| prop-fr:contenu
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- Si P = r1 … rnS1 … Sm' en est une autre alors, par "unicité" de la décomposition de P dans K[X], m' = m et Si = uiQi où ui est a priori dans K, mais est en fait égal au contenu de Si, donc est un élément inversible de A. Par élimination, les deux produits p1 … pn et r1 … rn' sont donc associés dans A. Par factorialité de A, ils ont alors mêmes facteurs , ce qui termine la preuve d'unicité de la décomposition de P dans A[X].
* Soit n un entier naturel, l'anneau A[X1, … , Xn] est factoriel :' (fr)
- Supposons maintenant P primitif et montrons qu'il est réductible dans K[X] si et seulement s'il l'est dans A[X]. Si P est réductible dans K[X] alors il existe deux polynômes B et C dans K[X], non nuls et non inversibles, donc non constants, tels que P = B.C. La proposition précédente montre l'existence dans A[X] de deux polynômes Q et R de mêmes degrés respectifs que B et C, donc non inversibles, tels que : si bien que P est réductible dans A[X]. Réciproquement, si P est réductible dans A[X], c'est-à-dire produit de deux éléments non inversibles de A[X] alors les deux facteurs sont non constants, donc non inversibles dans K[X], si bien que P est réductible dans K[X].
* L'anneau A[X] est factoriel : (fr)
- La méthode usuelle, pour démontrer l'existence et l'"unicité" de la décomposition d'un élément non nul P de A[X] en produit d'irréductibles, consiste à utiliser sa décomposition dans l'anneau K[X], dont on sait qu'il est factoriel . (fr)
- C'est le lemme d'Euclide. (fr)
- Soit a et b deux éléments non nuls de A. L'unicité de la décomposition montre aussi que σ = σ + σ. Ainsi si c divise strictement a, alors σ est strictement plus grand que σ.
*Toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire : (fr)
- Soit une suite croissante d'idéaux principaux. Si la suite est constante égale à 0, la suite est stationnaire. Sinon, quitte à réindexer la suite, supposons que a0 n'est pas nul. Dire que l'idéal a'n+1A contient strictement l'idéal anA signifie que a'n+1 divise strictement an. Cela ne peut arriver que pour un nombre fini d'entiers n, ce qui montre que la suite est constante à partir d'un certain rang, c'est-à-dire stationnaire.
*Tout élément irréductible est premier : (fr)
- Il s'agit de prouver que si P est irréductible dans A[X] alors il est primitif, et que si P est primitif alors son irréductibilité dans A[X] équivaut à celle dans K[X]. (fr)
- Le « seulement si » est immédiat. Réciproquement, si P est à coefficients dans A, alors cont est le pgcd de ces éléments de A.
* Soient P et Q deux polynômes non nuls à coefficients dans K, l'égalité suivante est vérifiée, à produit près par un élément inversible de A :Par définition du contenu, on peut supposer que P et Q sont à coefficients dans A, et il suffit de montrer qu'alors, s'ils sont primitifs, leur produit l'est aussi. Or si p est un élément irréductible de A et si r est le plus grand des indices des coefficients de P non divisibles par p, alors le coefficient d'indice r + s de PQ est une somme de produits dont tous sauf un sont divisibles par p, de sorte que cette somme n'est pas divisible par p. Ainsi, aucun élément irréductible p de A n'est un diviseur commun à tous les coefficients de PQ, et ce polynôme produit est donc bien primitif.
* Soit P un polynôme non constant à coefficients dans A. Le polynôme est irréductible dans A[X] si et seulement s'il est primitif dans A[X] et irréductible dans K[X] : (fr)
- Soit σ la fonction de A\{0} dans l'ensemble N des entiers naturels qui à a associe le nombre de facteurs non inversibles dans la décomposition en facteurs irréductibles de a. L'unicité de la décomposition dans un anneau factoriel montre que la fonction σ est bien définie. (fr)
- Soit P = P1 … Pm une décomposition de P en produit d'éléments irréductibles Pi de K[X]. Pour chaque indice i, notons ci « le » contenu de Pi, et Qi le polynôme primitif Pi/ci. D'après la proposition précédente, les Qi sont irréductibles dans A[X]. Or P = c Q1 … Qm, en notant c le produit des ci. Cet élément c est égal au contenu de P, donc il appartient à A. Notons alors c = p1 … pn « sa » décomposition en irréductibles dans A. On obtient une décomposition de P en produit d'irréductibles de A[X] : P = p1 … pnQ1 … Qm. (fr)
- Cette proposition se déduit de la précédente par récurrence sur le nombre n d'indéterminées, en utilisant l'isomorphisme naturel d'anneaux entre A[X1, … , Xn – 1][Xn] et A[X1, … , Xn]. (fr)
- *Le contenu de P existe et est unique à produit près par un élément inversible de A :
**Existence. Les coefficients de P sont des fractions d'éléments de A. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun b , P s'écrit R/b avec b élément non nul de A et R polynôme à coefficients dans A. En mettant en facteur le pgcd d des coefficients de R, on obtient P = dS/b avec S primitif, donc d/b est un contenu pour P.
