| prop-fr:contenu
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- On considère la fonction
:
On veut calculer l'intégrale . Strictement parlant, une telle intégrale n'a pas de sens. Toutefois, on va utiliser le théorème des résidus. On pose
On définit :
:
On a donc:
:
Lorsque r = 0 , on a:
:
On considère le contour C constitué du cercle de rayon unité. On a:
:
où e tend vers 0 lorsque r tend vers 0.
Le résidu de cette fonction en z₀ + e est
:
On a:
:
On effectue un développement limité et l'on obtient donc :
:
Donc,
:
On a :
:
Donc :
:
Donc :
:
On « simplifie » le dénominateur et donc :
:
En combinant, on obtient donc :
:
On considère la partie imaginaire de cette identité et donc :
:
Donc,
:
La limite du deuxième terme tend vers 0. On a donc:
:
Donc,
:
On « simplifie » :
:
La fonction cosinus est paire et donc:
:
ce qui démontre le résultat. (fr)
- Calcul des coefficients de portance et de trainée
Soit le changement de variable suivant :
:
et supposons que la solution de est une série de Fourier suivante :
:
On peut arbitrairement choisir A0 = 0.
On cherche à déterminer ces coefficients Anref|Attention, il ne faut pas confondre ces ici en trois dimensions avec ceux en deux dimensions. Bien que la littérature utilise la même notation, ils sont différents.|group=Note.
La section infinitésimale de largeur le long de l'envergure de l'aile apporte une portance linéique , il faut intégrer toutes les portances linéiques pour avoir la portance du profil. Pour le bout de profil infinitésimal de largeur , le Théorème de Kutta-Jukowski donne :
:
d'où
:
Idem pour la trainée induite sachant que :
: et
La littérature pour la portance et la traînée préfère utiliser des équations avec des coefficients adimensionnels. Les formules sont :
: et
avec
: et
On rappelle que . On ligne de sillage arrière est semi infinie et donc on applique la loi de Biot-Savart pour une tige semi-infinie. En outre, le downwash engendré par un vortex de sillage en y0 est:
:
et donc,
:
On dérive la fonction Γ et donc:
:
On a :
Donc,
:
Et donc,
:
Finalement,
:
Le downwash en y0 avec est donc :
:
Donc,
:
On utilise l'intégrale de Glauert
:
Et donc,
:
On remplace par et on rappelle que
:.
Donc,
:
On rappelle que
:
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:
Si , l'intégrale est nulle. Donc,
:
Le premier terme est nul et donc,
:
Donc,
:
On rappelle que :
:
On substitue.
:
On écrit donc :
:
Donc,
:
On considère . On a :
:
On effectue un changement de variable pour et donc :
:
Et donc,
:
On note que :
:
Donc,
:
Finalement :
:
On substitue :
:
Donc,
:
On définit le coefficient d'Oswald
:
Donc,
:
On remplace A1 et donc :
:
Donc,
:
On a où c est la longueur de la corde moyenne. Donc,
:
On définit l'allongement . Et finalement on obtient la formule souvent postulée :
:
Dans le cas d'une aile rectangulaire, on a et
l'allongement devient :
:
Quelle que soit la forme de l'aile, le coefficient de traînée inductive est proportionnel à .
Dans le cas d'une aile symétrique, on a :
:
et donc :
On a vu que :
:
:
On a :
:
On rappelle que et que
et donc :
:
On obtient alors l'égalité :
:
Donc,
:
Donc,
:
Si n est pair, on doit avoir
Donx,
Résolution de l'équation de Prandtl
Soit l'angle d'attaque en ignorant le
downwash. Soit l'angle du downwash. L'angle
d'attaque effectif sera donc :
:
Le coefficient de portance en un point y est :
La portance linéique est :
:
Et aussi :
:
Donc,
:
Donc,
:
D'où une simplification :
:
On remplace Γ et ε et donc :
:
Et donc :
:
On obtient donc un système linéaire «infini» que l'on doit résoudre.
Cas d'une aile elliptique
On considère maintenant une aile elliptique où :
:
Comme l'on a:
:
On en déduit que
:
Donc,
:
On rappelle que . Donc,
:
Donc,
:
On revient ausystème linéaire infini. On a:
:
Et donc :
:
Et donc :
:
On constate immédiatement que pour , on a : An = 0
Et donc :
:
En outre, le coefficient d'Oswald vaut l'unité et donc l'on a :
:
L'aire de l'ellipse est .
