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- Au niveau microscopique, dans un mouvement perpétuel, les parcelles d'air se déplacent en permanence. Mais macroscopiquement, l'air peut ne pas bouger. Si l'air ne bouge pas, cela signifie que chacune des parcelles reste plus ou moins dans un même lieu . La parcelle d'air se déplace autour d'un point fictif fixe dans l'espace sans trop s'éloigner de ce point . Par contre, si l'air bouge, cela signifie que globalement les parcelles se déplacent en grand nombre dans la même direction . Bien sûr le mouvement résultant peut être une combinaison des deux.
Il y a deux origines au mouvement des parcelles d'air : la température et l'influence mécanique du vent.
Rôle de la pression atmosphérique
thumb|right|300px|Simulation de l'agitation thermique des molécules d'un gaz. Ici de l’hélium à température ambiante, la taille et le nombre d’hélium par rapport à l'espace disponible représente une pression de et l'image est ralentie deux trillions de fois
Les atomes des parcelles d'air ne sont pas au repos. Elles ont acquis par divers moyens une certaine quantité d'énergie qu'elles ont transformée en énergie cinétique, autrement dit les parcelles d'air se déplacent en permanence. En se déplaçant, une parcelle d'air va rapidement en rencontrer une autre, et c'est le choc. Le choc modifie les trajectoires. Les deux parcelles rebondissent l'une sur l'autre. Chacune repart dans une autre direction. Rapidement, de nouveau, elle rencontre une autre parcelle pour un nouveau choc, les parcelles repartent dans une autre direction, etc.
Or, un cube d'air d'un millimètre de côté au niveau de la mer, à température ambiante contient des milliards de milliards d'atomes. Et la vitesse moyenne des atomes est en centaine de mètres par seconde. Les chocs entre atomes sont donc innombrables et extrêmement fréquents. L'atome, vu de loin, ne se déplace pas aussi vite, et la direction qu'aura prise cet atome laissera un vide "relatif". Si un groupe d'atomes a une direction privilégiée, il crée un vide "relatif " derrière lui et une "forte" concertation devant lui. Ce vide sera comblé aussitôt par d'autres atomes, de la zone à "forte" concentration donc de la direction opposée, ce qui, vu de loin, annule tout mouvement apparent, aucune direction n'est privilégiée . Globalement, vu de loin, cela donne l'impression que l'air ne se déplace pas. Donc, les atomes des parcelles d'air se déplacent en permanence de façon désordonnée ; ce phénomène est très connu et se nomme la température.
Plus la parcelle d'air est haute dans l'atmosphère, moins la gravité se fait sentir. Il y a donc moins de force pour la ramener sur Terre, et les chocs sont moins violents et fréquents. Donc plus la parcelle est proche du niveau de la mer, plus les chocs sont violents et fréquents.
Quand la parcelle est très proche de la voile, le choc se produit alors entre la voile et cette parcelle. Ces chocs innombrables sur la voile génèrent une force considérable, la force exercée au niveau de la mer est d'environ par mètre carré. Cette force s'exerce sur une surface. C'est donc une pression. Cette pression est la pression atmosphérique. Comme une voile a deux faces, la pression atmosphérique va s'exercer des deux côtés. Finalement, les deux pressions s'équilibrent parfaitement, la voile ne bouge pas.
Rôle du vent
thumb|100px|La particule arrive avec l'énergie (1) et repart avec l'énergie (2) transmettant sur la voile la quantité d'énergie (3) (Les vecteurs du dessin sont des quantité de mouvement)
Cette fois-ci, une partie du mouvement des parcelles est globalement ordonnée , les molécules se déplacent toutes ensemble dans la même direction. Vu de loin, l'air bouge, ce qui revient à dire qu'il y a du vent.
Suivant la configuration de la voile, voici ce qui arrive à une parcelle d'air proche de la voile :
* la voile est libre, elle ne présente au vent que son épaisseur , la parcelle d'air passe sans être notablement perturbée,
* la voile est perpendiculaire au vent , la parcelle d'air s'écrase contre la voile. Elle est quasi stoppée. Les autres parcelles qui suivent l'empêchent fortement de faire marche arrière . Les parcelles d'air transmettent un maximum d'énergie à la voile, voire la quasi-totalité de l'énergie de déplacement ordonné.
* dans les cas intermédiaires, la parcelle d'air rebondit plus ou moins bien, elle ne délivrera qu'une partie de son énergie. De plus, en rebondissant, elle va perturber le mouvement ordonné de celles qui l'accompagnent par collision. Celles-ci vont à leur tour perturber le mouvement ordonné d'autres parcelles par d'autres collisions, etc. Mais, en rebondissant, elle va aussi, par conséquent, perturber l'équilibre de pression atmosphérique, créant une surpression au vent et une dépression sous le vent de la voile. C'est une sorte d'effet domino.
Grâce à l'effet domino, il vient alors rapidement à l'idée que tout ce qui est poussé d'un côté de la voile va combler ce qui manque de l'autre côté de la voile. En d'autres termes, pour une petite surface S1 de la voile face au vent produisant une surpression, par effet domino, cette perturbation annulera la dépression d'une surface S2 collègue située face sous le vent. De même, la même petite surface S2 sous le vent produisant une dépression par effet domino vient annuler la surpression de la surface initiale S1. Donc globalement les surpressions comblent les dépressions, globalement il ne se passe rien, c'est le paradoxe de D'Alembert. C'est là que la viscosité intervient. La viscosité désigne le fait que les chocs ne se passent pas bien, le choc est un choc mou. À chaque choc de parcelle d'air, il y a une infime perte d'énergie. De choc en choc de parcelle, le choc est de moins en moins violent. En fait, après des milliers et milliers de chocs transmettant le choc originel, l'énergie du choc originel a quasiment disparu. À l'échelle humaine, il disparaît rapidement . Cela donne l'impression que les surpressions de la face au vent et les dépressions de la face sous le vent sont indépendantes, ne se perturbent pas par effet domino.
La perte est infime, donc le choc originel transfère de l'énergie quasiment sans perte de l'air à la voile. Or, par nature, le tissu d'une voile est du domaine des matériaux. Une voile est bien plus rigide que l'air, les grains de matière ne s'entrechoquent pas, ne glissent pas entre eux. La voile n'est pas soumise à des phénomènes dissipatifs aussi majeurs. Toute la voile profite sans perte de l'apport de chaque choc de parcelle d'air / grain de matière.
Il y a donc deux phénomènes, le phénomène qui pousse la voile et le phénomène qui empêche en partie la pression atmosphérique de s'exercer .
Direction de la poussée vélique
Le choc de la parcelle d'air sur la voile fait reculer la voile. Le choc ne déplace que très peu la voile sur le côté. L'effort est quasiment perpendiculaire à la surface de la voile. (fr)
- Sans entrer dans des détails trop longs : chaque parcelle d'air s'écrasant sur un petit élément dS de surface de la voile génère une force . La force exercée sur la voile est le produit de la pression p de l'air sur la voile par l'élément de surface dS, soit . est un vecteur unitaire normal à la surface dS dirigé dans le sens de la force .
Suivant le théorème de Bernoulli , et si les transferts de chaleur sont négligés, la parcelle d'air vérifie le long d'une ligne de courant l'équation de conservation suivante :
:
où v est la vitesse, a priori variable, de la parcelle d'air le long de la ligne de courant. Ce sont les variations d'altitude z et de pression p le long d'une ligne de courant qui maintiennent cette somme constante.
Comme les variations d'altitude sont faibles, et sont négligeables par rapport aux autres termes, alors
:
Le fluide est considéré comme incompressible, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de variation de densité : est constante. Notons qu'à Mach = 0,4, l'erreur reste encore inférieure à 2 %. Considérer que c'est la voile qui se déplace dans l'air à la vitesse ou que c'est l'air qui arrive à la vitesse sur la voile est équivalent. Supposons que l'air est fixe et que c'est la voile qui se déplace. En appliquant le théorème de Bernoulli à la parcelle d'air sur la voile où l'air arrive à la vitesse et puis cette même parcelle d'air avant son arrivée sur la voile , on obtient : d'où
La pression sur l'élément de voile est donc la différence de la pression statique stagnante à l'infini et de la pression dynamique qu'on appellera maintenant . On a donc . La pression statique est constante dans l'espace, de part et d'autre de la voile. Elle s'annule donc globalement lors de l'intégration de la formule dF sur toute la surface de la voile, car la pression d'un côté de la voile est exactement compensée par la pression sur l'autre face de la voile, et est donc éliminée. On peut donc considérer sa valeur comme arbitraire, et l'on obtient si l'on choisit l'égalité .
