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- En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée correspondance, fonction multiforme, fonction multivoque ou simplement multifonction) est une relation binaire quelconque, improprement appelée fonction car non fonctionnelle : à chaque élément d'un ensemble elle associe, non pas au plus un élément mais possiblement zéro, un ou plusieurs éléments d'un second ensemble. On peut néanmoins voir une multifonction comme une fonction classique prenant ses valeurs dans l'ensemble des parties du second ensemble. Par contraste, si l'image de chaque point est un singleton, on dit que la correspondance est univoque. Un exemple simple de fonction multivaluée est la fonction réciproque d'une application non injective : à tout point dans son image on fait correspondre l'image réciproque formée des antécédents de ce point. Les fonctions multivaluées apparaissent en analyse complexe où l'on peut en considérer des déterminations, c'est-à-dire des restrictions sur ces relations qui en font des fonctions et qui permettent de calculer certaines intégrales réelles par le biais du théorème des résidus comme ce sera illustré plus bas ; l'utilisation en est cependant malaisée et a été remplacée par la considération plus abstraite de fonctions (univaluées) sur des surfaces de Riemann. Les multifonctions se rencontrent également en analyse convexe et : les cônes tangent et normal à un ensemble, le sous-différentiel d'une fonction, un processus convexe sont des multifonctions. Cette observation et d'autres ont donné une nouvelle impulsion au développement de l'analyse multifonctionnelle (voir la ). (fr)
- En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée correspondance, fonction multiforme, fonction multivoque ou simplement multifonction) est une relation binaire quelconque, improprement appelée fonction car non fonctionnelle : à chaque élément d'un ensemble elle associe, non pas au plus un élément mais possiblement zéro, un ou plusieurs éléments d'un second ensemble. On peut néanmoins voir une multifonction comme une fonction classique prenant ses valeurs dans l'ensemble des parties du second ensemble. Par contraste, si l'image de chaque point est un singleton, on dit que la correspondance est univoque. Un exemple simple de fonction multivaluée est la fonction réciproque d'une application non injective : à tout point dans son image on fait correspondre l'image réciproque formée des antécédents de ce point. Les fonctions multivaluées apparaissent en analyse complexe où l'on peut en considérer des déterminations, c'est-à-dire des restrictions sur ces relations qui en font des fonctions et qui permettent de calculer certaines intégrales réelles par le biais du théorème des résidus comme ce sera illustré plus bas ; l'utilisation en est cependant malaisée et a été remplacée par la considération plus abstraite de fonctions (univaluées) sur des surfaces de Riemann. Les multifonctions se rencontrent également en analyse convexe et : les cônes tangent et normal à un ensemble, le sous-différentiel d'une fonction, un processus convexe sont des multifonctions. Cette observation et d'autres ont donné une nouvelle impulsion au développement de l'analyse multifonctionnelle (voir la ). (fr)
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- 2009 (xsd:integer)
- 2012 (xsd:integer)
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| prop-fr:auteur
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- Anna Ochal (fr)
- Arrigo Cellina (fr)
- Hélène Frankowska (fr)
- Jean-Pierre Aubin (fr)
- Mircea Sofonea (fr)
- Murray R. Spiegel (fr)
- Stanisław Migórski (fr)
- Anna Ochal (fr)
- Arrigo Cellina (fr)
- Hélène Frankowska (fr)
- Jean-Pierre Aubin (fr)
- Mircea Sofonea (fr)
- Murray R. Spiegel (fr)
- Stanisław Migórski (fr)
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- La fonction f définie par a trois singularités : les deux points de branchement et le pôle simple qui est la seule singularité d'indice non nul par rapport au contour ; à la limite et , le théorème des résidus nous donne donc :
:
et , on a donc
En décomposant l'intégrale curviligne en ses sept parties principales et en appliquant le lemme d'estimation pour montrer que l'intégrale le long de , et tendent vers zéro à la limite, il nous reste :
:
à la limite , le long du chemin , l'argument tend vers zéro pour les deux déterminations, le long du chemin , l'argument tend vers pour la première détermination , le long du chemin l'argument tend vers pour les deux déterminations et pour , l'argument tend vers pour la première détermination .
On a donc en notant symboliquement l'argument dans la première détermination :
:
avec pour la partie . On a de même :
:
avec , et . Finalement on a aussi :
:
:
où on a utilisé dans les deux égalités précédentes que la fonction est paire et que l'intégrale sur est égale à l'intégrale sur .