**Unicité. Si avec et primitifs alors donc à produit près par un inversible de A, .
* Le contenu de P appartient à A si et seulement si P est à coefficients A : (fr)
- Supposons P irréductible dans A[X] et observons la décomposition P = contQ : les deux facteurs sont dans A[X], donc l'un des deux doit être inversible, or ce ne peut pas être Q . Par conséquent cont est inversible dans A[X] donc dans A, si bien que P est primitif. (fr)
- Si P = r1 … rnS1 … Sm' en est une autre alors, par "unicité" de la décomposition de P dans K[X], m' = m et Si = uiQi où ui est a priori dans K, mais est en fait égal au contenu de Si, donc est un élément inversible de A. Par élimination, les deux produits p1 … pn et r1 … rn' sont donc associés dans A. Par factorialité de A, ils ont alors mêmes facteurs , ce qui termine la preuve d'unicité de la décomposition de P dans A[X].
* Soit n un entier naturel, l'anneau A[X1, … , Xn] est factoriel :' (fr)
- Supposons maintenant P primitif et montrons qu'il est réductible dans K[X] si et seulement s'il l'est dans A[X]. Si P est réductible dans K[X] alors il existe deux polynômes B et C dans K[X], non nuls et non inversibles, donc non constants, tels que P = B.C. La proposition précédente montre l'existence dans A[X] de deux polynômes Q et R de mêmes degrés respectifs que B et C, donc non inversibles, tels que : si bien que P est réductible dans A[X]. Réciproquement, si P est réductible dans A[X], c'est-à-dire produit de deux éléments non inversibles de A[X] alors les deux facteurs sont non constants, donc non inversibles dans K[X], si bien que P est réductible dans K[X].
* L'anneau A[X] est factoriel : (fr)
- La méthode usuelle, pour démontrer l'existence et l'"unicité" de la décomposition d'un élément non nul P de A[X] en produit d'irréductibles, consiste à utiliser sa décomposition dans l'anneau K[X], dont on sait qu'il est factoriel . (fr)
- C'est le lemme d'Euclide. (fr)
- Soit a et b deux éléments non nuls de A. L'unicité de la décomposition montre aussi que σ = σ + σ. Ainsi si c divise strictement a, alors σ est strictement plus grand que σ.
*Toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire : (fr)
- Soit une suite croissante d'idéaux principaux. Si la suite est constante égale à 0, la suite est stationnaire. Sinon, quitte à réindexer la suite, supposons que a0 n'est pas nul. Dire que l'idéal a'n+1A contient strictement l'idéal anA signifie que a'n+1 divise strictement an. Cela ne peut arriver que pour un nombre fini d'entiers n, ce qui montre que la suite est constante à partir d'un certain rang, c'est-à-dire stationnaire.
*Tout élément irréductible est premier : (fr)
- Il s'agit de prouver que si P est irréductible dans A[X] alors il est primitif, et que si P est primitif alors son irréductibilité dans A[X] équivaut à celle dans K[X]. (fr)
- Le « seulement si » est immédiat. Réciproquement, si P est à coefficients dans A, alors cont est le pgcd de ces éléments de A.
* Soient P et Q deux polynômes non nuls à coefficients dans K, l'égalité suivante est vérifiée, à produit près par un élément inversible de A :Par définition du contenu, on peut supposer que P et Q sont à coefficients dans A, et il suffit de montrer qu'alors, s'ils sont primitifs, leur produit l'est aussi. Or si p est un élément irréductible de A et si r est le plus grand des indices des coefficients de P non divisibles par p, alors le coefficient d'indice r + s de PQ est une somme de produits dont tous sauf un sont divisibles par p, de sorte que cette somme n'est pas divisible par p. Ainsi, aucun élément irréductible p de A n'est un diviseur commun à tous les coefficients de PQ, et ce polynôme produit est donc bien primitif.
* Soit P un polynôme non constant à coefficients dans A. Le polynôme est irréductible dans A[X] si et seulement s'il est primitif dans A[X] et irréductible dans K[X] : (fr)
- Soit σ la fonction de A\{0} dans l'ensemble N des entiers naturels qui à a associe le nombre de facteurs non inversibles dans la décomposition en facteurs irréductibles de a. L'unicité de la décomposition dans un anneau factoriel montre que la fonction σ est bien définie. (fr)
- Soit P = P1 … Pm une décomposition de P en produit d'éléments irréductibles Pi de K[X]. Pour chaque indice i, notons ci « le » contenu de Pi, et Qi le polynôme primitif Pi/ci. D'après la proposition précédente, les Qi sont irréductibles dans A[X]. Or P = c Q1 … Qm, en notant c le produit des ci. Cet élément c est égal au contenu de P, donc il appartient à A. Notons alors c = p1 … pn « sa » décomposition en irréductibles dans A. On obtient une décomposition de P en produit d'irréductibles de A[X] : P = p1 … pnQ1 … Qm. (fr)
- Cette proposition se déduit de la précédente par récurrence sur le nombre n d'indéterminées, en utilisant l'isomorphisme naturel d'anneaux entre A[X1, … , Xn – 1][Xn] et A[X1, … , Xn]. (fr)
- *Le contenu de P existe et est unique à produit près par un élément inversible de A :
**Existence. Les coefficients de P sont des fractions d'éléments de A. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun b , P s'écrit R/b avec b élément non nul de A et R polynôme à coefficients dans A. En mettant en facteur le pgcd d des coefficients de R, on obtient P = dS/b avec S primitif, donc d/b est un contenu pour P.
**Unicité. Si avec et primitifs alors donc à produit près par un inversible de A, .
* Le contenu de P appartient à A si et seulement si P est à coefficients A : (fr)
- Supposons P irréductible dans A[X] et observons la décomposition P = contQ : les deux facteurs sont dans A[X], donc l'un des deux doit être inversible, or ce ne peut pas être Q . Par conséquent cont est inversible dans A[X] donc dans A, si bien que P est primitif. (fr)
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