| dbo:abstract
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- En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. On peut le vérifier sur 17 (= 4 × 4 + 1) ou 97 (= 24 × 4 + 1), qui sont bien tous deux d’une seule façon une somme de deux carrés (17 = 12 + 42 et 97 = 92 + 42), alors que des nombres premiers comme 7 (= 4 × 1 + 3) ou 31 (= 4 × 7 + 3) ne sont pas des sommes de deux carrés. Ce résultat est parfois nommé simplement théorème des deux carrés ou bien encore théorème de Fermat de Noël. Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'Antiquité. Il est explicité par Pierre de Fermat au XVIIe siècle, mais la première preuve publiée connue est l'œuvre de Leonhard Euler un siècle plus tard. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. Elles ont joué un rôle important dans le développement d’une branche des mathématiques appelée théorie algébrique des nombres. À l'instar de beaucoup d'équations diophantiennes, c’est-à-dire d’équations dont les coefficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. Certaines des preuves proposées ont aidé à la mise au point d'outils parfois sophistiqués, comme les courbes elliptiques ou la géométrie des nombres, liant ainsi la théorie des nombres élémentaire à d’autres branches des mathématiques. (fr)
- En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. On peut le vérifier sur 17 (= 4 × 4 + 1) ou 97 (= 24 × 4 + 1), qui sont bien tous deux d’une seule façon une somme de deux carrés (17 = 12 + 42 et 97 = 92 + 42), alors que des nombres premiers comme 7 (= 4 × 1 + 3) ou 31 (= 4 × 7 + 3) ne sont pas des sommes de deux carrés. Ce résultat est parfois nommé simplement théorème des deux carrés ou bien encore théorème de Fermat de Noël. Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'Antiquité. Il est explicité par Pierre de Fermat au XVIIe siècle, mais la première preuve publiée connue est l'œuvre de Leonhard Euler un siècle plus tard. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. Elles ont joué un rôle important dans le développement d’une branche des mathématiques appelée théorie algébrique des nombres. À l'instar de beaucoup d'équations diophantiennes, c’est-à-dire d’équations dont les coefficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. Certaines des preuves proposées ont aidé à la mise au point d'outils parfois sophistiqués, comme les courbes elliptiques ou la géométrie des nombres, liant ainsi la théorie des nombres élémentaire à d’autres branches des mathématiques. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- Le petit théorème de Fermat montre que si a et b sont deux entiers compris entre 1 et p – 1, alors a – b est un multiple de p, ou encore, en notant n l'entier tel que p = 4n + 1 : (fr)
- où désigne la racine cubique de l'unité /2. On trouve ainsi que p est la norme d'un entier d'Eisenstein z = a + b. Un tel élément est de la forme x + y avec x et y entiers si b est pair. C'est le cas pour au moins l'un des trois entiers d'Eisenstein z, z et z, puisque leur somme est nulle. (fr)
- En particulier, Q = (2n)!. Comme p est premier et strictement supérieur à 2n, il n'est pas diviseur de !. Or Q est combinaison linéaire à coefficients entiers des entiers Q, Q, … , Q. L'une au moins de ces valeurs est donc non multiple de p, ce qui termine la démonstration. (fr)
- a + b (fr)
- *D'après un cas particulier de la loi de réciprocité quadratique, –3 est un carré mod p. Il existe donc des entiers m et q tels que
*La suite de la démonstration est identique à celle de Dedekind , en remplaçant l'anneau des entiers de Gauss par celui des entiers d'Eisenstein, c'est-à-dire des nombres complexes de la forme (fr)
- Dans ses lettres à Goldbach, Euler note la propriété d'un entier p d'être somme de deux carrés d'entiers. Avec cette notation, l'argument d'Euler se détaille ainsi.
:1. Si et , alors . .
:Preuve. Soit . On a , d'où : ainsi .
:D'autre part si l'on définit x et y par et , alors .
:Donc , et comme , et .
:Il suit donc que .
:2. Si et , alors . .
:Preuve. Immédiat par 1 et par un argument de récurrence sur k.
:3. Si et , alors il existe un facteur premier p' de p, . .
:Preuve. C'est la contraposée de 2.
:4. Si est un entier, , alors il existe des entiers , avec . .
:Preuve. Pour des entiers non négatifs c et d inférieurs à p/2, et .
:Donc , où .
:Comme , n'a pas de facteur premier avec p, et donc .