Donc l'allongement est :
:
On obtient donc :
:
En outre,
:
Et donc la distribution de circulation est :
:
Et donc :
:
On obtient donc une distribution purement sinusoïdale de la circulation et donc de la poussée linéique. (fr)
- On considère la fonction
:
On veut calculer l'intégrale . Strictement parlant, une telle intégrale n'a pas de sens. Toutefois, on va utiliser le théorème des résidus. On pose
On définit :
:
On a donc:
:
Lorsque r = 0 , on a:
:
On considère le contour C constitué du cercle de rayon unité. On a:
:
où e tend vers 0 lorsque r tend vers 0.
Le résidu de cette fonction en z₀ + e est
:
On a:
:
On effectue un développement limité et l'on obtient donc :
:
Donc,
:
On a :
:
Donc :
:
Donc :
:
On « simplifie » le dénominateur et donc :
:
En combinant, on obtient donc :
:
On considère la partie imaginaire de cette identité et donc :
:
Donc,
:
La limite du deuxième terme tend vers 0. On a donc:
:
Donc,
:
On « simplifie » :
:
La fonction cosinus est paire et donc:
:
ce qui démontre le résultat. (fr)
- Calcul des coefficients de portance et de trainée
Soit le changement de variable suivant :
:
et supposons que la solution de est une série de Fourier suivante :
:
On peut arbitrairement choisir A0 = 0.
On cherche à déterminer ces coefficients Anref|Attention, il ne faut pas confondre ces ici en trois dimensions avec ceux en deux dimensions. Bien que la littérature utilise la même notation, ils sont différents.|group=Note.
La section infinitésimale de largeur le long de l'envergure de l'aile apporte une portance linéique , il faut intégrer toutes les portances linéiques pour avoir la portance du profil. Pour le bout de profil infinitésimal de largeur , le Théorème de Kutta-Jukowski donne :
:
d'où
:
Idem pour la trainée induite sachant que :
: et
La littérature pour la portance et la traînée préfère utiliser des équations avec des coefficients adimensionnels. Les formules sont :
: et
avec
: et
On rappelle que . On ligne de sillage arrière est semi infinie et donc on applique la loi de Biot-Savart pour une tige semi-infinie. En outre, le downwash engendré par un vortex de sillage en y0 est:
:
et donc,
:
On dérive la fonction Γ et donc:
:
On a :
Donc,
:
Et donc,
:
Finalement,
:
Le downwash en y0 avec est donc :
:
Donc,
:
On utilise l'intégrale de Glauert
:
Et donc,
:
On remplace par et on rappelle que
:.
Donc,
:
On rappelle que
:
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:
Si , l'intégrale est nulle. Donc,
:
Le premier terme est nul et donc,
:
Donc,
:
On rappelle que :
:
On substitue.
:
On écrit donc :
:
Donc,
:
On considère . On a :
:
On effectue un changement de variable pour et donc :
:
Et donc,
:
On note que :
:
Donc,
:
Finalement :
:
On substitue :
:
Donc,
:
On définit le coefficient d'Oswald
:
Donc,
:
On remplace A1 et donc :
:
Donc,
:
On a où c est la longueur de la corde moyenne. Donc,
:
On définit l'allongement . Et finalement on obtient la formule souvent postulée :
:
Dans le cas d'une aile rectangulaire, on a et
l'allongement devient :
:
Quelle que soit la forme de l'aile, le coefficient de traînée inductive est proportionnel à .
Dans le cas d'une aile symétrique, on a :
:
et donc :
On a vu que :
:
:
On a :
:
On rappelle que et que
et donc :
:
On obtient alors l'égalité :
:
Donc,
:
Donc,
:
Si n est pair, on doit avoir
Donx,
Résolution de l'équation de Prandtl
Soit l'angle d'attaque en ignorant le
downwash. Soit l'angle du downwash. L'angle
d'attaque effectif sera donc :
:
Le coefficient de portance en un point y est :
La portance linéique est :
:
Et aussi :
:
Donc,
:
Donc,
:
D'où une simplification :
:
On remplace Γ et ε et donc :
:
Et donc :
:
On obtient donc un système linéaire «infini» que l'on doit résoudre.
Cas d'une aile elliptique
On considère maintenant une aile elliptique où :
:
Comme l'on a:
:
On en déduit que
:
Donc,
:
On rappelle que . Donc,
:
Donc,
:
On revient ausystème linéaire infini. On a:
:
Et donc :
:
Et donc :
:
On constate immédiatement que pour , on a : An = 0
Et donc :
:
En outre, le coefficient d'Oswald vaut l'unité et donc l'on a :
:
L'aire de l'ellipse est .
Donc l'allongement est :
:
On obtient donc :
:
En outre,
:
Et donc la distribution de circulation est :
:
Et donc :
:
On obtient donc une distribution purement sinusoïdale de la circulation et donc de la poussée linéique. (fr)
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