La pression dynamique est la densité volumique d'énergie cinétique de la parcelle d'air : . On appellera maintenant cette quantité dE . On a donc
d'où .
dans cette formule la pression dE est une inconnue mais dE est bornée. En effet, est compris entre 0 et car si la vitesse est supérieure à alors le surplus d'énergie proviendrait d'une source ou d'un phénomène que l'équation de Bernoulli ne prend pas en compte. Par exemple, la voile pourrait entraîner des phénomènes aérodynamiques non négligeables jamais constatés dans la réalité . Son maximum est appelé Max Q
soit avec un pourcentage de la densité d'énergie cinétique variant de 0 à 100 %. Le pourcentage est inconnu, il devra être déterminé par d'autres moyens .
En intégrant sur toute la surface : avec
:E = Effort que peut donner au maximum le vent ;
:C = coefficient aérodynamique issue de l'intégration ; il est le pourcentage de transmission de la pression dynamique .
Attention, la surface S est la surface totale de la voile donc S est égale à la surface de l'intrados plus la surface de l'extrados : .
Il est possible de diviser l'intégration en deux parties :
* partie extrados
* partie intrados
et donc d'obtenir deux sous coefficients aérodynamiques issus de l'intégration :
* Ce pour l'extrados ; il est le pourcentage de transmission de la pression dynamique sur l'extrados
* Ci pour l'intrados ; il est le pourcentage de transmission de la pression dynamique sur l'intrados
avec
Cependant, pour des raisons pratiques de comparaison de profil, la surface S utilisée dans les tables n'est pas la surface totale de l'objet mais une surface caractéristique. La surface de la corde est souvent utilisée comme surface caractéristique.
Surface de la corde, surface de l'intrados et de l'extrados ne sont pas indépendantes, elles font partie du même objet, le profil. Il existe donc une relation les liant entre elles. Il faut donc calculer les facteurs de forme et tel que , .
D'où
: = coefficient de portance des tables .
Comme les tables se basent sur la surface caractéristique , il en résulte que le coefficient dans les tables dépend de deux facteurs :
* un facteur de pourcentage de transmission de la pression dynamique et
* un facteur de forme et .
Dans un profil mince tel que voile, safran, la surface de la corde est proche de la surface de l'extrados , c'est-à-dire . Idem pour l'intrados.
Par abus de langage, quand une personne indique qu'une voile est de , il veut dire en fait que la surface de l'extrados de la voile est de . La surface réelle de la voile est de , mais c'est bien la valeur de qu'il faut employer dans la formule des tables de portance.
Bien sûr, ce calcul est une aide à la compréhension et à l'utilisation des tables . Le calcul de C est complexe et part du principe fondamental de la dynamique. Le calcul est abordé dans la section : Cas de plusieurs voiles. Dans la suite de l'article, pour alléger la notation, sera noté et sera noté . (fr)
- La puissance physique
La puissance en physique est définie comme
:
ou dans notre cas, le calcul est le calcul de la puissance de la voile :
est l'effort sur la voile ou poussée vélique
, vitesse du navire par rapport au fond noté .
est la puissance instantanée
A vitesse constante du voilier, les efforts contribuant à son avancement sont exactement équilibrés par les efforts de carène :
: ;
d'où
:
Les efforts sont projetés sur l'axe vitesse :
:
La carène se comporte comme un profil immergé. La portance est perpendiculaire à l'avancement du navire, donc elle n'intervient pas. La résistance à l'avancement est due à la traînée de la carène. Pour ne pas compliquer, la route vraie ou route fond est égale à la route surface, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de courant.
:
avec C coefficient de trainée de la carène.
Les facteurs suivants dépendent peu de la vitesse du navire :
:
d'où
:
d'où
:
Donc optimiser la puissance revient à optimiser l'effort propulsif.
or la poussée contribuant à la vitesse est :
: avec
avec :
: angle d'incidence entre la corde de la voile et le vent apparent,
: angle entre le vent apparent et la route fond du navire .
d'où la formule complète est :
:
Le marin pour faire varier la puissance par uniquement trois facteurs de réglage :
* la finesse
* l'incidence
* mais aussi la portance.
Cela signifie que dans certains cas il faut aussi prendre en compte la portance pour optimiser la vitesse du voilier.
La portance a pour équation avec C le coefficient de portance, S la surface de la voile, et V la vitesse du vent apparent. La vitesse n'étant pas identique le long du guindant, il faut prendre une moyenne pondérée . L'effort portance dépend de plusieurs paramètres dont principalement la vitesse du vent apparent, vitesse moyenne qui dépend fortement de la gîte du navire.
La puissance d'un voilier
La puissance physique ne peut augmenter indéfiniment, il arrive un moment où l'effort est tel que la gîte est trop importante, le bateau va chavirer. La puissance est donc limitée par la capacité du bateau à résister à la gîte , autrement dit son moment de redressement.
Le monde maritime préfère donc définir la puissance comme suit : la puissance d'un voilier est son moment de redressement. Cette notion est légèrement différente de la notion de puissance utilisée par les physiciens.
Ce qui empêche le voilier de chavirer, c'est le moment des moyens de contre gîte . Ce moment équilibre exactement le moment généré par l'effort du vent dans les voiles lorsque le navire est à vitesse constante. Cette simplification évitera de partir dans des raffinements de formule trop complexe.
:
avec
* G centre de gravité du voilier
*
* moment de redressement du voilier, ce moment inclus les effets des ballasts de la quille de la carène, etc.
Ces moments sont décomposables suivant les axes du navire : gîte, tangage, lacet. Chaque axe a sa limite , soit :
* Moment maximum à la gîte
* Moment maximum au tangage ;
Bien sûr, il n'est pas possible de chavirer suivant l'axe de lacet.
L'axe de tangage n'aura pas le même moment de redressement que l'axe de gîte. Par nature même d'une forme de carène, une carène est faite pour offrir le moins de résistance de déplacement, la limite suivant l'axe de tangage est considérablement plus importante que suivant la gîte :
:
Pour fixer les ordres de grandeur sur un monocoque, , bien sur cette valeur est plus faible pour un multicoque.
Un voilier est généralement composé de plusieurs voiles, pour ne pas alourdir le propos, le jeu de voiles sera ramené en une seule voile équivalente. Cette voile aura sa propre polaire de voile. Les résultats trouvés pour cette voile équivalente sont applicables à chacune des voiles; comme les voiles s'influencent mutuellement, le bon réglage sera légèrement diffèrent du réglage voile équivalente. Cette différence est déterminable via des logiciels de calcul ou l'expérience du marin sur son voilier .
L'effort dans les voiles change de direction et d'intensité suivant l'allure, la limite admissible par le voilier au portant est diffèrent du près ou du vent arrière. L'effort vélique se décompose en portance et traînée. Il sera noté le bras de levier du tangage et le bras de levier de la gite de l'effort vélique par rapport au centre de gravité.
d'où
:
:
avec angle de l'allure.
Ces moments peuvent aussi être exclusivement exprimés suivant les moyens de contre gite. Une analyse suivant les moyens de contre gîte sort du cadre de cet article. Néanmoins le calcul suivant la carène est fort complexe, mais les résultats de calcul montre que et évolue respectivement suivant l'angle de gîte et de tangage. La valeur des moments crois assez linéairement pour passer par un maximum puis elle diminue. L'approche généralement choisie est l'approche métacentrique :
:
avec
* angle de gîte ou de tangage
* distance du centre de gravité au métacentre
* constante, différente suivant gîte ou tangage.
Dans la littérature, le moment calculé suivant l'approche voile est appelé en anglais heeling moment; l'approche via la carène est appelée en anglais righting moment.
La littérature utilise souvent une équation simplifiée pour calculer le heeling moment ou vue des voiles.
:
et la portance et la traînée sont de la forme :
:
La vitesse du vent n'est pas constante suivant l'altitude, la vitesse dépend de la gîte . Différentes formules simplifiées sont employées :
*
*: qui débouche sur :
*:
*: avec
*:: pression moyenne sur la voile
*:: est appelé heeling arm
*:: angle de gîte ou de tangage
*:: surface des voiles
*:: constante
*:: n un coefficient à déterminer.
* ou qui donnera une autre formule,
* ou autre formule.
