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- En mathématiques, un opérateur adjoint est un opérateur sur un espace préhilbertien qui est défini, lorsque c'est possible, à partir d'un autre opérateur a et que l'on note a*. On dit aussi que a* est l'adjoint de a. Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur a de la partie gauche du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie droite du produit scalaire. Il s'agit donc d'une généralisation de la notion de matrice adjointe à des espaces de dimension infinie. Si l'opérateur initial est continu et si l'espace vectoriel est complet, l'adjoint est toujours défini. Ainsi dans le cas de la dimension finie, l'adjoint de tout opérateur est bien défini. L'application qui à un opérateur associe son adjoint est une isométrie (en) et involutive. La notion d'adjoint permet de définir un ensemble d'opérateurs possédant une compatibilité particulière vis-à-vis du produit scalaire, les opérateurs commutant avec leur adjoint. Ils sont alors dits normaux. Parmi ces opérateurs, on distingue trois cas particuliers importants, celui d'un opérateur autoadjoint (adjoint de lui-même), antiautoadjoint (adjoint de son opposé) et unitaire (inverse de son adjoint). Sur un espace vectoriel réel, les termes utilisés sont respectivement : symétrique, antisymétrique et orthogonal. Sur un espace vectoriel complexe, on dit respectivement : hermitien (ou hermitique), (ou antihermitique) et unitaire. La notion d'adjoint d'un opérateur possède de nombreuses applications. En dimension finie et sur le corps des nombres complexes, la structure des endomorphismes normaux est simple, ils sont diagonalisables dans une base orthonormale. Le cas de la dimension infinie est plus complexe. Il est important en analyse fonctionnelle. Le cas autoadjoint est particulièrement étudié, il fournit le cadre le plus simple de la théorie spectrale, qui est elle-même au cœur de la mécanique quantique. En théorie des opérateurs, une C*-algèbre est un espace de Banach muni d'une loi de composition interne analogue à la composition des opérateurs et d'une opération étoile ayant les mêmes propriétés que l'application qui à un opérateur associe son adjoint. (fr)
- En mathématiques, un opérateur adjoint est un opérateur sur un espace préhilbertien qui est défini, lorsque c'est possible, à partir d'un autre opérateur a et que l'on note a*. On dit aussi que a* est l'adjoint de a. Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur a de la partie gauche du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie droite du produit scalaire. Il s'agit donc d'une généralisation de la notion de matrice adjointe à des espaces de dimension infinie. Si l'opérateur initial est continu et si l'espace vectoriel est complet, l'adjoint est toujours défini. Ainsi dans le cas de la dimension finie, l'adjoint de tout opérateur est bien défini. L'application qui à un opérateur associe son adjoint est une isométrie (en) et involutive. La notion d'adjoint permet de définir un ensemble d'opérateurs possédant une compatibilité particulière vis-à-vis du produit scalaire, les opérateurs commutant avec leur adjoint. Ils sont alors dits normaux. Parmi ces opérateurs, on distingue trois cas particuliers importants, celui d'un opérateur autoadjoint (adjoint de lui-même), antiautoadjoint (adjoint de son opposé) et unitaire (inverse de son adjoint). Sur un espace vectoriel réel, les termes utilisés sont respectivement : symétrique, antisymétrique et orthogonal. Sur un espace vectoriel complexe, on dit respectivement : hermitien (ou hermitique), (ou antihermitique) et unitaire. La notion d'adjoint d'un opérateur possède de nombreuses applications. En dimension finie et sur le corps des nombres complexes, la structure des endomorphismes normaux est simple, ils sont diagonalisables dans une base orthonormale. Le cas de la dimension infinie est plus complexe. Il est important en analyse fonctionnelle. Le cas autoadjoint est particulièrement étudié, il fournit le cadre le plus simple de la théorie spectrale, qui est elle-même au cœur de la mécanique quantique. En théorie des opérateurs, une C*-algèbre est un espace de Banach muni d'une loi de composition interne analogue à la composition des opérateurs et d'une opération étoile ayant les mêmes propriétés que l'application qui à un opérateur associe son adjoint. (fr)
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- J.Ch. Gilbert (fr)
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- :* Le noyau de a est égal à l'orthogonal de l'image de a* et le noyau de a* est égal à l'orthogonal de l'image de a :
On remarque que, comme a est continue, le domaine de a* est le dual de F entier, donc :
,
ce qui démontre la première égalité.
On remarque que, comme D est dense dans E, un vecteur du dual de E est nul si et seulement s'il est orthogonal à D, donc :
,
ce qui démontre la deuxième égalité.
:* L'orthogonal du noyau de a contient l'adhérence de l'image a* et l'orthogonal du noyau de a* est l'adhérence de l'image de a :
L'étude des formes bilinéaires continues montre que l'orthogonal d'un d'orthogonal d'un espace vectoriel contient l'adhérence de l'espace initiale. L'orthogonal de l'orthogonal de l'image de l'adjoint de a contient donc l'adhérence de l'image de l'adjoint de a. La proposition précédente permet de conclure pour l'inclusion suivante :
. (fr)
- :* Le spectre de l'opérateur a* est le conjugué de celui de a :
Un opérateur est bijectif si et seulement si son adjoint l'est . En appliquant ceci à a – λId, le résultat s'en déduit.
