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- En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation de la définition d'un idéal. Ce concept doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant celui des entiers relatifs. Ces anneaux (unitaires) ne disposent en général pas d'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique et il n'est pas possible de factoriser un entier en un unique produit de facteurs premiers au groupe des éléments inversibles près. Les idéaux fournissent un équivalent de ce théorème, permettant de résoudre certaines équations diophantiennes ou d'établir des lois de réciprocités équivalentes à la loi de réciprocité quadratique établie par Gauss. Les idéaux disposent d'une multiplication, cette opération est associative et il existe un élément neutre constitué de l'anneau tout entier. En revanche, le manque d'inverse empêche de munir l'ensemble des idéaux d'une structure de groupe. Dans le cas des anneaux d'entiers, la structure possède toutes les bonnes propriétés pour offrir un contournement. Cette configuration est axiomatisée dans la définition d'un anneau de Dedekind. Dans un premier temps l'anneau est plongé dans son anneau total de fractions, puis la notion d'idéal est généralisée. Cette notion est aussi utilisée en géométrie algébrique. (fr)
- En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation de la définition d'un idéal. Ce concept doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant celui des entiers relatifs. Ces anneaux (unitaires) ne disposent en général pas d'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique et il n'est pas possible de factoriser un entier en un unique produit de facteurs premiers au groupe des éléments inversibles près. Les idéaux fournissent un équivalent de ce théorème, permettant de résoudre certaines équations diophantiennes ou d'établir des lois de réciprocités équivalentes à la loi de réciprocité quadratique établie par Gauss. Les idéaux disposent d'une multiplication, cette opération est associative et il existe un élément neutre constitué de l'anneau tout entier. En revanche, le manque d'inverse empêche de munir l'ensemble des idéaux d'une structure de groupe. Dans le cas des anneaux d'entiers, la structure possède toutes les bonnes propriétés pour offrir un contournement. Cette configuration est axiomatisée dans la définition d'un anneau de Dedekind. Dans un premier temps l'anneau est plongé dans son anneau total de fractions, puis la notion d'idéal est généralisée. Cette notion est aussi utilisée en géométrie algébrique. (fr)
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- Référence:Algèbre L3 (fr)
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- Algèbre commutative (fr)
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- C. Duverney (fr)
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- http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.moret-bailly/docpedag/polys/tano04.pdf|titre=Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques (fr)
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- En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation de la définition d'un idéal. Ce concept doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant celui des entiers relatifs. Ces anneaux (unitaires) ne disposent en général pas d'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique et il n'est pas possible de factoriser un entier en un unique produit de facteurs premiers au groupe des éléments inversibles près. Les idéaux fournissent un équivalent de ce théorème, permettant de résoudre certaines équations diophantiennes ou d'établir des lois de réciprocités équivalentes à la loi de réciprocité quadratique établie par Gauss. (fr)
- En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation de la définition d'un idéal. Ce concept doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant celui des entiers relatifs. Ces anneaux (unitaires) ne disposent en général pas d'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique et il n'est pas possible de factoriser un entier en un unique produit de facteurs premiers au groupe des éléments inversibles près. Les idéaux fournissent un équivalent de ce théorème, permettant de résoudre certaines équations diophantiennes ou d'établir des lois de réciprocités équivalentes à la loi de réciprocité quadratique établie par Gauss. (fr)
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- Fractional ideal (en)
- Idéal fractionnaire (fr)
- Дробовий ідеал (uk)
- 分式理想 (zh)
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