Plus la gîte est importante plus le voilier se rapproche de ses limites de sécurité, la gîte n'est donc pas souhaitable. De même d'un point de vue effort la gîte n'est pas souhaitable car elle diminue les efforts donc les performances du navire. Les deux phénomènes vitesse et sécurité agissent dans le même sens. La prise en compte de l'effet vitesse du vent dans la suite de l'explication n'apporte rien, elle accentuerait les résultats trouvés sans apporter d'élément nouveau. Dans la suite de l'explication les angles seront considérés comme faible donc négligé.
De ces courbes, il est déterminé et . Ces points sont des maximums, il suffit d'une risée, d'une sur-vente et la limite est dépassée, donc le navire est en situation de danger. De plus les angles sont trop élevés et la voile ne profite pas des vents rapides d'altitude. Pour ces raisons, il est choisi dans la zone linéaire une limite plus faible donc des angles plus faibles que nous appellerons gîte optimum et tangage optimum.
La force vélique se décompose en traînée et portance, au portant la portance ralentit le navire au près inversement c'est la traînée qui ralentit le navire. Donc au portant la portance est minimisée, au près c'est la traînée qui est minimisée. Par corollaire, la portance au portant est plus faible que la traînée, inversement au près. La transition entre ces deux comportements se situe avant vent de travers, le mode de réglage bascule alors de recherche de traînée maximale à portance maximale. La transition correspond aussi à un écoulement sur la voile de turbulent à laminaire .
Pour fixer les ordres de grandeur, le voilier est considéré à faible gîte , si le voilier est bien conçu alors il est ni mou ni ardent donc le centre vélique est approximativement au-dessus du centre de gravité sur la même vertical :
:
De plus est reste peu variant en première approximation :
* le centre vélique est proche du centre géométrique des voiles
* le cas le plus courant est le voilier sans ballast de plus d'une tonne, donc la majeure partie des poids est fixe, le centre de gravité bouge peu.
Vent arrière
Au portant, une remarque primordiale est à faire, le bord d'attaque est la chute et le bord de fuite c'est le guindant. La situation est inversée par rapport au près. Au portant le profil de voile fonctionne en marche arrière. Comme au portant, la traînée fait avancer le navire, et la portance le ralenti. Il faut donc une traînée maximale, c'est-à-dire une voile qui barre la route au vent et donc une voile à forte incidence. Cela induit un mode d'écoulement du vent sur la voile turbulent.
Considérons le cas simple de vent arrière d'où
:
:
Or en vent arrière la voile travaille exclusivement en traînée, la portance est nulle donc :
:
La gîte n'est pas un problème, le risque est un risque d'enfournement. En vent arrière, le voilier ne peut aller plus vite que le vent. Ainsi, plus le voilier se rapproche de la vitesse du vent réel, plus le vent apparent est faible et donc plus la poussée vélique est faible. Il faut donc hisser un maximum de surface de voile pour faire avancer le voilier aussi proche que possible de la vitesse du vent réel.
Il faut modérer le dernier propos. Dès que le vent n'est plus exactement vent arrière, l'effet vent apparent apparaît. Le vent apparent augmente, donc l'effort vélique aussi; si les voiles hissées étaient calculées pour une limite d'enfournement en vent arrière, cette limite est dépassée. La voilure hissée doit être plus réduite. À ces allures l'effet vent apparent augmentant reste modéré, le voilier est donc toujours à une vitesse inférieure à la vitesse du vent réel. Les limites de vitesse de carène sont donc atteintes par grand vent , or dans des conditions pareilles, le marin raisonnable n'est plus dans une recherche de vitesse mais dans une recherche de sécurité maximale du navire. Il réduit donc fortement la voilure.
Donc dans la réalité, il est hissé une grande surface de voile sans être à la limite de sécurité. La perte de vitesse par rapport au cas surface maximum sera très minime, car en vent arrière le bateau ne peut pas aller plus vite que le vent.
De vent arrière à grand largue
La portance ralentit le navire donc il faut la minimiser. Attention le profil est inversé. La polaire de la voile donnant la traînée maximum et la portance la plus faible est pour une incidence de 90°. Il faut donc maintenir l'incidence perpendiculaire au lit du vent apparent. Dans ce cas la portance reste nulle donc les contraintes sont :
:
:
D'autre part la portance n'est plus parallèle à la route du voilier. Une partie perpendiculaire apparaît qui engendre de la gîte.
Le voiler profite de l'effet vent apparent, le bateau accélère. Comme une gîte apparaît, le voilier compense la gîte grâce à la dérive. La dérive augmente les efforts résistants de la carène. De vent arrière à grand largue, le bateau est de plus en plus rapide,en profitant de l'effet vent apparent en augmentation. Puis à l'approche du largue, la résistance de la carène prend le dessus, le bateau ralentit un peu.
Comme , ici .
Il existe un point de basculement où la contrainte dimensionnement passe de la contrainte de tangage à la contrainte de gîte :
:
soit
:°
L'angle est proche de vent arrière. Pour un ratio faible de ,Il est encore de 165°.
Donc la contrainte est :
:
Au largue, la zone de transition
Au largue, si le voilier garde le même profil de traînée qu'au grand largue, voile bien réglée la portance est nulle. L'effort propulsif suit la formule :
:
Donc plus le voilier se rapproche du travers plus la poussée diminue, jusqu'à devenir nulle. Il arrive donc une allure, au largue ou il est préférable de passer au mode portance du travers.
De même de façon inverse, si le voilier garde le même profil portant qu'au travers, tant que l'incidence n'est pas trop proche de zéro, la voile garde son profil, et propulse le bateau en mode portance. Par contre plus l'allure se rapproche de grand largue, plus l'incidence diminue, plus l'effort propulsif diminue. Il arrive donc une allure, au largue ou il est préférable de passer au mode traînée c'est-à-dire positionner la voile pour couper la trajectoire d'un maximum de vent comme fait au grand largue. Ce point particulier de basculement diffère suivant les voiliers et les jeux de voile disponibles. Par exemple un multicoque a des moyens de contre gîte bien plus performant qu'un monocoque, le point de basculement sera donc différent.
Au travers
Proche du travers, la portance s'inverse, elle contribue à l'avancement du navire, et la traînée ralentit le bateau. L'effort propulsif suit la formule :
:
comme l'angle n'est pas parfaitement à le cas idéal serait donc de trouver un point de la polaire de la voile avec une traînée nulle et une portance maximale. Malheureusement contrairement au portant ou la traînée maximale correspond à une portance nulle, la Théorie des profils minces démontre que dès qu'il y a portance il existe une traînée. Le choix de la bonne incidence de la voile va dépendre de la finesse de la voile . Par nature pour une voile travaillant en portance .
Les contraintes sont :
:
:
Comme , la contrainte est :
: au travers si la voile travail en portance
Au travers, il faut la portance la plus élevée possible donc le choix du profil se tourne vers une voile la plus creuse possible. Mais plus la voile est creuse plus l'écoulement se rapproche d'un écoulement turbulent. Il faut trouver la limite car dans un écoulement turbulent la portance s'effondre.
Le profil étant sélectionné, il faut trouver la bonne incidence. La bonne incidence sera au point de le polaire avec le plus de portance .
La gîte ne pose pas encore de problème car la composante gîte ne contient que la traînée, qui dans ce mode par nature assez faible. La traînée n'est pas la plus faible possible car, il a été choisi le profil avec un maximum de portance donc très creux donc générant beaucoup de traînée pour un profil travaillant en portance).
Comme l'incidence optimum est de 20°, il est possible de régler la voile en mode portance pour des allures correspondant inférieur à . La limite est , à cette allure l'incidence est nulle, l'effort propulsif devient nulle, la voile n'est plus gonflée par le vent.
Il n'est pas rare de voir au travers une voile réglée en traînée. Cette situation comme le démontrent les formules donne une forte gîte, la voile est mal réglée. L'effort propulsif est assuré par la traînée , comme est proche de zéro, l'effort propulsif reste faible. Par contre le reste la quasi-totalité de la traînée fait gîter le voilier.
De petit largue au bon plein
Au allure du près, la voile travaille en portance pour pouvoir remonter au vent. Par contre la gîte devient de plus en plus importante, il faut donc limiter la gîte en améliorant la finesse de la voile . Il faut une voile avec de moins en moins de creux.
Les contraintes sont :
:
:
Comme , ici .
Il existe un point de basculement où la contrainte dimensionnement passe de la contrainte de tangage à la contrainte de gîte :
:
soit
:
avec
: la fonction réciproque de la tangente .
: en radian
Or , dans la pratique donc .
