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- Problème : calculer la somme suivante :
: pour réel non nul.
Solution : en appliquant le résultat ci-dessus, on obtient que :
:
Développement : la fonction remplit clairement les conditions et a deux pôles simples en , on a donc :
:
Les résidus se calculent aisément puisque ce sont des pôles simples et on a :
:
On a donc
:
et finalement
:
où l'on a utilisé la formule d'Euler pour passer des fonctions trigonométriques à des exponentielles complexes ainsi que la définition de la fonction cotangente hyperbolique.
Remarque : par symétrie, on a que :
:
c'est-à-dire la moitié de la somme précédemment calculée moins le terme pour . Passant à la limite quand a tend vers 0, et utilisant le développement limité , on retrouve le résultat d'Euler : .
On trouvera à l'article Fonction digamma une autre méthode de calcul de ces sommes. (fr)
- Problème : calculer l'intégrale suivante :
:
Solution : on est bien dans les conditions mentionnées plus haut, on a donc :
:
Développement : la fonction rationnelle correspondante est :
:
On construit donc la fonction correspondante pour le calcul de résidu :
:
les deux pôles simples étant :
:
Le pôle est en dehors du cercle unité et ne doit donc pas être considéré ; le pôle est à l'intérieur .
Le résidu de en ce pôle est :
:
Il nous reste maintenant à appliquer la formule de départ :
: (fr)
- Problème : calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :
:
Solution : cette fonction a une primitive réelle et la solution immédiate est .
Développement : la fonction admet deux pôles simples . Un seul de ces deux pôles est compris dans le plan supérieur, on a donc :
:
avec
:
On vérifie donc que ainsi que prévu. (fr)
- Problème : calculer, pour et réels avec :
:
Solution : en appliquant le résultat ci-dessus, on obtient que :
:
Remarque : en considérant respectivement la partie réelle et imaginaire de l'intégrale on obtient :
:
:
et dans le cas particulier et , la deuxième intégrale est l'intégrale de la fonction Sinus cardinal et vaut . Il ne s'agit par ailleurs pas d'une intégrale impropre puisque la fonction sinc est partout définie.
Développement : la fonction a un pôle simple réel et le résidu en ce point est :
:
En appliquant la formule on a donc bien :
: (fr)
- Problème : calculer la somme suivante :
:
Solution : en utilisant le résultat ci-dessus, on a :
:
Développement : la fonction remplit clairement les conditions et a un pôle triple à l'origine. La façon la plus simple d'obtenir le résidu est d'utiliser un développement en série autour de l'origine :
:
Le résidu est, par définition, le coefficient du terme en du développement ci-dessus c'est-à-dire :
:
Nous avons donc :
:
où la dernière égalité s'obtient en considérant la symétrie de la somme.
Nous avons donc bien :
: (fr)
- Problème : calculer l'intégrale suivante :
:
Solution : en appliquant le résultat ci-dessus, on obtient que :
:
Remarque : la partie réelle de l'intégrale est et cette intégrale vaut précisément puisque la solution par le théorème des résidus est réelle.
Développement : la fonction a un seul pôle dans le plan supérieur, à savoir . Le résidu en ce point est :
:
En appliquant la formule, on a donc :
: (fr)
- Problème : calculer la somme suivante :
: pour réel non nul.
Solution : en appliquant le résultat ci-dessus, on obtient que :
:
Développement : la fonction remplit clairement les conditions et a deux pôles simples en , on a donc :
:
Les résidus se calculent aisément puisque ce sont des pôles simples et on a :
:
On a donc
:
et finalement
:
où l'on a utilisé la formule d'Euler pour passer des fonctions trigonométriques à des exponentielles complexes ainsi que la définition de la fonction cotangente hyperbolique.
Remarque : par symétrie, on a que :
:
c'est-à-dire la moitié de la somme précédemment calculée moins le terme pour . Passant à la limite quand a tend vers 0, et utilisant le développement limité , on retrouve le résultat d'Euler : .
On trouvera à l'article Fonction digamma une autre méthode de calcul de ces sommes. (fr)
- Problème : calculer l'intégrale suivante :
:
Solution : on est bien dans les conditions mentionnées plus haut, on a donc :
:
Développement : la fonction rationnelle correspondante est :
:
On construit donc la fonction correspondante pour le calcul de résidu :
:
les deux pôles simples étant :
:
Le pôle est en dehors du cercle unité et ne doit donc pas être considéré ; le pôle est à l'intérieur .
Le résidu de en ce pôle est :
:
Il nous reste maintenant à appliquer la formule de départ :
: (fr)
- Problème : calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :
:
Solution : cette fonction a une primitive réelle et la solution immédiate est .
Développement : la fonction admet deux pôles simples . Un seul de ces deux pôles est compris dans le plan supérieur, on a donc :
:
avec
:
On vérifie donc que ainsi que prévu. (fr)
- Problème : calculer, pour et réels avec :
:
Solution : en appliquant le résultat ci-dessus, on obtient que :
:
Remarque : en considérant respectivement la partie réelle et imaginaire de l'intégrale on obtient :
:
:
et dans le cas particulier et , la deuxième intégrale est l'intégrale de la fonction Sinus cardinal et vaut . Il ne s'agit par ailleurs pas d'une intégrale impropre puisque la fonction sinc est partout définie.
Développement : la fonction a un pôle simple réel et le résidu en ce point est :
:
En appliquant la formule on a donc bien :
: (fr)
- Problème : calculer la somme suivante :
:
Solution : en utilisant le résultat ci-dessus, on a :
:
Développement : la fonction remplit clairement les conditions et a un pôle triple à l'origine. La façon la plus simple d'obtenir le résidu est d'utiliser un développement en série autour de l'origine :
:
Le résidu est, par définition, le coefficient du terme en du développement ci-dessus c'est-à-dire :
:
Nous avons donc :
:
où la dernière égalité s'obtient en considérant la symétrie de la somme.
Nous avons donc bien :
: (fr)
- Problème : calculer l'intégrale suivante :
:
Solution : en appliquant le résultat ci-dessus, on obtient que :
:
Remarque : la partie réelle de l'intégrale est et cette intégrale vaut précisément puisque la solution par le théorème des résidus est réelle.
Développement : la fonction a un seul pôle dans le plan supérieur, à savoir . Le résidu en ce point est :
:
En appliquant la formule, on a donc :
: (fr)
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