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- En mathématique, un anneau noethérien est un cas particulier d'anneau, c'est-à-dire d'un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication compatible avec l'addition, au sens de la distributivité. De nombreuses questions mathématiques s'expriment dans un contexte d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module sur un anneau, les entiers algébriques de la théorie algébrique des nombres, ou encore les surfaces de la géométrie algébrique. Si les anneaux sont nombreux, rares sont ceux disposant des propriétés communes aux exemples les plus simples comme les entiers relatifs ou les polynômes à coefficients dans un corps. La division euclidienne n'existe en général plus, les idéaux, outils majeurs de la théorie des anneaux, ne sont plus toujours principaux et le théorème fondamental de l'arithmétique ne possède plus d'équivalent. L'approche consistant à étudier une question uniquement sous l'angle des propriétés spécifiques d'une structure d'anneau particulière s'est révélée fructueuse. Richard Dedekind l'a utilisée avec succès en arithmétique et David Hilbert en géométrie algébrique. En 1920-1921, Emmy Noether choisit un nombre plus limité de propriétés vérifiées par certains anneaux et démontre de nombreux résultats sur ceux-ci. Le terme d'« anneau noethérien » apparait en 1943 sous la plume de Claude Chevalley. (fr)
- En mathématique, un anneau noethérien est un cas particulier d'anneau, c'est-à-dire d'un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication compatible avec l'addition, au sens de la distributivité. De nombreuses questions mathématiques s'expriment dans un contexte d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module sur un anneau, les entiers algébriques de la théorie algébrique des nombres, ou encore les surfaces de la géométrie algébrique. Si les anneaux sont nombreux, rares sont ceux disposant des propriétés communes aux exemples les plus simples comme les entiers relatifs ou les polynômes à coefficients dans un corps. La division euclidienne n'existe en général plus, les idéaux, outils majeurs de la théorie des anneaux, ne sont plus toujours principaux et le théorème fondamental de l'arithmétique ne possède plus d'équivalent. L'approche consistant à étudier une question uniquement sous l'angle des propriétés spécifiques d'une structure d'anneau particulière s'est révélée fructueuse. Richard Dedekind l'a utilisée avec succès en arithmétique et David Hilbert en géométrie algébrique. En 1920-1921, Emmy Noether choisit un nombre plus limité de propriétés vérifiées par certains anneaux et démontre de nombreux résultats sur ceux-ci. Le terme d'« anneau noethérien » apparait en 1943 sous la plume de Claude Chevalley. (fr)
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- On sait qu'il existe des idéaux premiers dont le produit est inclus dans I. Un idéal premier quelconque Q de A contenant I contient en particulier le produit des . Une propriété caractéristique des idéaux premiers indique que l'idéal premier Q contient l'un des . Ainsi, les éléments minimaux parmi les idéaux sont les idéaux minimaux contenant I.
* Tout idéal radiciel de A est intersection finie d'idéaux premiers : (fr)
- Une preuve plus compliquée, mais instructive, est d'utiliser la décomposition primaire , en remarquant que le radical de tout idéal primaire est premier, et que dans un anneau noethérien, tout idéal contient une puissance de son radical.
* Existence et finitude des idéaux premiers minimaux contenant un idéal I : (fr)
- Montrons la première assertion, par l'absurde. Soit F l'ensemble, supposé non vide, des idéaux de A qui ne contiennent aucun produit d'idéaux premiers . Soit I un élément maximal de F. L'idéal I est propre et non premier. D'après une propriété caractéristique des idéaux non premiers, il existe donc deux idéaux J et K tels que I contienne le produit J.K mais soit strictement contenu dans J et K. Alors les idéaux J et K n'appartiennent pas à F, donc chacun d'eux contient un produit d'idéaux premiers. Comme I contient leur produit, on aboutit à une contradiction, ce qui termine la démonstration du premier point. (fr)
- On montre en fait un peu mieux : dans un anneau noethérien, tout idéal est intersection finie d'idéaux irréductibles, et tout idéal irréductible est primaire.
