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- En mathématiques, un polynôme sans carré est un polynôme défini sur un corps (commutatif), ou plus généralement sur un anneau factoriel, qui n'a pour facteur aucun carré d'un facteur non unitaire. Dans le cas des polynômes invariables sur un corps k, cela signifie que est sans carré si et seulement si pour chaque polynôme de degré positif. Dans les applications en physique et en génie, un polynôme sans carré est communément appelé un polynôme sans racines répétées. Ces polynômes sont appelés séparables, mais sur un corps parfait, être séparable équivaut à être sans carré. Une décomposition sans carré ou une factorisation sans carré d'un polynôme est une factorisation en puissances de facteurs sans carré où ceux des ak qui ne sont pas égaux à 1 sont des polynômes sans carré premiers entre eux. Chaque polynôme non nul avec des coefficients dans un corps admet une factorisation sans carré, unique à produit près des facteurs par des constantes non nulles. La factorisation sans carré est beaucoup plus facile à calculer que la factorisation complète en facteurs irréductibles, et est donc souvent préférée lorsque la factorisation complète n'est pas vraiment nécessaire, comme pour la décomposition décomposition en éléments simples et l' (en) des fractions rationnelles. La factorisation sans carré est la première étape des algorithmes de factorisation polynomiale qui sont implémentés dans les systèmes d'algèbre informatique. Par conséquent, l'algorithme de factorisation sans carré est basique en algèbre informatique. Dans le cas de polynômes en une variable sur un corps, tout facteur multiple d'un polynôme introduit un facteur commun non trivial de f et sa dérivée formelle f ', donc une condition suffisante pour que f soit sans carré est que le plus grand diviseur commun de f et f ' soit 1. Cette condition est également nécessaire sur un corps de caractéristique 0 ou, plus généralement, sur un corps parfait, car sur un tel corps, tout polynôme irréductible est séparable, et donc premier avec sa dérivée. Sur un corps de caractéristique 0, le quotient de par son PGCD (plus grand commun diviseur) avec son dérivé est le produit des dans la décomposition sans carré ci-dessus. Sur un corps parfait de caractéristique p non nulle, ce quotient est le produit des tels que i n'est pas un multiple de p. D'autres calculs de PGCD et de quotients permettent de calculer la factorisation sans carré. Dans la caractéristique zéro, un meilleur algorithme est connu, l'algorithme de Yun. Sa complexité en temps est au maximum le double de celle du calcul du PGCD du polynôme d'entrée et de sa dérivée. Plus précisément, si est le temps nécessaire pour calculer le PGCD de deux polynômes de degré et le quotient de ces polynômes par ce PGCD, alors est un majorant du temps nécessaire pour calculer la décomposition sans carré. Il existe également des algorithmes pour le calcul de la décomposition sans carré de polynômes en plusieurs variables. (fr)
- En mathématiques, un polynôme sans carré est un polynôme défini sur un corps (commutatif), ou plus généralement sur un anneau factoriel, qui n'a pour facteur aucun carré d'un facteur non unitaire. Dans le cas des polynômes invariables sur un corps k, cela signifie que est sans carré si et seulement si pour chaque polynôme de degré positif. Dans les applications en physique et en génie, un polynôme sans carré est communément appelé un polynôme sans racines répétées. Ces polynômes sont appelés séparables, mais sur un corps parfait, être séparable équivaut à être sans carré. Une décomposition sans carré ou une factorisation sans carré d'un polynôme est une factorisation en puissances de facteurs sans carré où ceux des ak qui ne sont pas égaux à 1 sont des polynômes sans carré premiers entre eux. Chaque polynôme non nul avec des coefficients dans un corps admet une factorisation sans carré, unique à produit près des facteurs par des constantes non nulles. La factorisation sans carré est beaucoup plus facile à calculer que la factorisation complète en facteurs irréductibles, et est donc souvent préférée lorsque la factorisation complète n'est pas vraiment nécessaire, comme pour la décomposition décomposition en éléments simples et l' (en) des fractions rationnelles. La factorisation sans carré est la première étape des algorithmes de factorisation polynomiale qui sont implémentés dans les systèmes d'algèbre informatique. Par conséquent, l'algorithme de factorisation sans carré est basique en algèbre informatique. Dans le cas de polynômes en une variable sur un corps, tout facteur multiple d'un polynôme introduit un facteur commun non trivial de f et sa dérivée formelle f ', donc une condition suffisante pour que f soit sans carré est que le plus grand diviseur commun de f et f ' soit 1. Cette condition est également nécessaire sur un corps de caractéristique 0 ou, plus généralement, sur un corps parfait, car sur un tel corps, tout polynôme irréductible est séparable, et donc premier avec sa dérivée. Sur un corps de caractéristique 0, le quotient de par son PGCD (plus grand commun diviseur) avec son dérivé est le produit des dans la décomposition sans carré ci-dessus. Sur un corps parfait de caractéristique p non nulle, ce quotient est le produit des tels que i n'est pas un multiple de p. D'autres calculs de PGCD et de quotients permettent de calculer la factorisation sans carré. Dans la caractéristique zéro, un meilleur algorithme est connu, l'algorithme de Yun. Sa complexité en temps est au maximum le double de celle du calcul du PGCD du polynôme d'entrée et de sa dérivée. Plus précisément, si est le temps nécessaire pour calculer le PGCD de deux polynômes de degré et le quotient de ces polynômes par ce PGCD, alors est un majorant du temps nécessaire pour calculer la décomposition sans carré. Il existe également des algorithmes pour le calcul de la décomposition sans carré de polynômes en plusieurs variables. (fr)
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- En mathématiques, un polynôme sans carré est un polynôme défini sur un corps (commutatif), ou plus généralement sur un anneau factoriel, qui n'a pour facteur aucun carré d'un facteur non unitaire. Dans le cas des polynômes invariables sur un corps k, cela signifie que est sans carré si et seulement si pour chaque polynôme de degré positif. Dans les applications en physique et en génie, un polynôme sans carré est communément appelé un polynôme sans racines répétées. Ces polynômes sont appelés séparables, mais sur un corps parfait, être séparable équivaut à être sans carré. (fr)
- En mathématiques, un polynôme sans carré est un polynôme défini sur un corps (commutatif), ou plus généralement sur un anneau factoriel, qui n'a pour facteur aucun carré d'un facteur non unitaire. Dans le cas des polynômes invariables sur un corps k, cela signifie que est sans carré si et seulement si pour chaque polynôme de degré positif. Dans les applications en physique et en génie, un polynôme sans carré est communément appelé un polynôme sans racines répétées. Ces polynômes sont appelés séparables, mais sur un corps parfait, être séparable équivaut à être sans carré. (fr)
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