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- On note un champ de vecteurs tangents continu sur . Ce champ de vecteurs est une fonction définie sur la sphère et à valeurs dans l'espace euclidien de dimension , avec pair.
On va démontrer au moyen d'un raisonnement par l'absurde qu'il s'annule forcément en au moins un point de la sphère. On notera la norme euclidienne d'un vecteur de , et le produit scalaire euclidien de et , appartenant à .
Cas d'un champ de vecteurs X continûment différentiable
Un champ de vecteurs tangents à la sphère est continûment différentiable s'il est la restriction à d'un champ continûment différentiable défini au voisinage de . Comme ici, nous sommes dans une géométrie très simple, il suffit que soit continûment différentiable sur la couronne solide .
Tangent implique que, quel que soit dans la sphère, est orthogonal à .
Supposons donc que ne s'annule jamais sur la sphère . Comme est continûment différentiable, sa norme est aussi continûment différentiable sur la sphère et non nulle. Par conséquent, est un champ tangent, continûment différentiable et pour tout , est de norme 1. On dit aussi qu'il est unitaire.
Comme est continûment différentiable sur la couronne solide , il y est en particulier lipschitzien ; il existe donc un nombre réel L tel que, pour tous et dans , une inégalité de Lipschitz soit vérifiée :
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On définit un champ de vecteurs homogène de degré 1 sur tout en posant
::
et on va montrer que est lipschitzien. Supposons tout d'abord ; alors
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d'où, en vertu de l'inégalité triangulaire,
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Par homogénéité, on obtient le cas général.
Définissons une fonction sur x ]0,1] par la formule suivante :
::
On voit que la fonction est homogène de degré 1 par rapport à .
De plus, la norme de est facile à calculer, grâce au théorème de Pythagore :
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En d'autres termes, l'image par de la sphère de centre 0 et de rayon est
incluse dans la sphère de centre 0 et de rayon , quel que soit . Pour , est visiblement nul.
On va montrer qu'en fait cette image est toute la sphère ci-dessus. En vertu de l'homogénéité de par rapport à , il suffit de le montrer pour une seule valeur de , et on choisit . Cela revient à chercher une solution de l'équation
:: ,
pour donné, de norme 1.
L'idée consiste à utiliser le théorème du point fixe strictement contractant.
On pose
::
Attention : pour alléger les notations, on ne met pas dans les arguments de , et on le considère comme une constante.
La fonction envoie l'espace euclidien, qui est complet, dans lui-même. Elle est lipschitzienne, de rapport . Par conséquent, si est strictement inférieur à , est une contraction stricte de dans lui-même. Elle possède donc un unique point fixe, satisfaisant l'équation . Donc est solution de . En particulier, d'après le calcul de la norme de effectué ci-dessus, on constate que , et donc l'image de la sphère de rayon par est la sphère de rayon 1.
Par homogénéité, ceci démontre que envoie la sphère de rayon sur la sphère de rayon , et cela quel que soit .
On calcule maintenant de deux manières différentes le volume de l'image par de la couronne solide de centre 0 et de rayons et .
D'une part, cette image est la couronne solide de centre 0 et de rayons et , donc son volume est
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avec le volume de la boule unité en dimension .
D'autre part, on sait dériver par rapport à :
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puisque est continûment différentiable en dehors de 0. Ici, est simplement l'application linéaire identité dans .
Par la formule du changement de variable dans les intégrales multiples, le volume de la boule est donc donné par :
::
Le déterminant est bien défini dans la formule ci-dessus, puisque est une application linéaire de dans lui-même, paramétrée par . On remarque que le déterminant ne change pas de signe, parce que est un difféomorphisme. Par continuité, il vaut 1 pour nul, et donc il est partout positif. Il est donc inutile de mettre une valeur absolue.
On constate que la première expression du volume est irrationnelle par rapport à la variable , puisque est pair, alors que la deuxième est polynomiale par rapport à cette même variable. C'est la contradiction désirée, on a bien montré qu'un champ continûment différentiable tangent à la sphère s'annule forcément en un point.