** Pour le premier point, on raisonne par l'absurde comme précédemment : soient F l'ensemble, supposé non vide, des idéaux de A qui ne sont pas intersection finie d'irréductibles, et I un élément maximal de F. Alors I est réductible donc égal à l'intersection de deux idéaux J et K dans lesquels il est strictement inclus. Par maximalité, J et K n'appartiennent pas à F, donc chacun d'eux est intersection finie d'irréductibles, d'où la contradiction.
** Pour le second point, Le défi algébrique, tome 2, de Claude Mutafian, p. 239, ou , chapitre II, § 2, exercice 22, ou encore . (fr)
- On raisonne à nouveau par l'absurde comme précédemment, en considérant l'ensemble, supposé non vide, des idéaux principaux de A engendrés par des éléments non nuls et non inversibles qui ne vérifient pas la propriété énoncée. Cet ensemble admettant un élément maximal pour l'inclusion, on conclut aisément à une contradiction en étudiant cet élément maximal. (fr)
- Soit I un idéal radiciel de A. On sait qu'il existe des idéaux premiers tels que . Mais si alors , donc , d'où l'égalité .
* Tout idéal est intersection finie d'idéaux primaires : (fr)
- Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien.
Soit la suite d'idéaux de A définie par :
Cette suite est croissante donc constante à partir d'un rang r . La réunion de tous les Dn est donc égale à Dr.
Pour chaque entier n, l'idéal Dn est de type fini donc possède une famille génératrice finie . Pour chacun de ces an,i, soit Pn,i un polynôme de J de degré n et de coefficient dominant égal à an,i.
Montrons que la famille finie , doublement indexée par n inférieur ou égal à r et par i dans In, engendre J. Cette assertion signifie que tout polynôme Q de J s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A[X] de cette famille .
Si Q est nul, c'est immédiat. Sinon, on se ramène à ce cas par récurrence sur le degré d de Q : supposons que la famille engendre tous les polynômes de J de degré strictement inférieur à l'entier naturel d .
Soient q le coefficient dominant de Q et s=min. Alors q appartient à Dd=Ds. Il existe en conséquence une famille d'éléments de A telle que
L'hypothèse de récurrence montre que Q est engendré par la famille , ce qui termine la démonstration. (fr)
- * Tout idéal de A contient un produit d'idéaux premiers, ou plus précisément, tout idéal I de A contient un produit d'idéaux premiers qui contiennent I : (fr)
- * Si A est intègre, tout élément non nul et non inversible est produit d'un nombre fini d'irréductibles : (fr)
- En raison de la correspondance biunivoque entre les idéaux premiers de l'anneau quotient A/I et ceux de l'anneau A contenant I, on déduit le second point du premier appliqué à l'idéal de l'anneau A/I. (fr)
- On sait qu'il existe des idéaux premiers dont le produit est inclus dans I. Un idéal premier quelconque Q de A contenant I contient en particulier le produit des . Une propriété caractéristique des idéaux premiers indique que l'idéal premier Q contient l'un des . Ainsi, les éléments minimaux parmi les idéaux sont les idéaux minimaux contenant I.
* Tout idéal radiciel de A est intersection finie d'idéaux premiers : (fr)
- Une preuve plus compliquée, mais instructive, est d'utiliser la décomposition primaire , en remarquant que le radical de tout idéal primaire est premier, et que dans un anneau noethérien, tout idéal contient une puissance de son radical.
* Existence et finitude des idéaux premiers minimaux contenant un idéal I : (fr)
- Montrons la première assertion, par l'absurde. Soit F l'ensemble, supposé non vide, des idéaux de A qui ne contiennent aucun produit d'idéaux premiers . Soit I un élément maximal de F. L'idéal I est propre et non premier. D'après une propriété caractéristique des idéaux non premiers, il existe donc deux idéaux J et K tels que I contienne le produit J.K mais soit strictement contenu dans J et K. Alors les idéaux J et K n'appartiennent pas à F, donc chacun d'eux contient un produit d'idéaux premiers. Comme I contient leur produit, on aboutit à une contradiction, ce qui termine la démonstration du premier point. (fr)
- On montre en fait un peu mieux : dans un anneau noethérien, tout idéal est intersection finie d'idéaux irréductibles, et tout idéal irréductible est primaire.
