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- En géométrie euclidienne, la formule de Héron, du nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire S d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs a, b et c de ses trois côtés : (fr)
- En géométrie euclidienne, la formule de Héron, du nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire S d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs a, b et c de ses trois côtés : (fr)
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- Michel Hort (fr)
- A. Bogomolny (fr)
- Michel Hort (fr)
- A. Bogomolny (fr)
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- L'aire du triangle dépend de la longueur des 3 côtés : , et ces trois variables ont exactement la même importance .
Si on suppose comme acquis que le carré de l'aire est un polynôme en , ce polynôme est symétrique. Par analyse dimensionnelle, on sait que ce polynôme est de degré 4 car c'est le carré d'une aire, et que le polynôme est homogène.
De plus l'aire s'annule seulement quand le triangle est plat, c'est à dire quand la somme des longueurs de deux des côtés égale la longueur du troisième. Il y a donc trois façons d'annuler le polynôme.
Le polynôme est alors de la forme
:
Or comme est symétrique homogène de degré 4, est un polynôme symétrique et homogène de degré 1 de la forme avec une constante réelle à déterminer.
Pour trouver , on regarde un cas particulier qui est celui du triangle rectangle isocèle. On a alors , et , ce qui donne
:
donc .
On a donc .
On retrouve alors la formule démontrée par trigonométrie plus haut en remplaçant par . (fr)
- La loi des cosinus s'écrit
jointe à la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :
Puis, en notant, le demi-périmètre, on conclut : (fr)
- L'aire du triangle dépend de la longueur des 3 côtés : , et ces trois variables ont exactement la même importance .
Si on suppose comme acquis que le carré de l'aire est un polynôme en , ce polynôme est symétrique. Par analyse dimensionnelle, on sait que ce polynôme est de degré 4 car c'est le carré d'une aire, et que le polynôme est homogène.
De plus l'aire s'annule seulement quand le triangle est plat, c'est à dire quand la somme des longueurs de deux des côtés égale la longueur du troisième. Il y a donc trois façons d'annuler le polynôme.
Le polynôme est alors de la forme
:
Or comme est symétrique homogène de degré 4, est un polynôme symétrique et homogène de degré 1 de la forme avec une constante réelle à déterminer.
Pour trouver , on regarde un cas particulier qui est celui du triangle rectangle isocèle. On a alors , et , ce qui donne
:
donc .
On a donc .
On retrouve alors la formule démontrée par trigonométrie plus haut en remplaçant par . (fr)
- La loi des cosinus s'écrit
jointe à la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :
Puis, en notant, le demi-périmètre, on conclut : (fr)
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|
- HeronsFormula (fr)
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| prop-fr:titre
|
- Démonstration à l'aide de la loi des cosinus (fr)
- Heron's formula (fr)
- Recherche par analyse dimensionnelle (fr)
- Démonstration à l'aide de la loi des cosinus (fr)
- Heron's formula (fr)
- Recherche par analyse dimensionnelle (fr)
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- http://archive.is/bAwOC|titre=La formule de Héron (fr)
- http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/HeronsFormula.shtml|titre=Heron's Formula (fr)
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- En géométrie euclidienne, la formule de Héron, du nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire S d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs a, b et c de ses trois côtés : (fr)
- En géométrie euclidienne, la formule de Héron, du nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire S d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs a, b et c de ses trois côtés : (fr)
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- Công thức Heron (vi)
- Formule de Héron (fr)
- Heronen formula (eu)
- Herons formel (sv)
- Wzór Herona (pl)
- صيغة هيرو (ar)
- 海伦公式 (zh)
- Công thức Heron (vi)
- Formule de Héron (fr)
- Heronen formula (eu)
- Herons formel (sv)
- Wzór Herona (pl)
- صيغة هيرو (ar)
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