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- En mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, le dernier théorème de Fermat traite des racines de l'équation diophantienne suivante, d'inconnues , et : Il affirme qu'il n'existe aucune solution non triviale si le paramètre n est strictement supérieur à 2. Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers dont les solutions recherchées sont entières. Si, comme dans l'exemple ci-dessus, l'expression est souvent simple, la résolution s'avère en général ardue. Pierre de Fermat énonce ce résultat dans la marge de son exemplaire du livre Arithmetica de Diophante et y indique qu'il en a trouvé une « démonstration véritablement merveilleuse ». Il est peu probable qu'une démonstration accessible à Fermat existe. En effet, il fallut de nombreuses tentatives ainsi que près de 350 ans d'efforts pour qu'une preuve en soit donnée en 1994, par Andrew Wiles. (fr)
- En mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, le dernier théorème de Fermat traite des racines de l'équation diophantienne suivante, d'inconnues , et : Il affirme qu'il n'existe aucune solution non triviale si le paramètre n est strictement supérieur à 2. Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers dont les solutions recherchées sont entières. Si, comme dans l'exemple ci-dessus, l'expression est souvent simple, la résolution s'avère en général ardue. Pierre de Fermat énonce ce résultat dans la marge de son exemplaire du livre Arithmetica de Diophante et y indique qu'il en a trouvé une « démonstration véritablement merveilleuse ». Il est peu probable qu'une démonstration accessible à Fermat existe. En effet, il fallut de nombreuses tentatives ainsi que près de 350 ans d'efforts pour qu'une preuve en soit donnée en 1994, par Andrew Wiles. (fr)
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- La démonstration utilise encore une fois la méthode de descente infinie. On suppose qu'il existe d'autres solutions que celles des polynômes constants et on considère un triplet de polynômes de cette nature, et soit n0 la somme de leurs degrés. À l'aide de cette solution, on en construit une nouvelle tel que la somme des degrés n1 est strictement positive et strictement inférieure à n0. En réitérant le processus, on obtient une suite infinie et strictement décroissante d'entiers positifs. La méthode de descente infinie procure la contradiction recherchée.
La lettre ζ désigne une racine primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine telle que les nombres ζj, si j varie de 0 à n – 1, décrivent toutes les racines n-ièmes de l'unité. Le polynôme Xn – 1 possède exactement n racines distinctes qui sont les n racines de l'unité, ce qui permet de déduire les égalités :
L'équation de Fermat s'écrit encore :
Cette factorisation est possible dans tous les anneaux commutatifs unitaires intègres contenant les n racines n-ièmes de l'unité.
Le caractère factoriel intervient maintenant dans la démonstration. On remarque que les polynômes r – ζjq sont premiers entre eux deux à deux. Deux polynômes de cette nature engendrent en effet l'espace vectoriel de base r et q. Un diviseur commun divise donc r et q et par hypothèse est constant. Chaque facteur premier de r – ζjq est un facteur premier de pn donc de p et se trouve nécessairement à la puissance n dans le polynôme r – ζjq puisqu'il n'est pas présent dans les polynômes r – ζkq si k est différent de j. On en déduit que le polynôme r – ζjq est une puissance n-ième et qu'il existe un polynôme aj tel que ajn est égal à r – ζjq. On obtient l'égalité :
On remarque que les polynômes aj sont premiers entre eux deux à deux, car les polynômes r – ζjq le sont et une analyse de leur monôme dominant montre que l'un au plus est constant. Considérons les trois polynômes a1, a2 et a3. Leur puissance n-ième est dans le plan vectoriel engendré par r et q. Il existe donc une combinaison linéaire non triviale entre eux trois.
Comme tout élément de ℂ s'exprime comme une puissance n-ième d'un élément de ℂ, il existe trois complexes α1, β1 et γ1 tels que :
,
ce qui montre l'existence de trois polynômes non tous constants, premiers entre eux deux à deux, de somme des degrés strictement inférieure à n0, satisfaisant l'équation initiale, offrant le cadre nécessaire à la mise en place de la méthode de descente infinie. (fr)
- La démonstration utilise encore une fois la méthode de descente infinie. On suppose qu'il existe d'autres solutions que celles des polynômes constants et on considère un triplet de polynômes de cette nature, et soit n0 la somme de leurs degrés. À l'aide de cette solution, on en construit une nouvelle tel que la somme des degrés n1 est strictement positive et strictement inférieure à n0. En réitérant le processus, on obtient une suite infinie et strictement décroissante d'entiers positifs. La méthode de descente infinie procure la contradiction recherchée.
La lettre ζ désigne une racine primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine telle que les nombres ζj, si j varie de 0 à n – 1, décrivent toutes les racines n-ièmes de l'unité. Le polynôme Xn – 1 possède exactement n racines distinctes qui sont les n racines de l'unité, ce qui permet de déduire les égalités :
L'équation de Fermat s'écrit encore :
Cette factorisation est possible dans tous les anneaux commutatifs unitaires intègres contenant les n racines n-ièmes de l'unité.
Le caractère factoriel intervient maintenant dans la démonstration. On remarque que les polynômes r – ζjq sont premiers entre eux deux à deux. Deux polynômes de cette nature engendrent en effet l'espace vectoriel de base r et q. Un diviseur commun divise donc r et q et par hypothèse est constant. Chaque facteur premier de r – ζjq est un facteur premier de pn donc de p et se trouve nécessairement à la puissance n dans le polynôme r – ζjq puisqu'il n'est pas présent dans les polynômes r – ζkq si k est différent de j. On en déduit que le polynôme r – ζjq est une puissance n-ième et qu'il existe un polynôme aj tel que ajn est égal à r – ζjq. On obtient l'égalité :
On remarque que les polynômes aj sont premiers entre eux deux à deux, car les polynômes r – ζjq le sont et une analyse de leur monôme dominant montre que l'un au plus est constant. Considérons les trois polynômes a1, a2 et a3. Leur puissance n-ième est dans le plan vectoriel engendré par r et q. Il existe donc une combinaison linéaire non triviale entre eux trois.
Comme tout élément de ℂ s'exprime comme une puissance n-ième d'un élément de ℂ, il existe trois complexes α1, β1 et γ1 tels que :
,
ce qui montre l'existence de trois polynômes non tous constants, premiers entre eux deux à deux, de somme des degrés strictement inférieure à n0, satisfaisant l'équation initiale, offrant le cadre nécessaire à la mise en place de la méthode de descente infinie. (fr)
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- Démonstration (fr)
- Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory (fr)
- On Fermat's last theorem for N = 3 and N = 4 (fr)
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- Springer (fr)
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- En mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, le dernier théorème de Fermat traite des racines de l'équation diophantienne suivante, d'inconnues , et : Il affirme qu'il n'existe aucune solution non triviale si le paramètre n est strictement supérieur à 2. Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers dont les solutions recherchées sont entières. Si, comme dans l'exemple ci-dessus, l'expression est souvent simple, la résolution s'avère en général ardue. (fr)
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- Démonstration du dernier théorème de Fermat pour les exposants 3, 4 et 5 (fr)
- برهان مبرهنة فيرما الأخيرة بالنسبة لحالات خاصة للأس (ar)
- 特定指数的费马大定理的证明 (zh)
- Démonstration du dernier théorème de Fermat pour les exposants 3, 4 et 5 (fr)
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- 特定指数的费马大定理的证明 (zh)
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