Le point de basculement est proche du travers, même avec un ratio faible de . Donc rapidement après le travers, la voile réglée à la plus grande portance créera une gîte excessive. Le réglage change, la voile sera progressivement réglée pour obtenir la finesse la plus élevée possible .
La contrainte est :
:
Près serré
Les formules sont identiques à précédemment. Par contre la position sur la polaire de la voile change, l'incidence diminue. En effet, l'angle avec le lit du vent devient de plus en plus faible, jusqu'à devenir si faible que c'est la voile qui n'est plus gonflée donc sans profil, la voile flotte au vent.
Analyse des résultats
Les contraintes suivant les allures sont :
: en vent arrière
: au travers
et
: au grand largue et une partie du largue
: au près.
Donc à chaque allure va correspondre une limite différente.
Or
: au grand largue et une partie du largue
: en vent arrière
: au travers
: au près et une partie du largue.
donc :
: au grand largue et une partie du largue
: au travers
: en vent arrière
: au près
L'allure n'est pas une variable d'optimisation mais une donnée entrante. Elle est fixée par le navigateur et dépend naturellement du cap choisi pour rallier sa destination. L'allure varie du près serré à vent arrière soit de 30° environ à 180°.
La finesse d'une voile lorsqu'elle fonctionne en portance est assimilable à un profil mince. La théorie des profils minces donne la formule de la finesse. Mais l'architecte naval ou la voilerie, pour augmenter les performances du voilier, chercheront à avoir une finesse aussi élevée que possible . Ce paramètre est donc par conception assez élevé.
Le facteur est donc assez indépendant de la poussée et est peu variant à allure fixée. Mais suffisamment variant pour qu'au près la formule montre que l'optimisation des performances passe aussi par l'optimisation du facteur finesse. Cette optimisation donnera un réglage différent du réglage purement puissance, appelé finesse .
Donc les contraintes sont directement liées à la poussée. Or la puissance physique est directement liée à la poussée . Donc la puissance au sens redressement est directement lié à la puissance au sens physique.
Finalement, on revient à la même notion que la puissance physique, plus il est difficile de faire chavirer le bateau, plus le bateau supporte une grande surface de toile, plus la force propulsive est importante, plus le voilier avance vite, donc plus il est puissant. Il est bien entendu que l'explication reste un guide de calcul et le lecteur pourra s'il le désire obtenir des formules plus complètes en opérant à des approximations moins sévères que celle faite dans ce guide. Ce domaine est peu vulgarisé et peu abordé par la littérature .
D'autre part le vent apparent est la somme vectorielle du vent réel moins la vitesse du bateau, la mathématique démontre que :
:
La formule met bien en évidence le gain potentiel de vent apparent suivant l'allure du voilier; gain potentiel que le voilier mettra à profit entre près serré et largue. L'effort propulsif est déterminé grâce : et la vitesse du vent . Sans rentrer dans les détails, l'effort des voiles est compensé par la gravité, les efforts hydrodynamiques de la carène et la poussée d'Archimède. En incluant donc toutes les formules, il est possible de déterminer la vitesse maximale du voilier avec une bonne précision suivant son jeu de voile et l'allure. Les logiciels réalisant ce calcul sont nommés des VPP. Les résultats donnent que le navire est le plus rapide aux environs de l'allure du travers , c'est-à-dire la zone ou la portance des voiles se fait sentir, ainsi que le gain vent apparent sans que la compensation des efforts de gîte soit trop élevée.
Le guide de calcul a pour fil rouge de maximiser la vitesse du voilier. Mais suivant les conditions de route, d'autre choix sont possibles, amenant à d'autre type de réglage. Il vient à l'esprit que les réglages seront diffèrents lors de coup de vent, ou bien que le guide ne décrive pas un voilier qui fait route à contre.
Dans la réalité au portant il faut respecter au mieux une incidence de 90° avec le vent apparent, assez simple pour une grande voile avec bôme par contre pour les voiles d'avant c'est plus délicat, même avec des tangons. Mais cette condition n'est pas respectée donc la portance n'est pas nulle. Les performances sont alors moins bonnes que prévu.
Cette approche est côté voile, elle permet de mieux comprendre les réglages et optimisations à apporter. Pour l'architecte naval, la même démarche est menée en plus en utilisant les formules liées cette fois à la carène; si l'architecte dispose de moyens puissants, il sera capable de faire cette optimisation non plus en statique mais en dynamique, c'est-à-dire capable d'inclure plus ou moins bien les phénomènes très complexes et variables de la mer et du vent .
Un moment est un effort multiplié par son bras de levier. Donc, pour la partie carène, la distance doit être la plus élevée possible et pour les voiles la plus faible possible. Le marin a peu de prise sur la longueur des bras de levier ; le gros du travail d'optimisation sera donc à faire par l'architecte naval pour la carène et la voilerie pour les voiles. Bien sûr, cette optimisation n'est pas indépendante, elle est liée à d'autres éléments, elle est limitée par exemple par la recherche des vents en altitude donnant un maximum d'effort propulsif. Le résultat final sera donc un compris entre toutes les contraintes :
* au près, c'est la finesse qui sera l'élément majeur pour la voilerie
* de vent arrière au portant, c'est de minimiser le bras de levier voile centre de gravité qui sera l'élément majeur pour la voilerie. (fr)
- Conservation de la quantité de mouvement
Pour une quantité élémentaire d'air, le principe fondamental de la dynamique s'applique : il y a conservation de la quantité de mouvement. Dans le cas de l'observateur fixé à la parcelle d'air, l'équation est :
: ;
où
* désigne les forces extérieures exercées sur l'objet ;
* m est la masse de la quantité élémentaire d'air ;
* correspond à la vitesse de son centre d'inertie G.
Les forces sont :
* les forces de pression s'exerçant sur toutes les faces de la quantité élémentaire d'air ;
* les forces électromagnétiques s'exerçant sur tout le volume de la quantité élémentaire d'air ;
* les forces de gravité s'exerçant sur tout le volume de la quantité élémentaire d'air ;
* les forces de frottements sur toutes les faces de la quantité élémentaire d'air ;
* les forces massiques .
Dans le cas d'un point de vue Eulerien, on ne connait pas la masse qui passe par le point par contre à ce point il existe une certaine densité de l'air. La densité de l'air est définie par
Les forces ne sont plus exprimées pour une masse donnée mais exprimées pour un volume donné.
Les forces sont :
* la pression
* les frottements
* les autres forces massiques
D'où l'équation de la conservation de la quantité de mouvement eulérienne
L'équation de quantité de mouvement dans le cas d'un fluide est appelée l'équations de Navier-Stokes.
Conservation de la masse
La nouvelle variable densité pour être résolue nécessite une nouvelle équation. La densité peut varier; par contre la masse de la petite quantité d'air ne varie pas du tout . La mathématique prouve pour un observateur fixé à la parcelle est équivalent à pour un observateur fixe dans l'espace. Cette équation est nommée l'Équation de la conservation de la masse .
Conservation de l'énergie
L'énergie ne se volatilise pas. Le Premier principe de la thermodynamique s'applique à la quantité élémentaire d'air, soit :
* est la variation totale d'énergie du système.
* est la variation de l'énergie interne du système; c'est-à-dire son énergie propre correspondant aux énergies cinétiques et potentielles microscopiques, des particules qui le constituent
* est la variation de l'énergie cinétique à l'échelle macroscopique .
* est la variation de l'énergie potentielle à l'échelle macroscopique, du système en interaction avec des champs gravitationnels ou électro-magnétiques.
* est la partie de l'énergie qui correspond au travail échangé avec le milieu extérieur. Le travail n'est pas une fonction d'état mais un mode de transfert ordonné d'énergie entre le milieu extérieur et le système.
* est la quantité d'énergie mise en jeu sous forme de chaleur. Elle est transmise essentiellement par trois processus d'échange thermique : conduction thermique, convection, rayonnement. La chaleur n'est pas non plus une fonction d'état mais un mode de transfert d'énergie microscopique désordonné. C'est en quelque sorte un transfert d'agitation thermique entre le système et le milieu extérieur, qui est par nature désordonné.
Cela signifie donc que si l'énergie d'un système varie cela veut dire qu'il y a eu un échange d'énergie entre celui-ci et le milieu extérieur sous la forme de travail ou de chaleur ou les deux à la fois.
L'énergie par unité de volume est une variable d'état thermodynamique.