On a donc : et finalement, ainsi que prévu. (fr)
- La fonction f définie par a deux pôles simples tous deux d'indice +1 par rapport à . À la limite et , le théorème des résidus nous donne donc :
:
En décomposant l'intégrale curviligne en ses quatre parties principales et en appliquant le lemme d'estimation pour montrer que l'intégrale le long de et celle le long de tendent vers zéro à la limite, il reste :
:
En utilisant la détermination choisie ci-dessus, on a
:
À la limite , le long du chemin , l'argument tend vers zéro ; le long du chemin , l'argument tend vers , on a donc :
:
et
:
On a donc :
Il nous reste à calculer via les résidus de la fonction en :
:
et
:
où l'on a utilisé que, dans la détermination choisie, l'argument de est . On obtient donc :
et finalement pour :
:
Cette formule reste vraie pour , par passage à la limite ou par un calcul classique. (fr)
- La fonction f définie par a trois singularités : les deux points de branchement et le pôle simple qui est la seule singularité d'indice non nul par rapport au contour ; à la limite et , le théorème des résidus nous donne donc :
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et , on a donc
En décomposant l'intégrale curviligne en ses sept parties principales et en appliquant le lemme d'estimation pour montrer que l'intégrale le long de , et tendent vers zéro à la limite, il nous reste :
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à la limite , le long du chemin , l'argument tend vers zéro pour les deux déterminations, le long du chemin , l'argument tend vers pour la première détermination , le long du chemin l'argument tend vers pour les deux déterminations et pour , l'argument tend vers pour la première détermination .
On a donc en notant symboliquement l'argument dans la première détermination :
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avec pour la partie . On a de même :
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avec , et . Finalement on a aussi :
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où on a utilisé dans les deux égalités précédentes que la fonction est paire et que l'intégrale sur est égale à l'intégrale sur .
On a donc : et finalement, ainsi que prévu. (fr)
- La fonction f définie par a deux pôles simples tous deux d'indice +1 par rapport à . À la limite et , le théorème des résidus nous donne donc :
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En décomposant l'intégrale curviligne en ses quatre parties principales et en appliquant le lemme d'estimation pour montrer que l'intégrale le long de et celle le long de tendent vers zéro à la limite, il reste :
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En utilisant la détermination choisie ci-dessus, on a
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À la limite , le long du chemin , l'argument tend vers zéro ; le long du chemin , l'argument tend vers , on a donc :
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et
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On a donc :
Il nous reste à calculer via les résidus de la fonction en :
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et
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où l'on a utilisé que, dans la détermination choisie, l'argument de est . On obtient donc :
et finalement pour :
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Cette formule reste vraie pour , par passage à la limite ou par un calcul classique. (fr)
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- Hélène Frankowska (fr)
- Jean-Pierre Aubin (fr)
- Hélène Frankowska (fr)
- Jean-Pierre Aubin (fr)
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- Berlin (fr)
- New York/Montréal/Paris (fr)
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- Développement (fr)
- Differential Inclusions (fr)
- Nonlinear Inclusions and Hemivariational Inequalities (fr)
- Set-Valued Analysis (fr)
- Variables complexes (fr)
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- Set-Valued Maps (fr)
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- En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée correspondance, fonction multiforme, fonction multivoque ou simplement multifonction) est une relation binaire quelconque, improprement appelée fonction car non fonctionnelle : à chaque élément d'un ensemble elle associe, non pas au plus un élément mais possiblement zéro, un ou plusieurs éléments d'un second ensemble. On peut néanmoins voir une multifonction comme une fonction classique prenant ses valeurs dans l'ensemble des parties du second ensemble. Par contraste, si l'image de chaque point est un singleton, on dit que la correspondance est univoque. (fr)
- En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée correspondance, fonction multiforme, fonction multivoque ou simplement multifonction) est une relation binaire quelconque, improprement appelée fonction car non fonctionnelle : à chaque élément d'un ensemble elle associe, non pas au plus un élément mais possiblement zéro, un ou plusieurs éléments d'un second ensemble. On peut néanmoins voir une multifonction comme une fonction classique prenant ses valeurs dans l'ensemble des parties du second ensemble. Par contraste, si l'image de chaque point est un singleton, on dit que la correspondance est univoque. (fr)
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- Flervärd funktion (sv)
- Fonction multivaluée (fr)
- Funzione polidroma (it)
- Mengenwertige Abbildung (de)
- Multifunkcja (pl)
- Multivalued function (en)
- دالة متعددة القيم (ar)
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