** Pour le premier point, on raisonne par l'absurde comme précédemment : soient F l'ensemble, supposé non vide, des idéaux de A qui ne sont pas intersection finie d'irréductibles, et I un élément maximal de F. Alors I est réductible donc égal à l'intersection de deux idéaux J et K dans lesquels il est strictement inclus. Par maximalité, J et K n'appartiennent pas à F, donc chacun d'eux est intersection finie d'irréductibles, d'où la contradiction.
** Pour le second point, Le défi algébrique, tome 2, de Claude Mutafian, p. 239, ou , chapitre II, § 2, exercice 22, ou encore . (fr)
- On raisonne à nouveau par l'absurde comme précédemment, en considérant l'ensemble, supposé non vide, des idéaux principaux de A engendrés par des éléments non nuls et non inversibles qui ne vérifient pas la propriété énoncée. Cet ensemble admettant un élément maximal pour l'inclusion, on conclut aisément à une contradiction en étudiant cet élément maximal. (fr)
- Soit I un idéal radiciel de A. On sait qu'il existe des idéaux premiers tels que . Mais si alors , donc , d'où l'égalité .
* Tout idéal est intersection finie d'idéaux primaires : (fr)
- Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien.
Soit la suite d'idéaux de A définie par :
Cette suite est croissante donc constante à partir d'un rang r . La réunion de tous les Dn est donc égale à Dr.
Pour chaque entier n, l'idéal Dn est de type fini donc possède une famille génératrice finie . Pour chacun de ces an,i, soit Pn,i un polynôme de J de degré n et de coefficient dominant égal à an,i.
Montrons que la famille finie , doublement indexée par n inférieur ou égal à r et par i dans In, engendre J. Cette assertion signifie que tout polynôme Q de J s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A[X] de cette famille .
Si Q est nul, c'est immédiat. Sinon, on se ramène à ce cas par récurrence sur le degré d de Q : supposons que la famille engendre tous les polynômes de J de degré strictement inférieur à l'entier naturel d .
Soient q le coefficient dominant de Q et s=min. Alors q appartient à Dd=Ds. Il existe en conséquence une famille d'éléments de A telle que
L'hypothèse de récurrence montre que Q est engendré par la famille , ce qui termine la démonstration. (fr)
- * Tout idéal de A contient un produit d'idéaux premiers, ou plus précisément, tout idéal I de A contient un produit d'idéaux premiers qui contiennent I : (fr)
- * Si A est intègre, tout élément non nul et non inversible est produit d'un nombre fini d'irréductibles : (fr)
- En raison de la correspondance biunivoque entre les idéaux premiers de l'anneau quotient A/I et ceux de l'anneau A contenant I, on déduit le second point du premier appliqué à l'idéal de l'anneau A/I. (fr)
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- En mathématique, un anneau noethérien est un cas particulier d'anneau, c'est-à-dire d'un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication compatible avec l'addition, au sens de la distributivité. De nombreuses questions mathématiques s'expriment dans un contexte d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module sur un anneau, les entiers algébriques de la théorie algébrique des nombres, ou encore les surfaces de la géométrie algébrique. Si les anneaux sont nombreux, rares sont ceux disposant des propriétés communes aux exemples les plus simples comme les entiers relatifs ou les polynômes à coefficients dans un corps. La division euclidienne n'existe en général plus, les idéaux, outils majeurs de la théorie des anneaux, ne sont plus toujours principaux et le théorème fon (fr)
- En mathématique, un anneau noethérien est un cas particulier d'anneau, c'est-à-dire d'un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication compatible avec l'addition, au sens de la distributivité. De nombreuses questions mathématiques s'expriment dans un contexte d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module sur un anneau, les entiers algébriques de la théorie algébrique des nombres, ou encore les surfaces de la géométrie algébrique. Si les anneaux sont nombreux, rares sont ceux disposant des propriétés communes aux exemples les plus simples comme les entiers relatifs ou les polynômes à coefficients dans un corps. La division euclidienne n'existe en général plus, les idéaux, outils majeurs de la théorie des anneaux, ne sont plus toujours principaux et le théorème fon (fr)
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