Pour une petite variation d'énergie, l'équation est :
Du point de vue Eulerien :
:
:
:
:
D'où (fr)
- Au niveau microscopique, dans un mouvement perpétuel, les parcelles d'air se déplacent en permanence. Mais macroscopiquement, l'air peut ne pas bouger. Si l'air ne bouge pas, cela signifie que chacune des parcelles reste plus ou moins dans un même lieu . La parcelle d'air se déplace autour d'un point fictif fixe dans l'espace sans trop s'éloigner de ce point . Par contre, si l'air bouge, cela signifie que globalement les parcelles se déplacent en grand nombre dans la même direction . Bien sûr le mouvement résultant peut être une combinaison des deux.
Il y a deux origines au mouvement des parcelles d'air : la température et l'influence mécanique du vent.
Rôle de la pression atmosphérique
thumb|right|300px|Simulation de l'agitation thermique des molécules d'un gaz. Ici de l’hélium à température ambiante, la taille et le nombre d’hélium par rapport à l'espace disponible représente une pression de et l'image est ralentie deux trillions de fois
Les atomes des parcelles d'air ne sont pas au repos. Elles ont acquis par divers moyens une certaine quantité d'énergie qu'elles ont transformée en énergie cinétique, autrement dit les parcelles d'air se déplacent en permanence. En se déplaçant, une parcelle d'air va rapidement en rencontrer une autre, et c'est le choc. Le choc modifie les trajectoires. Les deux parcelles rebondissent l'une sur l'autre. Chacune repart dans une autre direction. Rapidement, de nouveau, elle rencontre une autre parcelle pour un nouveau choc, les parcelles repartent dans une autre direction, etc.
Or, un cube d'air d'un millimètre de côté au niveau de la mer, à température ambiante contient des milliards de milliards d'atomes. Et la vitesse moyenne des atomes est en centaine de mètres par seconde. Les chocs entre atomes sont donc innombrables et extrêmement fréquents. L'atome, vu de loin, ne se déplace pas aussi vite, et la direction qu'aura prise cet atome laissera un vide "relatif". Si un groupe d'atomes a une direction privilégiée, il crée un vide "relatif " derrière lui et une "forte" concertation devant lui. Ce vide sera comblé aussitôt par d'autres atomes, de la zone à "forte" concentration donc de la direction opposée, ce qui, vu de loin, annule tout mouvement apparent, aucune direction n'est privilégiée . Globalement, vu de loin, cela donne l'impression que l'air ne se déplace pas. Donc, les atomes des parcelles d'air se déplacent en permanence de façon désordonnée ; ce phénomène est très connu et se nomme la température.
Plus la parcelle d'air est haute dans l'atmosphère, moins la gravité se fait sentir. Il y a donc moins de force pour la ramener sur Terre, et les chocs sont moins violents et fréquents. Donc plus la parcelle est proche du niveau de la mer, plus les chocs sont violents et fréquents.
Quand la parcelle est très proche de la voile, le choc se produit alors entre la voile et cette parcelle. Ces chocs innombrables sur la voile génèrent une force considérable, la force exercée au niveau de la mer est d'environ par mètre carré. Cette force s'exerce sur une surface. C'est donc une pression. Cette pression est la pression atmosphérique. Comme une voile a deux faces, la pression atmosphérique va s'exercer des deux côtés. Finalement, les deux pressions s'équilibrent parfaitement, la voile ne bouge pas.
Rôle du vent
thumb|100px|La particule arrive avec l'énergie (1) et repart avec l'énergie (2) transmettant sur la voile la quantité d'énergie (3) (Les vecteurs du dessin sont des quantité de mouvement)
Cette fois-ci, une partie du mouvement des parcelles est globalement ordonnée , les molécules se déplacent toutes ensemble dans la même direction. Vu de loin, l'air bouge, ce qui revient à dire qu'il y a du vent.
Suivant la configuration de la voile, voici ce qui arrive à une parcelle d'air proche de la voile :
* la voile est libre, elle ne présente au vent que son épaisseur , la parcelle d'air passe sans être notablement perturbée,
* la voile est perpendiculaire au vent , la parcelle d'air s'écrase contre la voile. Elle est quasi stoppée. Les autres parcelles qui suivent l'empêchent fortement de faire marche arrière . Les parcelles d'air transmettent un maximum d'énergie à la voile, voire la quasi-totalité de l'énergie de déplacement ordonné.
* dans les cas intermédiaires, la parcelle d'air rebondit plus ou moins bien, elle ne délivrera qu'une partie de son énergie. De plus, en rebondissant, elle va perturber le mouvement ordonné de celles qui l'accompagnent par collision. Celles-ci vont à leur tour perturber le mouvement ordonné d'autres parcelles par d'autres collisions, etc. Mais, en rebondissant, elle va aussi, par conséquent, perturber l'équilibre de pression atmosphérique, créant une surpression au vent et une dépression sous le vent de la voile. C'est une sorte d'effet domino.
Grâce à l'effet domino, il vient alors rapidement à l'idée que tout ce qui est poussé d'un côté de la voile va combler ce qui manque de l'autre côté de la voile. En d'autres termes, pour une petite surface S1 de la voile face au vent produisant une surpression, par effet domino, cette perturbation annulera la dépression d'une surface S2 collègue située face sous le vent. De même, la même petite surface S2 sous le vent produisant une dépression par effet domino vient annuler la surpression de la surface initiale S1. Donc globalement les surpressions comblent les dépressions, globalement il ne se passe rien, c'est le paradoxe de D'Alembert. C'est là que la viscosité intervient. La viscosité désigne le fait que les chocs ne se passent pas bien, le choc est un choc mou. À chaque choc de parcelle d'air, il y a une infime perte d'énergie. De choc en choc de parcelle, le choc est de moins en moins violent. En fait, après des milliers et milliers de chocs transmettant le choc originel, l'énergie du choc originel a quasiment disparu. À l'échelle humaine, il disparaît rapidement . Cela donne l'impression que les surpressions de la face au vent et les dépressions de la face sous le vent sont indépendantes, ne se perturbent pas par effet domino.
La perte est infime, donc le choc originel transfère de l'énergie quasiment sans perte de l'air à la voile. Or, par nature, le tissu d'une voile est du domaine des matériaux. Une voile est bien plus rigide que l'air, les grains de matière ne s'entrechoquent pas, ne glissent pas entre eux. La voile n'est pas soumise à des phénomènes dissipatifs aussi majeurs. Toute la voile profite sans perte de l'apport de chaque choc de parcelle d'air / grain de matière.
Il y a donc deux phénomènes, le phénomène qui pousse la voile et le phénomène qui empêche en partie la pression atmosphérique de s'exercer .
Direction de la poussée vélique
Le choc de la parcelle d'air sur la voile fait reculer la voile. Le choc ne déplace que très peu la voile sur le côté. L'effort est quasiment perpendiculaire à la surface de la voile. (fr)
- Sans entrer dans des détails trop longs : chaque parcelle d'air s'écrasant sur un petit élément dS de surface de la voile génère une force . La force exercée sur la voile est le produit de la pression p de l'air sur la voile par l'élément de surface dS, soit . est un vecteur unitaire normal à la surface dS dirigé dans le sens de la force .
Suivant le théorème de Bernoulli , et si les transferts de chaleur sont négligés, la parcelle d'air vérifie le long d'une ligne de courant l'équation de conservation suivante :
:
où v est la vitesse, a priori variable, de la parcelle d'air le long de la ligne de courant. Ce sont les variations d'altitude z et de pression p le long d'une ligne de courant qui maintiennent cette somme constante.
Comme les variations d'altitude sont faibles, et sont négligeables par rapport aux autres termes, alors
:
Le fluide est considéré comme incompressible, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de variation de densité : est constante. Notons qu'à Mach = 0,4, l'erreur reste encore inférieure à 2 %. Considérer que c'est la voile qui se déplace dans l'air à la vitesse ou que c'est l'air qui arrive à la vitesse sur la voile est équivalent. Supposons que l'air est fixe et que c'est la voile qui se déplace. En appliquant le théorème de Bernoulli à la parcelle d'air sur la voile où l'air arrive à la vitesse et puis cette même parcelle d'air avant son arrivée sur la voile , on obtient : d'où
La pression sur l'élément de voile est donc la différence de la pression statique stagnante à l'infini et de la pression dynamique qu'on appellera maintenant . On a donc . La pression statique est constante dans l'espace, de part et d'autre de la voile. Elle s'annule donc globalement lors de l'intégration de la formule dF sur toute la surface de la voile, car la pression d'un côté de la voile est exactement compensée par la pression sur l'autre face de la voile, et est donc éliminée. On peut donc considérer sa valeur comme arbitraire, et l'on obtient si l'on choisit l'égalité .
