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- En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps ℚ des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme ℚ(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Ces corps jouent un rôle crucial, d'une part dans la compréhension de certaines équations diophantiennes : par exemple, l'arithmétique (groupe des classes, notamment) de leur anneau des entiers permet de montrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas (voir nombre premier régulier) ; mais aussi, dans la compréhension des extensions algébriques de ℚ, ce qui peut être considéré comme une version abstraite du problème précédent : le théorème de Kronecker-Weber, par exemple, assure que toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique. Enfin, la théorie d'Iwasawa permet d'étudier ces extensions cyclotomiques, en ne les considérant plus séparément, mais comme des familles cohérentes. Les extensions cyclotomiques peuvent aussi être définies pour d'autres corps :
* pour les corps finis, la théorie est essentiellement complète ;
* pour les corps locaux de caractéristique 0, elle est mieux comprise que pour le cas global ;
* pour les corps de fonctions… (fr)
- En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps ℚ des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme ℚ(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Ces corps jouent un rôle crucial, d'une part dans la compréhension de certaines équations diophantiennes : par exemple, l'arithmétique (groupe des classes, notamment) de leur anneau des entiers permet de montrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas (voir nombre premier régulier) ; mais aussi, dans la compréhension des extensions algébriques de ℚ, ce qui peut être considéré comme une version abstraite du problème précédent : le théorème de Kronecker-Weber, par exemple, assure que toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique. Enfin, la théorie d'Iwasawa permet d'étudier ces extensions cyclotomiques, en ne les considérant plus séparément, mais comme des familles cohérentes. Les extensions cyclotomiques peuvent aussi être définies pour d'autres corps :
* pour les corps finis, la théorie est essentiellement complète ;
* pour les corps locaux de caractéristique 0, elle est mieux comprise que pour le cas global ;
* pour les corps de fonctions… (fr)
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| prop-fr:contenu
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- * L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme. Elle est donc galoisienne.
L'extension contient ζ et donc toutes ses puissances, or les puissances de ζ forment l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité et donc en particulier les racines primitives qui sont les racines du polynôme cyclotomique. Ceci démontre que ℚ est le corps de décomposition. Dans un corps parfait comme celui des rationnels un corps de décomposition est toujours une extension de Galois.
* L'extension cyclotomique est abélienne.
Soit d un entier plus petit que n et premier à n. Alors ζ est une racine du polynôme cyclotomique donc il existe un ℚ-automorphisme md du corps de décomposition ℚ qui envoie ζ sur ζ. Considérons alors l'application du groupe multiplicatif des éléments inversibles de ℤ/nℤ dans le groupe de Galois qui, à la classe de d associe l'automorphisme md. Cette application est clairement un isomorphisme de groupes. Cet isomorphisme montre que le groupe de Galois est abélien, ce qui termine la démonstration. (fr)
- * L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme. Elle est donc galoisienne.
L'extension contient ζ et donc toutes ses puissances, or les puissances de ζ forment l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité et donc en particulier les racines primitives qui sont les racines du polynôme cyclotomique. Ceci démontre que ℚ est le corps de décomposition. Dans un corps parfait comme celui des rationnels un corps de décomposition est toujours une extension de Galois.
* L'extension cyclotomique est abélienne.
Soit d un entier plus petit que n et premier à n. Alors ζ est une racine du polynôme cyclotomique donc il existe un ℚ-automorphisme md du corps de décomposition ℚ qui envoie ζ sur ζ. Considérons alors l'application du groupe multiplicatif des éléments inversibles de ℤ/nℤ dans le groupe de Galois qui, à la classe de d associe l'automorphisme md. Cette application est clairement un isomorphisme de groupes. Cet isomorphisme montre que le groupe de Galois est abélien, ce qui termine la démonstration. (fr)
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| rdfs:comment
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- En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps ℚ des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme ℚ(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Les extensions cyclotomiques peuvent aussi être définies pour d'autres corps :
* pour les corps finis, la théorie est essentiellement complète ;
* pour les corps locaux de caractéristique 0, elle est mieux comprise que pour le cas global ;
* pour les corps de fonctions… (fr)
- En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps ℚ des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme ℚ(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Les extensions cyclotomiques peuvent aussi être définies pour d'autres corps :
* pour les corps finis, la théorie est essentiellement complète ;
* pour les corps locaux de caractéristique 0, elle est mieux comprise que pour le cas global ;
* pour les corps de fonctions… (fr)
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