:. (fr)
- La sphère étant homogène, on peut utiliser le théorème de Gauss pour déterminer le champ en tout point. Ce théorème stipule que le flux sortant du champ au travers d'une sphère centrée sur la distribution de matière est déterminé par la masse intérieure à cette sphère. Ainsi, à une distance r du centre, la composante radiale du champ gravitationnel g, notée g, s'écrit
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M étant la masse comprise à l'intérieur du rayon r. Du fait que la distribution de matière est ici supposée homogène à l'intérieur du rayon R, on a
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En conséquence,
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L'intégrale du carré de g à l'intérieur et à l'extérieur de la sphère donne ainsi
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et
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L'énergie potentielle gravitationnelle totale est donc égale à la somme de ces deux quantités, le tout multiplié par -1/, ce qui donne
: (fr)
- En effet, on peut exprimer le potentiel Φ en un point en fonction de la densité de matière, selon l'équation de Poisson, à savoir
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Ainsi, l'expression de départ se réécrit-elle
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Cette expression peut naturellement s'intégrer par parties, pour donner
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Or le champ gravitationnel n'est rien d'autre que l'opposé du gradient du potentiel Φ. Ainsi,
:. (fr)
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