| prop-fr:contenu
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- Le fluide est supposé incompressible et l'on a donc et comme le problème est 2 D, il existe un champ de potentiel scalaire tel que
:.
Le champ φ obéit à l'équation de Poisson qui est
:
où ω est le tourbillon , appelé en anglais vorticity, le long du cylindre infiniment petit. Soit δ Ω le volume total occupé par ce cylindre infiniment petit et soit un point à l'intérieur dudit cylindre infiniment petit. On note que δ l1 et δ l_3 sont des nombres infiniment petits. La solution formelle de cette équation est la suivante :
:
Ce potentiel est équivalent au potentiel d'un champ magnétique où l'on a remplacé le courant I par la vorticité ω. En dérivant, on trouve une formule équivalente à la loi de Biot et Savart comme suit.
On raisonne en coordonnées cylindriques. On a
:
rl est un nombre infiniment petit. Soit δ R le rayon dudit cylindre. L'intégrale triple supra devient :
On néglige les termes infiniment petits et donc l'ombre de cette quantité devient :
:
On peut donc séparer l'intégrale et l'on obtient
:
Comme le dénominateur ne dépend pas en rl et φ, on peut écrire :
:
On définit :
:
Donc, le potentiel devient alors :
:
On rappelle que
:
On dérive sous le signe somme et donc :
:
On a donc :
:
De même,
:
Donc :
:
Et donc :
On définit :
:
On obtient donc :
:
La vitesse est dans le plan et donc on a :
:
On définit le vecteur normalisé
Soit . h est la distance du point par rapport à la tige. On obtient donc :
:
Donc,
:
On définit . On a donc et donc,
:
Donc :
:
On remarque que :
et donc :
:
Et donc simplement :
:
Le module de la vitesse ne dépend donc pas de l'angle φ. On constate aussi que Γ est la circulation du vecteur vitesse.
Si la ligne portante n'est pas de longueur infinie mais semi finie alors :
: (fr)
- Soit la coordonnée tourbillon élémentaire en ce point et un point quelconque sur le profil le long de la corde.
:
Donc,
:
On confond le profil d'aile avec sa corde. Soit le vecteur moyen de la corde. On obtient donc :
:
Donc,
:
La vitesse totale est donc la somme des vitesses élémentaires pour chacun des petites circulations en . En sommant toutes les lignes portantes le long de la corde moyenne, l'ensemble des tourbillons produit un mouvement du fluide suivant :
où
* x représente le lieu du mouvement du fluide dû au Tourbillon (physique) le long de la corde moyenne,
* est le lieu du Tourbillon (physique) le long de la corde moyenne,
* c est la longueur de la corde.
La vitesse infinie est . La vitesse totale est donc :
:
Soit le vecteur tangent au profil. Comme le fluide est tangent au profil, on a:
:
Donc,
:
Soit α l'angle d'attaque et e la cambrure du profil en x. On a donc :
:
On a donc :
:
On utilise la formule du double produit vectoriel. On a :
:
On remarque que et donc,
:
Comme la cambrure est faible, on a :
:
On obtient alors l'égalité suivante :
:
On remarque que . Et donc finalement :
:
On procède au changement de variable arbitraire suivant dans l'équation :
:,
avec
* longueur de la corde du profil. C'est à ce moment qu'est introduite la corde comme élément de référence, élément qui permet la comparaison des performances des profils entre eux. Comme le changement de variable est arbitraire, l'élément de référence pourrait être autre chose mais de par sa simplicité il a été choisi par le monde scientifique.
d'où
:
d'où l'équation devient :
:
Supposons que le profil soit plat, donc . L'équation en devient :
:
Cette équation en γ doit être satisfaite pour tout φ. On écrit la fonction γ comme une série de Fourier modifiée. On écrit :
On substitue dans l'équation à résoudre et l'on résout donc :
On utilise l'intégrale de Glauert démontrée en annexe qui dit que :
Donc, l'on résout :
Comme le membre de gauche doit être constant, on a .
Donc,
est finie et donc et
La solution est donc :
:
La partie de l'équation est résolue, il faut trouver une solution pour la partie e'.
:
d'où
:
d'où
:
d'où
:
La fonction admet une décomposition en série de Fourier. Donc la fonction aussi. La décomposition est :
:
Glauert a pensé que la solution était plus simple et donc a d'abord essayé de trouver une solution à l'équation avec les simplifications/transformations suivantes sur la décomposition de Fourier :
*
* : il faut que la fonction soit définie sur donc est le plus simple.
et d'inclure la résolution de l'équation pour un profil plat où est remplacé par un coefficient .