Cas général
On suppose cette fois-ci que est un champ tangent continu sur la sphère .
On peut approcher ce champ uniformément par une suite de champs tangents continûment différentiables . On utilisera une technique de convolution, qui est détaillée plus bas, bien qu'elle soit classique.
D'après l'étape précédente, pour chaque , on peut trouver un dans pour lequel s'annule.
Les points appartenant à l'ensemble compact , on peut trouver une sous-suite convergente de la suite des , ou, ce qui revient au même, une partie infinie de telle que la suite possède une limite le long de ; cette limite est notée .
Il est immédiat que, le long de , converge vers , donc s'annule au point .
Approximation continûment différentiable d'un champ de vecteurs tangent continu
Soit une fonction de V dans qui a les propriétés suivantes :
* est continûment différentiable ;
* le support de , c'est-à-dire l'adhérence de l'ensemble de tous les points où n'est pas nul est inclus dans la boule de centre 0 et de rayon 1 ;
* l'intégrale de sur V vaut 1.
Un tel est facile à construire : on choisit tout d'abord une fonction continûment dérivable, positive ou nulle sur valant 1 en 0 et 0 au-delà de 1. Si on suppose que la dérivée de cette fonction est nulle en 0, il suffit de prendre , avec
::
On vérifie que la fonction ainsi définie a les propriétés requises.
On pose, pour k un entier positif
::
et on définit
::
On montre alors que les sont continûment différentiables et convergent uniformément, quand k tend vers l'infini, vers X sur tout ensemble compact inclus dans V, donc en particulier sur .
Mais a priori, il n'y a pas de raison que les soient tangents… donc on doit faire une opération supplémentaire : les projeter. On définit ainsi
::
Le champ est tangent à la sphère, et il converge uniformément vers le champ , ce qui conclut la construction d'une approximation d'un champ tangent continu par une suite uniformément convergente de champs tangents continûment différentiables, quand k tend vers l'infini. (fr)
- On note un champ de vecteurs tangents continu sur . Ce champ de vecteurs est une fonction définie sur la sphère et à valeurs dans l'espace euclidien de dimension , avec pair.
On va démontrer au moyen d'un raisonnement par l'absurde qu'il s'annule forcément en au moins un point de la sphère. On notera la norme euclidienne d'un vecteur de , et le produit scalaire euclidien de et , appartenant à .
Cas d'un champ de vecteurs X continûment différentiable
Un champ de vecteurs tangents à la sphère est continûment différentiable s'il est la restriction à d'un champ continûment différentiable défini au voisinage de . Comme ici, nous sommes dans une géométrie très simple, il suffit que soit continûment différentiable sur la couronne solide .
Tangent implique que, quel que soit dans la sphère, est orthogonal à .
Supposons donc que ne s'annule jamais sur la sphère . Comme est continûment différentiable, sa norme est aussi continûment différentiable sur la sphère et non nulle. Par conséquent, est un champ tangent, continûment différentiable et pour tout , est de norme 1. On dit aussi qu'il est unitaire.
Comme est continûment différentiable sur la couronne solide , il y est en particulier lipschitzien ; il existe donc un nombre réel L tel que, pour tous et dans , une inégalité de Lipschitz soit vérifiée :
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On définit un champ de vecteurs homogène de degré 1 sur tout en posant
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et on va montrer que est lipschitzien. Supposons tout d'abord ; alors
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d'où, en vertu de l'inégalité triangulaire,
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Par homogénéité, on obtient le cas général.
Définissons une fonction sur x ]0,1] par la formule suivante :
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On voit que la fonction est homogène de degré 1 par rapport à .
De plus, la norme de est facile à calculer, grâce au théorème de Pythagore :
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En d'autres termes, l'image par de la sphère de centre 0 et de rayon est
incluse dans la sphère de centre 0 et de rayon , quel que soit . Pour , est visiblement nul.