La pression dynamique est la densité volumique d'énergie cinétique de la parcelle d'air : . On appellera maintenant cette quantité dE . On a donc
d'où .
dans cette formule la pression dE est une inconnue mais dE est bornée. En effet, est compris entre 0 et car si la vitesse est supérieure à alors le surplus d'énergie proviendrait d'une source ou d'un phénomène que l'équation de Bernoulli ne prend pas en compte. Par exemple, la voile pourrait entraîner des phénomènes aérodynamiques non négligeables jamais constatés dans la réalité . Son maximum est appelé Max Q
soit avec un pourcentage de la densité d'énergie cinétique variant de 0 à 100 %. Le pourcentage est inconnu, il devra être déterminé par d'autres moyens .
En intégrant sur toute la surface : avec
:E = Effort que peut donner au maximum le vent ;
:C = coefficient aérodynamique issue de l'intégration ; il est le pourcentage de transmission de la pression dynamique .
Attention, la surface S est la surface totale de la voile donc S est égale à la surface de l'intrados plus la surface de l'extrados : .
Il est possible de diviser l'intégration en deux parties :
* partie extrados
* partie intrados
et donc d'obtenir deux sous coefficients aérodynamiques issus de l'intégration :
* Ce pour l'extrados ; il est le pourcentage de transmission de la pression dynamique sur l'extrados
* Ci pour l'intrados ; il est le pourcentage de transmission de la pression dynamique sur l'intrados
avec
Cependant, pour des raisons pratiques de comparaison de profil, la surface S utilisée dans les tables n'est pas la surface totale de l'objet mais une surface caractéristique. La surface de la corde est souvent utilisée comme surface caractéristique.
Surface de la corde, surface de l'intrados et de l'extrados ne sont pas indépendantes, elles font partie du même objet, le profil. Il existe donc une relation les liant entre elles. Il faut donc calculer les facteurs de forme et tel que , .
D'où
: = coefficient de portance des tables .
Comme les tables se basent sur la surface caractéristique , il en résulte que le coefficient dans les tables dépend de deux facteurs :
* un facteur de pourcentage de transmission de la pression dynamique et
* un facteur de forme et .
Dans un profil mince tel que voile, safran, la surface de la corde est proche de la surface de l'extrados , c'est-à-dire . Idem pour l'intrados.
Par abus de langage, quand une personne indique qu'une voile est de , il veut dire en fait que la surface de l'extrados de la voile est de . La surface réelle de la voile est de , mais c'est bien la valeur de qu'il faut employer dans la formule des tables de portance.
Bien sûr, ce calcul est une aide à la compréhension et à l'utilisation des tables . Le calcul de C est complexe et part du principe fondamental de la dynamique. Le calcul est abordé dans la section : Cas de plusieurs voiles. Dans la suite de l'article, pour alléger la notation, sera noté et sera noté . (fr)
- La puissance physique
La puissance en physique est définie comme
:
ou dans notre cas, le calcul est le calcul de la puissance de la voile :
est l'effort sur la voile ou poussée vélique
, vitesse du navire par rapport au fond noté .
est la puissance instantanée
A vitesse constante du voilier, les efforts contribuant à son avancement sont exactement équilibrés par les efforts de carène :
: ;
d'où
:
Les efforts sont projetés sur l'axe vitesse :
:
La carène se comporte comme un profil immergé. La portance est perpendiculaire à l'avancement du navire, donc elle n'intervient pas. La résistance à l'avancement est due à la traînée de la carène. Pour ne pas compliquer, la route vraie ou route fond est égale à la route surface, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de courant.
:
avec C coefficient de trainée de la carène.
Les facteurs suivants dépendent peu de la vitesse du navire :
:
d'où
:
d'où
:
Donc optimiser la puissance revient à optimiser l'effort propulsif.
or la poussée contribuant à la vitesse est :
: avec
avec :
: angle d'incidence entre la corde de la voile et le vent apparent,
: angle entre le vent apparent et la route fond du navire .
d'où la formule complète est :
:
Le marin pour faire varier la puissance par uniquement trois facteurs de réglage :
* la finesse
* l'incidence
* mais aussi la portance.
Cela signifie que dans certains cas il faut aussi prendre en compte la portance pour optimiser la vitesse du voilier.
La portance a pour équation avec C le coefficient de portance, S la surface de la voile, et V la vitesse du vent apparent. La vitesse n'étant pas identique le long du guindant, il faut prendre une moyenne pondérée . L'effort portance dépend de plusieurs paramètres dont principalement la vitesse du vent apparent, vitesse moyenne qui dépend fortement de la gîte du navire.
La puissance d'un voilier
La puissance physique ne peut augmenter indéfiniment, il arrive un moment où l'effort est tel que la gîte est trop importante, le bateau va chavirer. La puissance est donc limitée par la capacité du bateau à résister à la gîte , autrement dit son moment de redressement.
Le monde maritime préfère donc définir la puissance comme suit : la puissance d'un voilier est son moment de redressement. Cette notion est légèrement différente de la notion de puissance utilisée par les physiciens.
Ce qui empêche le voilier de chavirer, c'est le moment des moyens de contre gîte . Ce moment équilibre exactement le moment généré par l'effort du vent dans les voiles lorsque le navire est à vitesse constante. Cette simplification évitera de partir dans des raffinements de formule trop complexe.
:
avec
* G centre de gravité du voilier
*
* moment de redressement du voilier, ce moment inclus les effets des ballasts de la quille de la carène, etc.
Ces moments sont décomposables suivant les axes du navire : gîte, tangage, lacet. Chaque axe a sa limite , soit :
* Moment maximum à la gîte
* Moment maximum au tangage ;
Bien sûr, il n'est pas possible de chavirer suivant l'axe de lacet.
L'axe de tangage n'aura pas le même moment de redressement que l'axe de gîte. Par nature même d'une forme de carène, une carène est faite pour offrir le moins de résistance de déplacement, la limite suivant l'axe de tangage est considérablement plus importante que suivant la gîte :
:
Pour fixer les ordres de grandeur sur un monocoque, , bien sur cette valeur est plus faible pour un multicoque.
Un voilier est généralement composé de plusieurs voiles, pour ne pas alourdir le propos, le jeu de voiles sera ramené en une seule voile équivalente. Cette voile aura sa propre polaire de voile. Les résultats trouvés pour cette voile équivalente sont applicables à chacune des voiles; comme les voiles s'influencent mutuellement, le bon réglage sera légèrement diffèrent du réglage voile équivalente. Cette différence est déterminable via des logiciels de calcul ou l'expérience du marin sur son voilier .
L'effort dans les voiles change de direction et d'intensité suivant l'allure, la limite admissible par le voilier au portant est diffèrent du près ou du vent arrière. L'effort vélique se décompose en portance et traînée. Il sera noté le bras de levier du tangage et le bras de levier de la gite de l'effort vélique par rapport au centre de gravité.
d'où
:
:
avec angle de l'allure.
Ces moments peuvent aussi être exclusivement exprimés suivant les moyens de contre gite. Une analyse suivant les moyens de contre gîte sort du cadre de cet article. Néanmoins le calcul suivant la carène est fort complexe, mais les résultats de calcul montre que et évolue respectivement suivant l'angle de gîte et de tangage. La valeur des moments crois assez linéairement pour passer par un maximum puis elle diminue. L'approche généralement choisie est l'approche métacentrique :
:
avec
* angle de gîte ou de tangage
* distance du centre de gravité au métacentre
* constante, différente suivant gîte ou tangage.
Dans la littérature, le moment calculé suivant l'approche voile est appelé en anglais heeling moment; l'approche via la carène est appelée en anglais righting moment.
La littérature utilise souvent une équation simplifiée pour calculer le heeling moment ou vue des voiles.
:
et la portance et la traînée sont de la forme :
:
La vitesse du vent n'est pas constante suivant l'altitude, la vitesse dépend de la gîte . Différentes formules simplifiées sont employées :
*
*: qui débouche sur :
*:
*: avec
*:: pression moyenne sur la voile
*:: est appelé heeling arm
*:: angle de gîte ou de tangage
*:: surface des voiles
*:: constante
*:: n un coefficient à déterminer.
* ou qui donnera une autre formule,
* ou autre formule.
