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- En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville : Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif.Les solutions Ln forment une suite de polynômes orthogonaux dans L2 (ℝ+, e–xdx), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale. Ils forment même une base hilbertienne de L2(ℝ+, e–xdx). Cette suite de polynômes peut être définie par la formule de Rodrigues La suite des polynômes de Laguerre est une suite de Sheffer. Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron. Le coefficient dominant de Ln est (–1)n/n!. Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où ceux-ci sont multipliés par (–1)nn!, obtenant ainsi des polynômes unitaires. (fr)
- En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville : Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif.Les solutions Ln forment une suite de polynômes orthogonaux dans L2 (ℝ+, e–xdx), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale. Ils forment même une base hilbertienne de L2(ℝ+, e–xdx). Cette suite de polynômes peut être définie par la formule de Rodrigues La suite des polynômes de Laguerre est une suite de Sheffer. Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron. Le coefficient dominant de Ln est (–1)n/n!. Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où ceux-ci sont multipliés par (–1)nn!, obtenant ainsi des polynômes unitaires. (fr)
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- Hans Weber (fr)
- George Arfken (fr)
- Hans Weber (fr)
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- *Calcul de :
:
Après intégration par parties, on trouve :
:
* Calcul de
:On rappelle que: avec
Alors :
:
* Calculons maintenant la transformée de Laplace de
:
: En utilisant la formule de Leibniz :
:
:Donc
:
:Il en résulte
: (fr)
- Calculons tout d'abord la transformée de Laplace de la fonction génératrice des polynômes de Laguerre:
:
La convergence de cette série est assurée pour .
Dans ces conditions on a
:
Donc
: car
On en déduit finalement
: (fr)
- *Calcul de :
:
Après intégration par parties, on trouve :
:
* Calcul de
:On rappelle que: avec
Alors :
:
* Calculons maintenant la transformée de Laplace de
:
: En utilisant la formule de Leibniz :
:
:Donc
:
:Il en résulte
: (fr)
- Calculons tout d'abord la transformée de Laplace de la fonction génératrice des polynômes de Laguerre:
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La convergence de cette série est assurée pour .
Dans ces conditions on a
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Donc
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- LaguerrePolynomial (fr)
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- Démonstration (fr)
- Mathematical Methods for Physicists (fr)
- Laguerre Polynomial (fr)
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- En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville : Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif.Les solutions Ln forment une suite de polynômes orthogonaux dans L2 (ℝ+, e–xdx), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale. Ils forment même une base hilbertienne de L2(ℝ+, e–xdx). (fr)
- En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville : Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif.Les solutions Ln forment une suite de polynômes orthogonaux dans L2 (ℝ+, e–xdx), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale. Ils forment même une base hilbertienne de L2(ℝ+, e–xdx). (fr)
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- Laguerre polynomials (en)
- Laguerre-Polynome (de)
- Laguerre-polynoom (nl)
- Polinomi di Laguerre (it)
- Polinômios de Laguerre (pt)
- Polynôme de Laguerre (fr)
- Wielomiany Laguerre’a (pl)
- Поліноми Лаґерра (uk)
- ラゲールの陪多項式 (ja)
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