On va montrer qu'en fait cette image est toute la sphère ci-dessus. En vertu de l'homogénéité de par rapport à , il suffit de le montrer pour une seule valeur de , et on choisit . Cela revient à chercher une solution de l'équation
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pour donné, de norme 1.
L'idée consiste à utiliser le théorème du point fixe strictement contractant.
On pose
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Attention : pour alléger les notations, on ne met pas dans les arguments de , et on le considère comme une constante.
La fonction envoie l'espace euclidien, qui est complet, dans lui-même. Elle est lipschitzienne, de rapport . Par conséquent, si est strictement inférieur à , est une contraction stricte de dans lui-même. Elle possède donc un unique point fixe, satisfaisant l'équation . Donc est solution de . En particulier, d'après le calcul de la norme de effectué ci-dessus, on constate que , et donc l'image de la sphère de rayon par est la sphère de rayon 1.
Par homogénéité, ceci démontre que envoie la sphère de rayon sur la sphère de rayon , et cela quel que soit .
On calcule maintenant de deux manières différentes le volume de l'image par de la couronne solide de centre 0 et de rayons et .
D'une part, cette image est la couronne solide de centre 0 et de rayons et , donc son volume est
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avec le volume de la boule unité en dimension .
D'autre part, on sait dériver par rapport à :
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puisque est continûment différentiable en dehors de 0. Ici, est simplement l'application linéaire identité dans .
Par la formule du changement de variable dans les intégrales multiples, le volume de la boule est donc donné par :
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Le déterminant est bien défini dans la formule ci-dessus, puisque est une application linéaire de dans lui-même, paramétrée par . On remarque que le déterminant ne change pas de signe, parce que est un difféomorphisme. Par continuité, il vaut 1 pour nul, et donc il est partout positif. Il est donc inutile de mettre une valeur absolue.
On constate que la première expression du volume est irrationnelle par rapport à la variable , puisque est pair, alors que la deuxième est polynomiale par rapport à cette même variable. C'est la contradiction désirée, on a bien montré qu'un champ continûment différentiable tangent à la sphère s'annule forcément en un point.
Cas général
On suppose cette fois-ci que est un champ tangent continu sur la sphère .
On peut approcher ce champ uniformément par une suite de champs tangents continûment différentiables . On utilisera une technique de convolution, qui est détaillée plus bas, bien qu'elle soit classique.
D'après l'étape précédente, pour chaque , on peut trouver un dans pour lequel s'annule.
Les points appartenant à l'ensemble compact , on peut trouver une sous-suite convergente de la suite des , ou, ce qui revient au même, une partie infinie de telle que la suite possède une limite le long de ; cette limite est notée .
Il est immédiat que, le long de , converge vers , donc s'annule au point .
Approximation continûment différentiable d'un champ de vecteurs tangent continu
Soit une fonction de V dans qui a les propriétés suivantes :
* est continûment différentiable ;
* le support de , c'est-à-dire l'adhérence de l'ensemble de tous les points où n'est pas nul est inclus dans la boule de centre 0 et de rayon 1 ;
* l'intégrale de sur V vaut 1.
Un tel est facile à construire : on choisit tout d'abord une fonction continûment dérivable, positive ou nulle sur valant 1 en 0 et 0 au-delà de 1. Si on suppose que la dérivée de cette fonction est nulle en 0, il suffit de prendre , avec
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On vérifie que la fonction ainsi définie a les propriétés requises.
On pose, pour k un entier positif
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et on définit
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On montre alors que les sont continûment différentiables et convergent uniformément, quand k tend vers l'infini, vers X sur tout ensemble compact inclus dans V, donc en particulier sur .
Mais a priori, il n'y a pas de raison que les soient tangents… donc on doit faire une opération supplémentaire : les projeter. On définit ainsi
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Le champ est tangent à la sphère, et il converge uniformément vers le champ , ce qui conclut la construction d'une approximation d'un champ tangent continu par une suite uniformément convergente de champs tangents continûment différentiables, quand k tend vers l'infini. (fr)
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