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- En géométrie classique, l'orthogonalité est liée à l'existence d'un angle droit (orthos = droit, gônia = angle). Dans l'espace, on dit que deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit. On emploie plutôt le terme de perpendiculaires pour deux droites orthogonales et sécantes. On dit qu'une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites du plan. On peut démontrer qu'il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan, pour être orthogonale au plan. On peut également parler de vecteurs orthogonaux pour des vecteurs directeurs de droites orthogonales et de segments orthogonaux pour des segments portés par des droites orthogonales. Cette notion d'orthogonalité se généralise ensuite dans un premier temps à des espaces euclidiens, c'est-à-dire des espaces vectoriels de dimension finie sur lesquels on peut parler de distance et d'angle grâce à la définition d'un produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Deux sous-ensembles A et B d'un espace euclidien E sont orthogonaux si tout vecteur de A est orthogonal à tout vecteur de B. L'orthogonalité peut en fait se définir dès qu'il existe une forme bilinéaire entre deux espaces vectoriels sur un même corps. L'orthogonalité est un outil puissant dans de nombreux domaines mathématiques ou physiques, et donc scientifiques. Son outil de mesure, la norma (la règle, l'équerre en latin) et l'extension de sens pris par la norme et le normal, parfois bien loin de ses origines étymologiques selon les domaines, peut largement témoigner des multiples et larges influences que l'orthogonalité a pu exercer sur le plan épistémologique. Depuis la Grèce antique, l'angle droit est à l'origine de la démonstration de nombreux théorèmes. Ceux de Pythagore et de la médiane en sont des exemples. Les grands et petits axes d'une ellipse sont orthogonaux, source de multiples propriétés. En dimension finie, c'est, par exemple, un outil pour la classification des surfaces quadriques. En algèbre linéaire, elle est un concept très utilisé. L'article théorème spectral montre de nombreuses applications, comme la résolution de l'équation du mouvement d'une corde vibrante modélisée par des petites masses en nombre fini et à égales distances ou la méthode des moindres carrés en statistiques. L'orthogonalité s'applique encore si les nombres sous-jacents ne sont plus réels. L'usage des nombres complexes amène à une autre géométrie, dite hermitienne. En arithmétique, l'utilisation de l'orthogonalité sur les nombres entiers permet à Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) de trouver une nouvelle démonstration du théorème des deux carrés de Fermat. Les représentations d'un groupe fini font appel à des ensembles de nombres finis. L'orthogonalité y joue un grand rôle. L'analyse fonctionnelle n'est pas en reste. Il est parfois possible de définir un produit scalaire sur un espace de fonctions à valeurs réelles ou complexes de dimension infinie. L'orthogonalité y est utilisée à travers la notion de base de Hilbert, une généralisation de la base orthonormale. Elle permet de résoudre des équations comme celle de la chaleur ou d'une corde vibrante dans le cas général. Parfois, l'espace de fonctions ne dispose pas de produit scalaire. Le dual topologique permet alors de faire usage de l'orthogonalité. Le crochet de dualité est une forme bilinéaire qui s'applique sur le dual et l'espace, il remplace le produit scalaire et permet d'obtenir des résultats un peu analogues aux configurations précédentes. (fr)
- En géométrie classique, l'orthogonalité est liée à l'existence d'un angle droit (orthos = droit, gônia = angle). Dans l'espace, on dit que deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit. On emploie plutôt le terme de perpendiculaires pour deux droites orthogonales et sécantes. On dit qu'une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites du plan. On peut démontrer qu'il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan, pour être orthogonale au plan. On peut également parler de vecteurs orthogonaux pour des vecteurs directeurs de droites orthogonales et de segments orthogonaux pour des segments portés par des droites orthogonales. Cette notion d'orthogonalité se généralise ensuite dans un premier temps à des espaces euclidiens, c'est-à-dire des espaces vectoriels de dimension finie sur lesquels on peut parler de distance et d'angle grâce à la définition d'un produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Deux sous-ensembles A et B d'un espace euclidien E sont orthogonaux si tout vecteur de A est orthogonal à tout vecteur de B. L'orthogonalité peut en fait se définir dès qu'il existe une forme bilinéaire entre deux espaces vectoriels sur un même corps. L'orthogonalité est un outil puissant dans de nombreux domaines mathématiques ou physiques, et donc scientifiques. Son outil de mesure, la norma (la règle, l'équerre en latin) et l'extension de sens pris par la norme et le normal, parfois bien loin de ses origines étymologiques selon les domaines, peut largement témoigner des multiples et larges influences que l'orthogonalité a pu exercer sur le plan épistémologique. Depuis la Grèce antique, l'angle droit est à l'origine de la démonstration de nombreux théorèmes. Ceux de Pythagore et de la médiane en sont des exemples. Les grands et petits axes d'une ellipse sont orthogonaux, source de multiples propriétés. En dimension finie, c'est, par exemple, un outil pour la classification des surfaces quadriques. En algèbre linéaire, elle est un concept très utilisé. L'article théorème spectral montre de nombreuses applications, comme la résolution de l'équation du mouvement d'une corde vibrante modélisée par des petites masses en nombre fini et à égales distances ou la méthode des moindres carrés en statistiques. L'orthogonalité s'applique encore si les nombres sous-jacents ne sont plus réels. L'usage des nombres complexes amène à une autre géométrie, dite hermitienne. En arithmétique, l'utilisation de l'orthogonalité sur les nombres entiers permet à Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) de trouver une nouvelle démonstration du théorème des deux carrés de Fermat. Les représentations d'un groupe fini font appel à des ensembles de nombres finis. L'orthogonalité y joue un grand rôle. L'analyse fonctionnelle n'est pas en reste. Il est parfois possible de définir un produit scalaire sur un espace de fonctions à valeurs réelles ou complexes de dimension infinie. L'orthogonalité y est utilisée à travers la notion de base de Hilbert, une généralisation de la base orthonormale. Elle permet de résoudre des équations comme celle de la chaleur ou d'une corde vibrante dans le cas général. Parfois, l'espace de fonctions ne dispose pas de produit scalaire. Le dual topologique permet alors de faire usage de l'orthogonalité. Le crochet de dualité est une forme bilinéaire qui s'applique sur le dual et l'espace, il remplace le produit scalaire et permet d'obtenir des résultats un peu analogues aux configurations précédentes. (fr)
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- En géométrie classique, l'orthogonalité est liée à l'existence d'un angle droit (orthos = droit, gônia = angle). Dans l'espace, on dit que deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit. On emploie plutôt le terme de perpendiculaires pour deux droites orthogonales et sécantes. On dit qu'une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites du plan. On peut démontrer qu'il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan, pour être orthogonale au plan. On peut également parler de vecteurs orthogonaux pour des vecteurs directeurs de droites orthogonales et de segments orthogonaux pour des segments portés par des droites orthogonales. (fr)
- En géométrie classique, l'orthogonalité est liée à l'existence d'un angle droit (orthos = droit, gônia = angle). Dans l'espace, on dit que deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit. On emploie plutôt le terme de perpendiculaires pour deux droites orthogonales et sécantes. On dit qu'une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites du plan. On peut démontrer qu'il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan, pour être orthogonale au plan. On peut également parler de vecteurs orthogonaux pour des vecteurs directeurs de droites orthogonales et de segments orthogonaux pour des segments portés par des droites orthogonales. (fr)
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