Plus la gîte est importante plus le voilier se rapproche de ses limites de sécurité, la gîte n'est donc pas souhaitable. De même d'un point de vue effort la gîte n'est pas souhaitable car elle diminue les efforts donc les performances du navire. Les deux phénomènes vitesse et sécurité agissent dans le même sens. La prise en compte de l'effet vitesse du vent dans la suite de l'explication n'apporte rien, elle accentuerait les résultats trouvés sans apporter d'élément nouveau. Dans la suite de l'explication les angles seront considérés comme faible donc négligé.
De ces courbes, il est déterminé et . Ces points sont des maximums, il suffit d'une risée, d'une sur-vente et la limite est dépassée, donc le navire est en situation de danger. De plus les angles sont trop élevés et la voile ne profite pas des vents rapides d'altitude. Pour ces raisons, il est choisi dans la zone linéaire une limite plus faible donc des angles plus faibles que nous appellerons gîte optimum et tangage optimum.
La force vélique se décompose en traînée et portance, au portant la portance ralentit le navire au près inversement c'est la traînée qui ralentit le navire. Donc au portant la portance est minimisée, au près c'est la traînée qui est minimisée. Par corollaire, la portance au portant est plus faible que la traînée, inversement au près. La transition entre ces deux comportements se situe avant vent de travers, le mode de réglage bascule alors de recherche de traînée maximale à portance maximale. La transition correspond aussi à un écoulement sur la voile de turbulent à laminaire .
Pour fixer les ordres de grandeur, le voilier est considéré à faible gîte , si le voilier est bien conçu alors il est ni mou ni ardent donc le centre vélique est approximativement au-dessus du centre de gravité sur la même vertical :
:
De plus est reste peu variant en première approximation :
* le centre vélique est proche du centre géométrique des voiles
* le cas le plus courant est le voilier sans ballast de plus d'une tonne, donc la majeure partie des poids est fixe, le centre de gravité bouge peu.
Vent arrière
Au portant, une remarque primordiale est à faire, le bord d'attaque est la chute et le bord de fuite c'est le guindant. La situation est inversée par rapport au près. Au portant le profil de voile fonctionne en marche arrière. Comme au portant, la traînée fait avancer le navire, et la portance le ralenti. Il faut donc une traînée maximale, c'est-à-dire une voile qui barre la route au vent et donc une voile à forte incidence. Cela induit un mode d'écoulement du vent sur la voile turbulent.
Considérons le cas simple de vent arrière d'où
:
:
Or en vent arrière la voile travaille exclusivement en traînée, la portance est nulle donc :
:
La gîte n'est pas un problème, le risque est un risque d'enfournement. En vent arrière, le voilier ne peut aller plus vite que le vent. Ainsi, plus le voilier se rapproche de la vitesse du vent réel, plus le vent apparent est faible et donc plus la poussée vélique est faible. Il faut donc hisser un maximum de surface de voile pour faire avancer le voilier aussi proche que possible de la vitesse du vent réel.
Il faut modérer le dernier propos. Dès que le vent n'est plus exactement vent arrière, l'effet vent apparent apparaît. Le vent apparent augmente, donc l'effort vélique aussi; si les voiles hissées étaient calculées pour une limite d'enfournement en vent arrière, cette limite est dépassée. La voilure hissée doit être plus réduite. À ces allures l'effet vent apparent augmentant reste modéré, le voilier est donc toujours à une vitesse inférieure à la vitesse du vent réel. Les limites de vitesse de carène sont donc atteintes par grand vent , or dans des conditions pareilles, le marin raisonnable n'est plus dans une recherche de vitesse mais dans une recherche de sécurité maximale du navire. Il réduit donc fortement la voilure.
Donc dans la réalité, il est hissé une grande surface de voile sans être à la limite de sécurité. La perte de vitesse par rapport au cas surface maximum sera très minime, car en vent arrière le bateau ne peut pas aller plus vite que le vent.
De vent arrière à grand largue
La portance ralentit le navire donc il faut la minimiser. Attention le profil est inversé. La polaire de la voile donnant la traînée maximum et la portance la plus faible est pour une incidence de 90°. Il faut donc maintenir l'incidence perpendiculaire au lit du vent apparent. Dans ce cas la portance reste nulle donc les contraintes sont :
:
:
D'autre part la portance n'est plus parallèle à la route du voilier. Une partie perpendiculaire apparaît qui engendre de la gîte.
Le voiler profite de l'effet vent apparent, le bateau accélère. Comme une gîte apparaît, le voilier compense la gîte grâce à la dérive. La dérive augmente les efforts résistants de la carène. De vent arrière à grand largue, le bateau est de plus en plus rapide,en profitant de l'effet vent apparent en augmentation. Puis à l'approche du largue, la résistance de la carène prend le dessus, le bateau ralentit un peu.
Comme , ici .
Il existe un point de basculement où la contrainte dimensionnement passe de la contrainte de tangage à la contrainte de gîte :
:
soit
:°
L'angle est proche de vent arrière. Pour un ratio faible de ,Il est encore de 165°.
Donc la contrainte est :
:
Au largue, la zone de transition
Au largue, si le voilier garde le même profil de traînée qu'au grand largue, voile bien réglée la portance est nulle. L'effort propulsif suit la formule :
:
Donc plus le voilier se rapproche du travers plus la poussée diminue, jusqu'à devenir nulle. Il arrive donc une allure, au largue ou il est préférable de passer au mode portance du travers.
De même de façon inverse, si le voilier garde le même profil portant qu'au travers, tant que l'incidence n'est pas trop proche de zéro, la voile garde son profil, et propulse le bateau en mode portance. Par contre plus l'allure se rapproche de grand largue, plus l'incidence diminue, plus l'effort propulsif diminue. Il arrive donc une allure, au largue ou il est préférable de passer au mode traînée c'est-à-dire positionner la voile pour couper la trajectoire d'un maximum de vent comme fait au grand largue. Ce point particulier de basculement diffère suivant les voiliers et les jeux de voile disponibles. Par exemple un multicoque a des moyens de contre gîte bien plus performant qu'un monocoque, le point de basculement sera donc différent.
Au travers
Proche du travers, la portance s'inverse, elle contribue à l'avancement du navire, et la traînée ralentit le bateau. L'effort propulsif suit la formule :
:
comme l'angle n'est pas parfaitement à le cas idéal serait donc de trouver un point de la polaire de la voile avec une traînée nulle et une portance maximale. Malheureusement contrairement au portant ou la traînée maximale correspond à une portance nulle, la Théorie des profils minces démontre que dès qu'il y a portance il existe une traînée. Le choix de la bonne incidence de la voile va dépendre de la finesse de la voile . Par nature pour une voile travaillant en portance .
Les contraintes sont :
:
:
Comme , la contrainte est :
: au travers si la voile travail en portance
Au travers, il faut la portance la plus élevée possible donc le choix du profil se tourne vers une voile la plus creuse possible. Mais plus la voile est creuse plus l'écoulement se rapproche d'un écoulement turbulent. Il faut trouver la limite car dans un écoulement turbulent la portance s'effondre.
Le profil étant sélectionné, il faut trouver la bonne incidence. La bonne incidence sera au point de le polaire avec le plus de portance .
La gîte ne pose pas encore de problème car la composante gîte ne contient que la traînée, qui dans ce mode par nature assez faible. La traînée n'est pas la plus faible possible car, il a été choisi le profil avec un maximum de portance donc très creux donc générant beaucoup de traînée pour un profil travaillant en portance).
Comme l'incidence optimum est de 20°, il est possible de régler la voile en mode portance pour des allures correspondant inférieur à . La limite est , à cette allure l'incidence est nulle, l'effort propulsif devient nulle, la voile n'est plus gonflée par le vent.
Il n'est pas rare de voir au travers une voile réglée en traînée. Cette situation comme le démontrent les formules donne une forte gîte, la voile est mal réglée. L'effort propulsif est assuré par la traînée , comme est proche de zéro, l'effort propulsif reste faible. Par contre le reste la quasi-totalité de la traînée fait gîter le voilier.
De petit largue au bon plein
Au allure du près, la voile travaille en portance pour pouvoir remonter au vent. Par contre la gîte devient de plus en plus importante, il faut donc limiter la gîte en améliorant la finesse de la voile . Il faut une voile avec de moins en moins de creux.
Les contraintes sont :
:
:
Comme , ici .
Il existe un point de basculement où la contrainte dimensionnement passe de la contrainte de tangage à la contrainte de gîte :
:
soit
:
avec
: la fonction réciproque de la tangente .
: en radian
Or , dans la pratique donc .