La décomposition de proposée en espérant qu'elle soit la solution à l'équation est :
:
Les coefficients sont inconnus et à déterminer. S'il est possible de calculer ces coefficients alors la décomposition proposée est bien la solution à l'équation.
d'où en remplaçant par sa série de Fourier dans l'équation :
:
d'où
:
d'où
:
Glauert a remarqué que :
: en particulier pour
Une autre démonstration de cette formule basée sur le théorème des résidus est donnée dans l'annexe de l'article Théorie des lignes portantes.
or
::
d'où
:
Glauert aussi dans sa démonstration fait remarquer que la trigonométrie démontre que :
:
d'où
:
Glauert remarque de nouveau que :
:
Il faut intégrer la somme infinie terme à terme, et après calcul et simplification :
:
soit la suite tel que et si
d'où
:
L'équation reste toujours valable si elle est multipliée par avec m un entier :
:
L'équation reste toujours valable si elle est intégrée sur toute la corde :
:
:
comme
: si
:: si
:: si
alors :
:
: pour
alors comme est indépendant de les coefficients de la série sont :
*
*
d'où :
:
Cette méthode est nommée transformation de Glauert.
Grâce au Théorème de Kutta-Jukowski, la portance par unité de longueur le long de l'envergure est :
:
d'où la portance totale est :
:
On remarque que :
:
On décompose :
:
On constate que pour on a :
Donc,
:
Donc,
:
d'où
:
La littérature préfère définir des coefficients adimensionnels. Soit S = c × b la surface de l'aile . On définit donc le coefficient de portance comme suit :
:
On obtient donc :
:
Donc,
:
Le coefficient de portance est donc une fonction affine de l'angle d'attaque α. Si le profil est plat, le coefficient de portance devient simplement :
:
Cette formule est illustrée graphiquement dans la figure 1.11 de l'ouvrage de Hurt.
Et donc, on obtient la forme normalisée :
:
et le moment M du profil au bord d'attaque est :
:
de même :
:
Le calcul du coefficient de portance dépend uniquement des deux premiers termes de la décomposition en série de Fourier, soit :
Le moment M du profil au bord d'attaque dépend uniquement de et :
Le moment à un quart de la corde est :
.
On en déduit que :
Le point où le moment dû au centre de poussée est indépendant de l'incidence est défini comme : (fr)
- Le fluide est supposé incompressible et l'on a donc et comme le problème est 2 D, il existe un champ de potentiel scalaire tel que
:.
Le champ φ obéit à l'équation de Poisson qui est
:
où ω est le tourbillon , appelé en anglais vorticity, le long du cylindre infiniment petit. Soit δ Ω le volume total occupé par ce cylindre infiniment petit et soit un point à l'intérieur dudit cylindre infiniment petit. On note que δ l1 et δ l_3 sont des nombres infiniment petits. La solution formelle de cette équation est la suivante :
:
Ce potentiel est équivalent au potentiel d'un champ magnétique où l'on a remplacé le courant I par la vorticité ω. En dérivant, on trouve une formule équivalente à la loi de Biot et Savart comme suit.
On raisonne en coordonnées cylindriques. On a
:
rl est un nombre infiniment petit. Soit δ R le rayon dudit cylindre. L'intégrale triple supra devient :
On néglige les termes infiniment petits et donc l'ombre de cette quantité devient :
:
On peut donc séparer l'intégrale et l'on obtient
:
Comme le dénominateur ne dépend pas en rl et φ, on peut écrire :
:
On définit :
:
Donc, le potentiel devient alors :
:
On rappelle que
:
On dérive sous le signe somme et donc :
:
On a donc :
:
De même,
:
Donc :
:
Et donc :
On définit :
:
On obtient donc :
:
La vitesse est dans le plan et donc on a :
:
On définit le vecteur normalisé
Soit . h est la distance du point par rapport à la tige. On obtient donc :
:
Donc,
:
On définit . On a donc et donc,
:
Donc :
:
On remarque que :
et donc :
:
Et donc simplement :
:
Le module de la vitesse ne dépend donc pas de l'angle φ. On constate aussi que Γ est la circulation du vecteur vitesse.
Si la ligne portante n'est pas de longueur infinie mais semi finie alors :
: (fr)
- Soit la coordonnée tourbillon élémentaire en ce point et un point quelconque sur le profil le long de la corde.
