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- Le théorème de Kutta-Jukowski, théorème fondamental d'aérodynamique, est le fruit de la recherche au début du XXe siècle de deux aérodynamiciens, Martin Wilhelm Kutta, allemand, et Nikolaï Joukovski (ou Jukowski ou Zhukovsky), russe. En introduisant la notion de circulation, il permet d'échapper au paradoxe de D'Alembert selon lequel est nulle la force s'exerçant sur un corps quelconque en mouvement à vitesse constante sur une trajectoire rectiligne dans l'écoulement incompressible d'un fluide parfait. Il concerne la portance d'un corps cylindrique et s'applique principalement aux profils d'aile dans lesquels la circulation est déterminée par la condition de Kutta. Il intervient également dans l'effet Magnus où la circulation est créée par la rotation d'un cylindre à section circulaire (rotors Flettner). (fr)
- Le théorème de Kutta-Jukowski, théorème fondamental d'aérodynamique, est le fruit de la recherche au début du XXe siècle de deux aérodynamiciens, Martin Wilhelm Kutta, allemand, et Nikolaï Joukovski (ou Jukowski ou Zhukovsky), russe. En introduisant la notion de circulation, il permet d'échapper au paradoxe de D'Alembert selon lequel est nulle la force s'exerçant sur un corps quelconque en mouvement à vitesse constante sur une trajectoire rectiligne dans l'écoulement incompressible d'un fluide parfait. Il concerne la portance d'un corps cylindrique et s'applique principalement aux profils d'aile dans lesquels la circulation est déterminée par la condition de Kutta. Il intervient également dans l'effet Magnus où la circulation est créée par la rotation d'un cylindre à section circulaire (rotors Flettner). (fr)
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- On calcule tout d'abord la force linéique . Par abus de langage, dans ce qui suit, on parlera simplement de force.
La force totale le long du bord du cylindre C de direction est :
:
où p est la pression e, s est l'abscisse curviligne le long du bord du cylindre, est le vecteur unité normal au cylindre. Soit l'angle entre la normale et la verticale .
On définit donc :
:
Le vecteur tangent au contour C est
:
Les composants de la force suivant x et y deviennent :
:
Maintenant entre en compte l'astuce principale. Le plan est isomorphe au plan complexe . On peut donc remplacer le vecteur par le nombre complexe . De même tout vecteur est remplacé par un nombre complexe. La force complexe devient donc :
:
L'étape suivante consiste à considérer le complexe conjugué et effectuer quelques manipulations.
:
On exprime maintenant .
Dans le plan complexe, on a donc :
:
On a
Donc,
:.
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:.
On substitue et donc :
:
Finalement,
:
On utilise le théorème de Bernoulli où est la pression à l'infini et est la vitesse :
:
On remarque que
Donc,
:
Donc,
:
On a :
Donc,
On substitue dans et donc :
:
On définit :
Donc, . On substitue.
:
Et donc,
:
Le fluide est incompressible et donc :
:
Donc,
:
Et donc en remplaçant v par w,
:
Et donc, la fonction est holomorphe.
On peut donc représenter cette fonction par sa série de Laurent sous la forme :
:
On note que le champ w est fini et donc
On a donc :
:
On calcule a1 en utilisant le théorème des résidus.
:
On a :
:
La première intégrale est la circulation . Il ne reste plus qu'à montrer que la seconde intégrale est nulle. La fonction v est la dérivée d'un potentiel complexe .
En effet, le vecteur vitesse est orthogonal au vecteur normal qui est parallèle à et donc la seconde intégrale est nulle. Donc,
:
On a
:
On utilise à nouveau le théorème des résidus.
:
Donc,
:
Donc,
On a :
Donc,
Donc,
Et finalement :
La formule de Kutta–Jukowski est la suivante :
: (fr)
- On calcule tout d'abord la force linéique . Par abus de langage, dans ce qui suit, on parlera simplement de force.
La force totale le long du bord du cylindre C de direction est :
:
où p est la pression e, s est l'abscisse curviligne le long du bord du cylindre, est le vecteur unité normal au cylindre. Soit l'angle entre la normale et la verticale .
On définit donc :
:
Le vecteur tangent au contour C est
:
Les composants de la force suivant x et y deviennent :
:
Maintenant entre en compte l'astuce principale. Le plan est isomorphe au plan complexe . On peut donc remplacer le vecteur par le nombre complexe . De même tout vecteur est remplacé par un nombre complexe. La force complexe devient donc :
:
L'étape suivante consiste à considérer le complexe conjugué et effectuer quelques manipulations.
:
On exprime maintenant .
Dans le plan complexe, on a donc :
:
On a
Donc,
:.
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
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On substitue et donc :
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Finalement,
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On utilise le théorème de Bernoulli où est la pression à l'infini et est la vitesse :
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On remarque que
Donc,
:
Donc,
:
On a :
Donc,
On substitue dans et donc :
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On définit :
Donc, . On substitue.
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Et donc,
:
Le fluide est incompressible et donc :
:
Donc,
:
Et donc en remplaçant v par w,
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Et donc, la fonction est holomorphe.
On peut donc représenter cette fonction par sa série de Laurent sous la forme :
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On note que le champ w est fini et donc
On a donc :
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On calcule a1 en utilisant le théorème des résidus.
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On a :
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La première intégrale est la circulation . Il ne reste plus qu'à montrer que la seconde intégrale est nulle. La fonction v est la dérivée d'un potentiel complexe .
En effet, le vecteur vitesse est orthogonal au vecteur normal qui est parallèle à et donc la seconde intégrale est nulle. Donc,
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On a
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On utilise à nouveau le théorème des résidus.
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Donc,
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Donc,
On a :
Donc,
Donc,
Et finalement :
La formule de Kutta–Jukowski est la suivante :
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- Démonstration formelle du théorème (fr)
- Démonstration formelle du théorème (fr)
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- Le théorème de Kutta-Jukowski, théorème fondamental d'aérodynamique, est le fruit de la recherche au début du XXe siècle de deux aérodynamiciens, Martin Wilhelm Kutta, allemand, et Nikolaï Joukovski (ou Jukowski ou Zhukovsky), russe. En introduisant la notion de circulation, il permet d'échapper au paradoxe de D'Alembert selon lequel est nulle la force s'exerçant sur un corps quelconque en mouvement à vitesse constante sur une trajectoire rectiligne dans l'écoulement incompressible d'un fluide parfait. (fr)
- Le théorème de Kutta-Jukowski, théorème fondamental d'aérodynamique, est le fruit de la recherche au début du XXe siècle de deux aérodynamiciens, Martin Wilhelm Kutta, allemand, et Nikolaï Joukovski (ou Jukowski ou Zhukovsky), russe. En introduisant la notion de circulation, il permet d'échapper au paradoxe de D'Alembert selon lequel est nulle la force s'exerçant sur un corps quelconque en mouvement à vitesse constante sur une trajectoire rectiligne dans l'écoulement incompressible d'un fluide parfait. (fr)
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- Kutta–Joukowski theorem (en)
- Satz von Kutta-Joukowski (de)
- Teorema de Kutta-Jukowski (ca)
- Teorema de Kutta-Yukovski (es)
- Teorema di Kutta-Žukovskij (it)
- Théorème de Kutta-Jukowski (fr)
- クッタ・ジュコーフスキーの定理 (ja)
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