Le point de basculement est proche du travers, même avec un ratio faible de . Donc rapidement après le travers, la voile réglée à la plus grande portance créera une gîte excessive. Le réglage change, la voile sera progressivement réglée pour obtenir la finesse la plus élevée possible .
La contrainte est :
:
Près serré
Les formules sont identiques à précédemment. Par contre la position sur la polaire de la voile change, l'incidence diminue. En effet, l'angle avec le lit du vent devient de plus en plus faible, jusqu'à devenir si faible que c'est la voile qui n'est plus gonflée donc sans profil, la voile flotte au vent.
Analyse des résultats
Les contraintes suivant les allures sont :
: en vent arrière
: au travers
et
: au grand largue et une partie du largue
: au près.
Donc à chaque allure va correspondre une limite différente.
Or
: au grand largue et une partie du largue
: en vent arrière
: au travers
: au près et une partie du largue.
donc :
: au grand largue et une partie du largue
: au travers
: en vent arrière
: au près
L'allure n'est pas une variable d'optimisation mais une donnée entrante. Elle est fixée par le navigateur et dépend naturellement du cap choisi pour rallier sa destination. L'allure varie du près serré à vent arrière soit de 30° environ à 180°.
La finesse d'une voile lorsqu'elle fonctionne en portance est assimilable à un profil mince. La théorie des profils minces donne la formule de la finesse. Mais l'architecte naval ou la voilerie, pour augmenter les performances du voilier, chercheront à avoir une finesse aussi élevée que possible . Ce paramètre est donc par conception assez élevé.
Le facteur est donc assez indépendant de la poussée et est peu variant à allure fixée. Mais suffisamment variant pour qu'au près la formule montre que l'optimisation des performances passe aussi par l'optimisation du facteur finesse. Cette optimisation donnera un réglage différent du réglage purement puissance, appelé finesse .
Donc les contraintes sont directement liées à la poussée. Or la puissance physique est directement liée à la poussée . Donc la puissance au sens redressement est directement lié à la puissance au sens physique.
Finalement, on revient à la même notion que la puissance physique, plus il est difficile de faire chavirer le bateau, plus le bateau supporte une grande surface de toile, plus la force propulsive est importante, plus le voilier avance vite, donc plus il est puissant. Il est bien entendu que l'explication reste un guide de calcul et le lecteur pourra s'il le désire obtenir des formules plus complètes en opérant à des approximations moins sévères que celle faite dans ce guide. Ce domaine est peu vulgarisé et peu abordé par la littérature .
D'autre part le vent apparent est la somme vectorielle du vent réel moins la vitesse du bateau, la mathématique démontre que :
:
La formule met bien en évidence le gain potentiel de vent apparent suivant l'allure du voilier; gain potentiel que le voilier mettra à profit entre près serré et largue. L'effort propulsif est déterminé grâce : et la vitesse du vent . Sans rentrer dans les détails, l'effort des voiles est compensé par la gravité, les efforts hydrodynamiques de la carène et la poussée d'Archimède. En incluant donc toutes les formules, il est possible de déterminer la vitesse maximale du voilier avec une bonne précision suivant son jeu de voile et l'allure. Les logiciels réalisant ce calcul sont nommés des VPP. Les résultats donnent que le navire est le plus rapide aux environs de l'allure du travers , c'est-à-dire la zone ou la portance des voiles se fait sentir, ainsi que le gain vent apparent sans que la compensation des efforts de gîte soit trop élevée.
Le guide de calcul a pour fil rouge de maximiser la vitesse du voilier. Mais suivant les conditions de route, d'autre choix sont possibles, amenant à d'autre type de réglage. Il vient à l'esprit que les réglages seront diffèrents lors de coup de vent, ou bien que le guide ne décrive pas un voilier qui fait route à contre.
Dans la réalité au portant il faut respecter au mieux une incidence de 90° avec le vent apparent, assez simple pour une grande voile avec bôme par contre pour les voiles d'avant c'est plus délicat, même avec des tangons. Mais cette condition n'est pas respectée donc la portance n'est pas nulle. Les performances sont alors moins bonnes que prévu.
Cette approche est côté voile, elle permet de mieux comprendre les réglages et optimisations à apporter. Pour l'architecte naval, la même démarche est menée en plus en utilisant les formules liées cette fois à la carène; si l'architecte dispose de moyens puissants, il sera capable de faire cette optimisation non plus en statique mais en dynamique, c'est-à-dire capable d'inclure plus ou moins bien les phénomènes très complexes et variables de la mer et du vent .
Un moment est un effort multiplié par son bras de levier. Donc, pour la partie carène, la distance doit être la plus élevée possible et pour les voiles la plus faible possible. Le marin a peu de prise sur la longueur des bras de levier ; le gros du travail d'optimisation sera donc à faire par l'architecte naval pour la carène et la voilerie pour les voiles. Bien sûr, cette optimisation n'est pas indépendante, elle est liée à d'autres éléments, elle est limitée par exemple par la recherche des vents en altitude donnant un maximum d'effort propulsif. Le résultat final sera donc un compris entre toutes les contraintes :
* au près, c'est la finesse qui sera l'élément majeur pour la voilerie
* de vent arrière au portant, c'est de minimiser le bras de levier voile centre de gravité qui sera l'élément majeur pour la voilerie. (fr)
- Conservation de la quantité de mouvement
Pour une quantité élémentaire d'air, le principe fondamental de la dynamique s'applique : il y a conservation de la quantité de mouvement. Dans le cas de l'observateur fixé à la parcelle d'air, l'équation est :
: ;
où
* désigne les forces extérieures exercées sur l'objet ;
* m est la masse de la quantité élémentaire d'air ;
* correspond à la vitesse de son centre d'inertie G.
Les forces sont :
* les forces de pression s'exerçant sur toutes les faces de la quantité élémentaire d'air ;
* les forces électromagnétiques s'exerçant sur tout le volume de la quantité élémentaire d'air ;
* les forces de gravité s'exerçant sur tout le volume de la quantité élémentaire d'air ;
* les forces de frottements sur toutes les faces de la quantité élémentaire d'air ;
* les forces massiques .
Dans le cas d'un point de vue Eulerien, on ne connait pas la masse qui passe par le point par contre à ce point il existe une certaine densité de l'air. La densité de l'air est définie par
Les forces ne sont plus exprimées pour une masse donnée mais exprimées pour un volume donné.
Les forces sont :
* la pression
* les frottements
* les autres forces massiques
D'où l'équation de la conservation de la quantité de mouvement eulérienne
L'équation de quantité de mouvement dans le cas d'un fluide est appelée l'équations de Navier-Stokes.
Conservation de la masse
La nouvelle variable densité pour être résolue nécessite une nouvelle équation. La densité peut varier; par contre la masse de la petite quantité d'air ne varie pas du tout . La mathématique prouve pour un observateur fixé à la parcelle est équivalent à pour un observateur fixe dans l'espace. Cette équation est nommée l'Équation de la conservation de la masse .
Conservation de l'énergie
L'énergie ne se volatilise pas. Le Premier principe de la thermodynamique s'applique à la quantité élémentaire d'air, soit :
* est la variation totale d'énergie du système.
* est la variation de l'énergie interne du système; c'est-à-dire son énergie propre correspondant aux énergies cinétiques et potentielles microscopiques, des particules qui le constituent
* est la variation de l'énergie cinétique à l'échelle macroscopique .
* est la variation de l'énergie potentielle à l'échelle macroscopique, du système en interaction avec des champs gravitationnels ou électro-magnétiques.
* est la partie de l'énergie qui correspond au travail échangé avec le milieu extérieur. Le travail n'est pas une fonction d'état mais un mode de transfert ordonné d'énergie entre le milieu extérieur et le système.
* est la quantité d'énergie mise en jeu sous forme de chaleur. Elle est transmise essentiellement par trois processus d'échange thermique : conduction thermique, convection, rayonnement. La chaleur n'est pas non plus une fonction d'état mais un mode de transfert d'énergie microscopique désordonné. C'est en quelque sorte un transfert d'agitation thermique entre le système et le milieu extérieur, qui est par nature désordonné.
Cela signifie donc que si l'énergie d'un système varie cela veut dire qu'il y a eu un échange d'énergie entre celui-ci et le milieu extérieur sous la forme de travail ou de chaleur ou les deux à la fois.
L'énergie par unité de volume est une variable d'état thermodynamique.
Pour une petite variation d'énergie, l'équation est :
Du point de vue Eulerien :
:
:
:
:
D'où (fr)
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