:* Si H est de dimension finie, le déterminant de a* est le conjugué de celui de a :
L'article Déterminant (mathématiques) démontre qu'une matrice carrée possède le même déterminant que sa transposée. De plus, le déterminant d'une matrice conjuguée est le conjugué du déterminant. Le fait que le déterminant d'un endomorphisme soit égal à celui de sa matrice montre que le déterminant de l'adjoint de a est le conjugué de celui de a. Les mêmes propriétés appliquées à l'endomorphisme a – λId montrent l'égalité des polynômes caractéristiques.
:* Si H est de dimension finie, le polynôme minimal de a* est le conjugué de celui de a :
Soit P le polynôme minimal de a. L'endomorphisme P est nul et son conjugué l'est aussi, ce qui montre que le polynôme conjugué de P annule l'adjoint, son conjugué est donc un multiple du polynôme de a*. On montre de même que le polynôme conjugué du polynôme minimal de l'adjoint annule a. Les deux polynômes sont multiples l'un de l'autre, ils sont tous deux unitaires, ce qui permet de conclure à l'égalité. (fr)
- :* Le noyau de a est égal à l'orthogonal de l'image de a* et le noyau de a* est égal à l'orthogonal de l'image de a :
On remarque que, comme a est continue, le domaine de a* est le dual de F entier, donc :
,
ce qui démontre la première égalité.
On remarque que, comme D est dense dans E, un vecteur du dual de E est nul si et seulement s'il est orthogonal à D, donc :
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ce qui démontre la deuxième égalité.
:* L'orthogonal du noyau de a contient l'adhérence de l'image a* et l'orthogonal du noyau de a* est l'adhérence de l'image de a :
L'étude des formes bilinéaires continues montre que l'orthogonal d'un d'orthogonal d'un espace vectoriel contient l'adhérence de l'espace initiale. L'orthogonal de l'orthogonal de l'image de l'adjoint de a contient donc l'adhérence de l'image de l'adjoint de a. La proposition précédente permet de conclure pour l'inclusion suivante :
. (fr)
- :* Le spectre de l'opérateur a* est le conjugué de celui de a :
Un opérateur est bijectif si et seulement si son adjoint l'est . En appliquant ceci à a – λId, le résultat s'en déduit.
:* Si H est de dimension finie, le déterminant de a* est le conjugué de celui de a :
L'article Déterminant (mathématiques) démontre qu'une matrice carrée possède le même déterminant que sa transposée. De plus, le déterminant d'une matrice conjuguée est le conjugué du déterminant. Le fait que le déterminant d'un endomorphisme soit égal à celui de sa matrice montre que le déterminant de l'adjoint de a est le conjugué de celui de a. Les mêmes propriétés appliquées à l'endomorphisme a – λId montrent l'égalité des polynômes caractéristiques.
:* Si H est de dimension finie, le polynôme minimal de a* est le conjugué de celui de a :
Soit P le polynôme minimal de a. L'endomorphisme P est nul et son conjugué l'est aussi, ce qui montre que le polynôme conjugué de P annule l'adjoint, son conjugué est donc un multiple du polynôme de a*. On montre de même que le polynôme conjugué du polynôme minimal de l'adjoint annule a. Les deux polynômes sont multiples l'un de l'autre, ils sont tous deux unitaires, ce qui permet de conclure à l'égalité. (fr)
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| prop-fr:date
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- décembre 2016 (fr)
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| prop-fr:lienAuteur
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- Haïm Brezis (fr)
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| prop-fr:thème
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- mathématiques (fr)
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| prop-fr:titre
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- Démonstrations (fr)
- Analyse fonctionnelle : théorie et applications (fr)
- Démonstrations (fr)
- Analyse fonctionnelle : théorie et applications (fr)
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- http://www-rocq.inria.fr/~gilbert/p1/af/e6-adjoint.ps.gz|titre=Adjoint d’un opérateur (fr)
- http://www-rocq.inria.fr/~gilbert/p1/af/e6-adjoint.ps.gz|titre=Adjoint d’un opérateur (fr)
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- En mathématiques, un opérateur adjoint est un opérateur sur un espace préhilbertien qui est défini, lorsque c'est possible, à partir d'un autre opérateur a et que l'on note a*. On dit aussi que a* est l'adjoint de a. Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur a de la partie gauche du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie droite du produit scalaire. Il s'agit donc d'une généralisation de la notion de matrice adjointe à des espaces de dimension infinie. (fr)
- En mathématiques, un opérateur adjoint est un opérateur sur un espace préhilbertien qui est défini, lorsque c'est possible, à partir d'un autre opérateur a et que l'on note a*. On dit aussi que a* est l'adjoint de a. Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur a de la partie gauche du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie droite du produit scalaire. Il s'agit donc d'une généralisation de la notion de matrice adjointe à des espaces de dimension infinie. (fr)
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- Hermiteskt konjugat (sv)
- Hermitian adjoint (en)
- Operador adjunt (ca)
- Operador adjunto (pt)
- Operatore aggiunto (it)
- Opérateur adjoint (fr)
- Сопряжённый оператор (ru)
- 埃尔米特伴随 (zh)
- 随伴作用素 (ja)
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