:5. Si est un entier et , alors . .
:Preuve. Sinon, soit le plus petit entier satisfaisant , et . Clairement .
:Par 4 il existe des entiers c et d tels que .
:Par 3 il existe .
:Mais contredit la minimalité de q, qui ne peut donc pas exister.
:. (fr)
- … . (fr)
- est un multiple de p. Comme p est premier, l'un des deux facteurs est un multiple de p. Il suffit de trouver, entre 1 et p – 1, deux entiers a et b premiers entre eux tels que a – b n'est pas un multiple de p : alors, + sera un multiple de p de la forme voulue. On va même imposer de plus b = 1.
* Démonstration par l'arithmétique modulaire :
Dans le corps commutatif ℤ/pℤ, le polynôme X – 1 a au plus 2n racines, soit moins que 4n, le nombre d'éléments non nuls du corps. Il existe donc un entier a vérifiant les conditions voulues.
* Démonstration d'Euler par les différences finies :
Considérons la suite de polynômes Q définie par récurrence de la manière suivante :
Pour tout entier i compris entre 1 et 2n, le polynôme Q est de degré 2n – i et son coefficient dominant est égal à (fr)
- Le petit théorème de Fermat montre que si a et b sont deux entiers compris entre 1 et p – 1, alors a – b est un multiple de p, ou encore, en notant n l'entier tel que p = 4n + 1 : (fr)
- où désigne la racine cubique de l'unité /2. On trouve ainsi que p est la norme d'un entier d'Eisenstein z = a + b. Un tel élément est de la forme x + y avec x et y entiers si b est pair. C'est le cas pour au moins l'un des trois entiers d'Eisenstein z, z et z, puisque leur somme est nulle. (fr)
- En particulier, Q = (2n)!. Comme p est premier et strictement supérieur à 2n, il n'est pas diviseur de !. Or Q est combinaison linéaire à coefficients entiers des entiers Q, Q, … , Q. L'une au moins de ces valeurs est donc non multiple de p, ce qui termine la démonstration. (fr)
- a + b (fr)
- *D'après un cas particulier de la loi de réciprocité quadratique, –3 est un carré mod p. Il existe donc des entiers m et q tels que
*La suite de la démonstration est identique à celle de Dedekind , en remplaçant l'anneau des entiers de Gauss par celui des entiers d'Eisenstein, c'est-à-dire des nombres complexes de la forme (fr)
- Dans ses lettres à Goldbach, Euler note la propriété d'un entier p d'être somme de deux carrés d'entiers. Avec cette notation, l'argument d'Euler se détaille ainsi.
:1. Si et , alors . .
:Preuve. Soit . On a , d'où : ainsi .
:D'autre part si l'on définit x et y par et , alors .
:Donc , et comme , et .
:Il suit donc que .
:2. Si et , alors . .
:Preuve. Immédiat par 1 et par un argument de récurrence sur k.
:3. Si et , alors il existe un facteur premier p' de p, . .
:Preuve. C'est la contraposée de 2.
:4. Si est un entier, , alors il existe des entiers , avec . .
:Preuve. Pour des entiers non négatifs c et d inférieurs à p/2, et .
:Donc , où .
:Comme , n'a pas de facteur premier avec p, et donc .
:5. Si est un entier et , alors . .
:Preuve. Sinon, soit le plus petit entier satisfaisant , et . Clairement .
:Par 4 il existe des entiers c et d tels que .
:Par 3 il existe .
:Mais contredit la minimalité de q, qui ne peut donc pas exister.
:. (fr)
- … . (fr)
- est un multiple de p. Comme p est premier, l'un des deux facteurs est un multiple de p. Il suffit de trouver, entre 1 et p – 1, deux entiers a et b premiers entre eux tels que a – b n'est pas un multiple de p : alors, + sera un multiple de p de la forme voulue. On va même imposer de plus b = 1.
* Démonstration par l'arithmétique modulaire :
Dans le corps commutatif ℤ/pℤ, le polynôme X – 1 a au plus 2n racines, soit moins que 4n, le nombre d'éléments non nuls du corps. Il existe donc un entier a vérifiant les conditions voulues.
* Démonstration d'Euler par les différences finies :
Considérons la suite de polynômes Q définie par récurrence de la manière suivante :
Pour tout entier i compris entre 1 et 2n, le polynôme Q est de degré 2n – i et son coefficient dominant est égal à (fr)
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