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- Attention, cette méthode est purement numérique, elle ne fournit pas l'expression analytique de la série inverse. Dans cet exemple, H est le rapport de deux polynômes en 1/z. Le numérateur ressemble à la multiplication par 2 du dénominateur décalé de 1 période, mais on choisit des valeurs numériques un peu inexactes pour éviter un parfait quotient égal à 2/z.
*Le numérateur, de puissance 11, est une expression de la forme :
*Le dénominateur, de puissance 10, est :
*Ici la division des polynômes ne « tombe pas juste », nous nous contentons d'une approximation du quotient Q, de la forme (fr)
- jusqu'à la puissance 10 :
:
*Le reste R de cette division incomplète est :
:
On peut vérifier sur un tableur ou à la main que ces polynômes répondent bien à la définition de la division euclidienne: H = NUM/DENOM= Q+ R/DENOM. On suppose que le reste est négligeable par rapport aux coefficients du quotient.
Les schémas de ces divers polynômes peuvent être visualisés sur un tableur comme suit.
Image:ZtransfoNumDenomQuotient.PNG
Image:ZtransfoPolynReste.PNG
Par curiosité on peut afficher la réponse impulsionnelle de l'approximation Q de H. De même on peut afficher la réponse indicielle de Q à un échelon de Heaviside.
Image:Ztransfo2reponses.PNG
Si nous nous contentions d'une approximation moins précise de H par le quotient Q, de la forme
:
jusqu'à la puissance 5 par exemple : nous obtiendrions des courbes de réponse légèrement différentes, beaucoup moins précises . Le choix du degré d'approximation, autrement dit du meilleur compromis entre la précision et la lourdeur des calculs, est dicté par l'examen concret du problème spécifique que l'on traite. (fr)
- Pour passer de à , si aucune méthode ne semble déboucher, en désespoir de cause on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x à x qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Exemple : (fr)
- D'autres méthodes d'inversion pour passer de à sont : la lecture à l'envers de la table des transformées usuelles; l'application des règles de décalage, de combinaisons linéaires, de produit de convolution. En désespoir de cause, on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x à x qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Ou bien essayer de trouver un développement de Taylor ou Maclaurin de la fonction à inverser. Un cas particulier favorable se présente lorsque la fonction est une fraction rationnelle. En effet lorsque : , P et Q étant deux polynômes en 1/z, on peut effectuer la division jusqu'au degré de précision souhaité, et l'on obtient directement les valeurs numériques des coefficients , n variant de 0 à m. En l'occurrence on adopte plutôt dans ce cas la notation . La raison en est que, pour les systèmes discrets ou échantillonnés, la fonction de transfert s'écrit h et sa transformée en Z se présente souvent sous cette forme de quotient entre une sortie et une entrée : . Un exemple concret pour illustrer cette démarche: (fr)
- La série génératrice de la suite de Fibonacci est
donc sa transformée en Z est
Pour retrouver la formule de Binet, procédons à la transformation inverse. La méthode des fractions rationnelles peut être tentée. Le dénominateur possède deux pôles, et qui sont le nombre d'or : et l'opposé de son inverse :. Pour les calculs rencontrés ci-dessous on se servira des propriétés suivantes de et : , et
.
La fonction se décompose en fractions rationnelles élémentaires que l'on réécrit un peu :
:.
Une fraction du type peut se travailler ainsi :
:
La première partie étant la transformée de la formule usuelle exponentielle , , la seconde partie 1/z étant le retard pur d'un cran. Si bien que la transformée inverse de cette fraction élémentaire est , en appliquant les règles de combinaisons linéaire nous calculons la suite cherchée :
: (fr)
- Attention, cette méthode est purement numérique, elle ne fournit pas l'expression analytique de la série inverse. Dans cet exemple, H est le rapport de deux polynômes en 1/z. Le numérateur ressemble à la multiplication par 2 du dénominateur décalé de 1 période, mais on choisit des valeurs numériques un peu inexactes pour éviter un parfait quotient égal à 2/z.
*Le numérateur, de puissance 11, est une expression de la forme :
*Le dénominateur, de puissance 10, est :
*Ici la division des polynômes ne « tombe pas juste », nous nous contentons d'une approximation du quotient Q, de la forme (fr)
- jusqu'à la puissance 10 :
:
*Le reste R de cette division incomplète est :
:
On peut vérifier sur un tableur ou à la main que ces polynômes répondent bien à la définition de la division euclidienne: H = NUM/DENOM= Q+ R/DENOM. On suppose que le reste est négligeable par rapport aux coefficients du quotient.
Les schémas de ces divers polynômes peuvent être visualisés sur un tableur comme suit.
Image:ZtransfoNumDenomQuotient.PNG
Image:ZtransfoPolynReste.PNG
Par curiosité on peut afficher la réponse impulsionnelle de l'approximation Q de H. De même on peut afficher la réponse indicielle de Q à un échelon de Heaviside.
Image:Ztransfo2reponses.PNG
Si nous nous contentions d'une approximation moins précise de H par le quotient Q, de la forme
:
jusqu'à la puissance 5 par exemple : nous obtiendrions des courbes de réponse légèrement différentes, beaucoup moins précises . Le choix du degré d'approximation, autrement dit du meilleur compromis entre la précision et la lourdeur des calculs, est dicté par l'examen concret du problème spécifique que l'on traite. (fr)
- Pour passer de à , si aucune méthode ne semble déboucher, en désespoir de cause on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x à x qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Exemple : (fr)
- D'autres méthodes d'inversion pour passer de à sont : la lecture à l'envers de la table des transformées usuelles; l'application des règles de décalage, de combinaisons linéaires, de produit de convolution. En désespoir de cause, on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x à x qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Ou bien essayer de trouver un développement de Taylor ou Maclaurin de la fonction à inverser. Un cas particulier favorable se présente lorsque la fonction est une fraction rationnelle. En effet lorsque : , P et Q étant deux polynômes en 1/z, on peut effectuer la division jusqu'au degré de précision souhaité, et l'on obtient directement les valeurs numériques des coefficients , n variant de 0 à m. En l'occurrence on adopte plutôt dans ce cas la notation . La raison en est que, pour les systèmes discrets ou échantillonnés, la fonction de transfert s'écrit h et sa transformée en Z se présente souvent sous cette forme de quotient entre une sortie et une entrée : . Un exemple concret pour illustrer cette démarche: (fr)
- La série génératrice de la suite de Fibonacci est
donc sa transformée en Z est
Pour retrouver la formule de Binet, procédons à la transformation inverse. La méthode des fractions rationnelles peut être tentée. Le dénominateur possède deux pôles, et qui sont le nombre d'or : et l'opposé de son inverse :. Pour les calculs rencontrés ci-dessous on se servira des propriétés suivantes de et : , et
.
La fonction se décompose en fractions rationnelles élémentaires que l'on réécrit un peu :
:.
Une fraction du type peut se travailler ainsi :
:
La première partie étant la transformée de la formule usuelle exponentielle , , la seconde partie 1/z étant le retard pur d'un cran. Si bien que la transformée inverse de cette fraction élémentaire est , en appliquant les règles de combinaisons linéaire nous calculons la suite cherchée :
: (fr)
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