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- En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui « affirme la possibilité de construire des ensembles en répétant une infinité de fois une action de choix, même non spécifiée explicitement. » Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo. L'axiome du choix peut être accepté ou rejeté, selon la théorie axiomatique des ensembles choisie. (fr)
- En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui « affirme la possibilité de construire des ensembles en répétant une infinité de fois une action de choix, même non spécifiée explicitement. » Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo. L'axiome du choix peut être accepté ou rejeté, selon la théorie axiomatique des ensembles choisie. (fr)
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- * ⇔ : est un cas particulier de . Réciproquement, on déduit de en prenant comme ensemble E la réunion des ensembles appartenant à X : fournit une fonction de choix sur les parties non vides de E, en particulier sur les parties appartenant à X.
* ⇒ : soit R une relation d'équivalence sur un ensemble E. En appliquant à l'ensemble X des classes d'équivalence de R, on obtient une partie F de E telle que tout élément de E est R-équivalent à un unique élément de F.
* ⇒ : à toute surjection s : E → I est associée une relation d'équivalence R sur E : deux éléments sont équivalents s'ils ont même image par s. Un inverse à droite pour s est donné par un choix de représentants de R.
* ⇒ : pour une famille d'ensembles non vides, notons E la réunion disjointe des X, c'est-à-dire l'ensemble de tous les couples tels que x appartienne à X. Alors la première projection, de E dans I, qui à associe i, est une surjection, dont toute section fournit un élément du produit des X.
* ⇒ : soit X un ensemble d'ensembles non vides. En appliquant à la famille de ces ensembles, indexée par X lui-même, on construit un élément de leur produit, c'est-à-dire une fonction de choix. (fr)
- * ⇔ : est un cas particulier de . Réciproquement, on déduit de en prenant comme ensemble E la réunion des ensembles appartenant à X : fournit une fonction de choix sur les parties non vides de E, en particulier sur les parties appartenant à X.
* ⇒ : soit R une relation d'équivalence sur un ensemble E. En appliquant à l'ensemble X des classes d'équivalence de R, on obtient une partie F de E telle que tout élément de E est R-équivalent à un unique élément de F.
* ⇒ : à toute surjection s : E → I est associée une relation d'équivalence R sur E : deux éléments sont équivalents s'ils ont même image par s. Un inverse à droite pour s est donné par un choix de représentants de R.
* ⇒ : pour une famille d'ensembles non vides, notons E la réunion disjointe des X, c'est-à-dire l'ensemble de tous les couples tels que x appartienne à X. Alors la première projection, de E dans I, qui à associe i, est une surjection, dont toute section fournit un élément du produit des X.
* ⇒ : soit X un ensemble d'ensembles non vides. En appliquant à la famille de ces ensembles, indexée par X lui-même, on construit un élément de leur produit, c'est-à-dire une fonction de choix. (fr)
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| rdfs:comment
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- En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui « affirme la possibilité de construire des ensembles en répétant une infinité de fois une action de choix, même non spécifiée explicitement. » Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo. L'axiome du choix peut être accepté ou rejeté, selon la théorie axiomatique des ensembles choisie. (fr)
- En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui « affirme la possibilité de construire des ensembles en répétant une infinité de fois une action de choix, même non spécifiée explicitement. » Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo. L'axiome du choix peut être accepté ou rejeté, selon la théorie axiomatique des ensembles choisie. (fr)
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