:
Donc,
:
On confond le profil d'aile avec sa corde. Soit le vecteur moyen de la corde. On obtient donc :
:
Donc,
:
La vitesse totale est donc la somme des vitesses élémentaires pour chacun des petites circulations en . En sommant toutes les lignes portantes le long de la corde moyenne, l'ensemble des tourbillons produit un mouvement du fluide suivant :
où
* x représente le lieu du mouvement du fluide dû au Tourbillon (physique) le long de la corde moyenne,
* est le lieu du Tourbillon (physique) le long de la corde moyenne,
* c est la longueur de la corde.
La vitesse infinie est . La vitesse totale est donc :
:
Soit le vecteur tangent au profil. Comme le fluide est tangent au profil, on a:
:
Donc,
:
Soit α l'angle d'attaque et e la cambrure du profil en x. On a donc :
:
On a donc :
:
On utilise la formule du double produit vectoriel. On a :
:
On remarque que et donc,
:
Comme la cambrure est faible, on a :
:
On obtient alors l'égalité suivante :
:
On remarque que . Et donc finalement :
:
On procède au changement de variable arbitraire suivant dans l'équation :
:,
avec
* longueur de la corde du profil. C'est à ce moment qu'est introduite la corde comme élément de référence, élément qui permet la comparaison des performances des profils entre eux. Comme le changement de variable est arbitraire, l'élément de référence pourrait être autre chose mais de par sa simplicité il a été choisi par le monde scientifique.
d'où
:
d'où l'équation devient :
:
Supposons que le profil soit plat, donc . L'équation en devient :
:
Cette équation en γ doit être satisfaite pour tout φ. On écrit la fonction γ comme une série de Fourier modifiée. On écrit :
On substitue dans l'équation à résoudre et l'on résout donc :
On utilise l'intégrale de Glauert démontrée en annexe qui dit que :
Donc, l'on résout :
Comme le membre de gauche doit être constant, on a .
Donc,
est finie et donc et
La solution est donc :
:
La partie de l'équation est résolue, il faut trouver une solution pour la partie e'.
:
d'où
:
d'où
:
d'où
:
La fonction admet une décomposition en série de Fourier. Donc la fonction aussi. La décomposition est :
:
Glauert a pensé que la solution était plus simple et donc a d'abord essayé de trouver une solution à l'équation avec les simplifications/transformations suivantes sur la décomposition de Fourier :
*
* : il faut que la fonction soit définie sur donc est le plus simple.
et d'inclure la résolution de l'équation pour un profil plat où est remplacé par un coefficient .
La décomposition de proposée en espérant qu'elle soit la solution à l'équation est :
:
Les coefficients sont inconnus et à déterminer. S'il est possible de calculer ces coefficients alors la décomposition proposée est bien la solution à l'équation.
d'où en remplaçant par sa série de Fourier dans l'équation :
:
d'où
:
d'où
:
Glauert a remarqué que :
: en particulier pour
Une autre démonstration de cette formule basée sur le théorème des résidus est donnée dans l'annexe de l'article Théorie des lignes portantes.
or
::
d'où
:
Glauert aussi dans sa démonstration fait remarquer que la trigonométrie démontre que :
:
d'où
:
Glauert remarque de nouveau que :
:
Il faut intégrer la somme infinie terme à terme, et après calcul et simplification :
:
soit la suite tel que et si
d'où
:
L'équation reste toujours valable si elle est multipliée par avec m un entier :
:
L'équation reste toujours valable si elle est intégrée sur toute la corde :
:
:
comme
: si
:: si
:: si
alors :
:
: pour
alors comme est indépendant de les coefficients de la série sont :
*
*
d'où :
:
Cette méthode est nommée transformation de Glauert.
Grâce au Théorème de Kutta-Jukowski, la portance par unité de longueur le long de l'envergure est :
:
d'où la portance totale est :
:
On remarque que :
:
On décompose :
:
On constate que pour on a :
Donc,
:
Donc,
:
d'où
:
La littérature préfère définir des coefficients adimensionnels. Soit S = c × b la surface de l'aile . On définit donc le coefficient de portance comme suit :
:
On obtient donc :
:
Donc,
:
Le coefficient de portance est donc une fonction affine de l'angle d'attaque α. Si le profil est plat, le coefficient de portance devient simplement :
:
Cette formule est illustrée graphiquement dans la figure 1.11 de l'ouvrage de Hurt.
Et donc, on obtient la forme normalisée :
:
et le moment M du profil au bord d'attaque est :
:
de même :
:
Le calcul du coefficient de portance dépend uniquement des deux premiers termes de la décomposition en série de Fourier, soit :
Le moment M du profil au bord d'attaque dépend uniquement de et :
Le moment à un quart de la corde est :
.
On en déduit que :
Le point où le moment dû au centre de poussée est indépendant de l'incidence est défini comme : (fr)
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