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- En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées A [X1, … , Xn] l'est aussi. Démonstration Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien. Soit (Dn) la suite d'idéaux de A définie par : Cette suite (Dn) est croissante (car ) donc constante à partir d'un rang r (car A est noethérien). La réunion de tous les Dn est donc égale à Dr. Pour chaque entier n, l'idéal Dn est de type fini (car A est noethérien) donc possède une famille génératrice finie (an,i) (le second indice, i, parcourt un ensemble fini In). Pour chacun de ces an,i, soit Pn,i un polynôme de J de degré n et de coefficient dominant égal à an,i. Montrons que la famille finie (Pn,i), doublement indexée par n inférieur ou égal à r et par i dans In, engendre J. Cette assertion signifie que tout polynôme Q de J s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A[X] de cette famille (Pn,i). Si Q est nul, c'est immédiat. Sinon, on se ramène à ce cas par récurrence sur le degré d de Q : supposons que la famille engendre tous les polynômes de J de degré strictement inférieur à l'entier naturel d (pour d=0 c'est acquis, le seul polynôme de degré < 0 étant le polynôme nul).Soient q le coefficient dominant de Q et s=min(r,d). Alors q appartient à Dd=Ds. Il existe en conséquence une famille (μi) d'éléments de A telle que L'hypothèse de récurrence montre que Q est engendré par la famille (Pn,i), ce qui termine la démonstration. (fr)
- En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées A [X1, … , Xn] l'est aussi. Démonstration Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien. Soit (Dn) la suite d'idéaux de A définie par : Cette suite (Dn) est croissante (car ) donc constante à partir d'un rang r (car A est noethérien). La réunion de tous les Dn est donc égale à Dr. Pour chaque entier n, l'idéal Dn est de type fini (car A est noethérien) donc possède une famille génératrice finie (an,i) (le second indice, i, parcourt un ensemble fini In). Pour chacun de ces an,i, soit Pn,i un polynôme de J de degré n et de coefficient dominant égal à an,i. Montrons que la famille finie (Pn,i), doublement indexée par n inférieur ou égal à r et par i dans In, engendre J. Cette assertion signifie que tout polynôme Q de J s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A[X] de cette famille (Pn,i). Si Q est nul, c'est immédiat. Sinon, on se ramène à ce cas par récurrence sur le degré d de Q : supposons que la famille engendre tous les polynômes de J de degré strictement inférieur à l'entier naturel d (pour d=0 c'est acquis, le seul polynôme de degré < 0 étant le polynôme nul).Soient q le coefficient dominant de Q et s=min(r,d). Alors q appartient à Dd=Ds. Il existe en conséquence une famille (μi) d'éléments de A telle que L'hypothèse de récurrence montre que Q est engendré par la famille (Pn,i), ce qui termine la démonstration. (fr)
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- En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées A [X1, … , Xn] l'est aussi. Démonstration Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien. Soit (Dn) la suite d'idéaux de A définie par : Cette suite (Dn) est croissante (car ) donc constante à partir d'un rang r (car A est noethérien). La réunion de tous les Dn est donc égale à Dr. (fr)
- En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées A [X1, … , Xn] l'est aussi. Démonstration Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien. Soit (Dn) la suite d'idéaux de A définie par : Cette suite (Dn) est croissante (car ) donc constante à partir d'un rang r (car A est noethérien). La réunion de tous les Dn est donc égale à Dr. (fr)
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