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- En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Dans le cas contraire, l'extension est dite transcendante. Cette approche permet dans un premier temps de pallier les insuffisances de certains corps, par exemple celui des nombres réels quant aux solutions des équations polynomiales. Elle offre enfin une structure adaptée pour mieux comprendre la structure d'un corps. Les extensions algébriques sont le support des analyses qui permettent par exemple de résoudre les problèmes de l'Antiquité comme la duplication du cube, ou la résolution d'équations polynomiales par radicaux décrite dans le théorème d'Abel-Ruffini. (fr)
- En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Dans le cas contraire, l'extension est dite transcendante. Cette approche permet dans un premier temps de pallier les insuffisances de certains corps, par exemple celui des nombres réels quant aux solutions des équations polynomiales. Elle offre enfin une structure adaptée pour mieux comprendre la structure d'un corps. Les extensions algébriques sont le support des analyses qui permettent par exemple de résoudre les problèmes de l'Antiquité comme la duplication du cube, ou la résolution d'équations polynomiales par radicaux décrite dans le théorème d'Abel-Ruffini. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- Notons n le degré de ce polynôme. Alors [L:K] = [L:K].[K:K] = [L:K].n.
*Si A est une partie finie de L dont tous les éléments sont algébriques sur K, alors K/K est une extension finie. (fr)
- *Toute extension finie est algébrique, et toute extension algébrique est la réunion de ses sous-extensions finies.
**Soient L/K une extension finie de degré n et l un élément de L. Alors la famille est liée car elle contient plus d'éléments que la dimension de l'espace. Il existe donc une combinaison linéaire nulle de cette famille et dont les coefficients ne sont pas tous nuls. Cette combinaison linéaire définit un polynôme non nul qui possède l pour racine, ce qui montre que l est algébrique sur K.
**Soient L/K une extension algébrique et l un élément de L, alors l appartient à la sous-extension finie K.
*Si L/K est une extension finie et l un élément de L, alors le degré du polynôme minimal de l divise [L:K]. (fr)
- Par récurrence sur le cardinal de A et par multiplicativité des degrés, il suffit de le vérifier pour A réduit à un élément l. Dans ce cas, l'extension K/K est finie, de même degré que le polynôme minimal de l.
*L'ensemble de éléments de L algébriques sur K est un sous-corps de L. (fr)
- Soit l un élément de L. Il existe un polynôme à coefficients dans K annulant l car L est algébrique sur K. Notons A l'ensemble coefficients du polynôme et F=H. Alors F/F et F/H sont des extensions finies, donc F/H aussi. Ainsi, l appartient à une extension finie de H, ce qui démontre la proposition. (fr)
- Si α est non nul et algébrique sur K alors son inverse aussi . Si α et β sont algébriques sur K alors K est une extension finie – donc algébrique – de K, qui contient α + β et αβ.
*Si L/K et K/H sont des extensions algébriques, alors L/H est une extension algébrique. (fr)
- *L est stable pour l'addition :
*Les éléments neutres de l'addition et de la multiplication appartiennent clairement à L.
*L'opposé de tout élément de L appartient à L :
*Le produit laisse aussi L stable :
*Enfin, l'inverse de tout élément non nul de L appartient à L. En effet, pour a et b rationnels non tous les deux nuls, a² - 2b² est non nul car n'est pas un rationnel. Ceci permet d'écrire : (fr)
- Notons n le degré de ce polynôme. Alors [L:K] = [L:K].[K:K] = [L:K].n.
*Si A est une partie finie de L dont tous les éléments sont algébriques sur K, alors K/K est une extension finie. (fr)
- *Toute extension finie est algébrique, et toute extension algébrique est la réunion de ses sous-extensions finies.
**Soient L/K une extension finie de degré n et l un élément de L. Alors la famille est liée car elle contient plus d'éléments que la dimension de l'espace. Il existe donc une combinaison linéaire nulle de cette famille et dont les coefficients ne sont pas tous nuls. Cette combinaison linéaire définit un polynôme non nul qui possède l pour racine, ce qui montre que l est algébrique sur K.
**Soient L/K une extension algébrique et l un élément de L, alors l appartient à la sous-extension finie K.
*Si L/K est une extension finie et l un élément de L, alors le degré du polynôme minimal de l divise [L:K]. (fr)
- Par récurrence sur le cardinal de A et par multiplicativité des degrés, il suffit de le vérifier pour A réduit à un élément l. Dans ce cas, l'extension K/K est finie, de même degré que le polynôme minimal de l.
*L'ensemble de éléments de L algébriques sur K est un sous-corps de L. (fr)
- Soit l un élément de L. Il existe un polynôme à coefficients dans K annulant l car L est algébrique sur K. Notons A l'ensemble coefficients du polynôme et F=H. Alors F/F et F/H sont des extensions finies, donc F/H aussi. Ainsi, l appartient à une extension finie de H, ce qui démontre la proposition. (fr)
- Si α est non nul et algébrique sur K alors son inverse aussi . Si α et β sont algébriques sur K alors K est une extension finie – donc algébrique – de K, qui contient α + β et αβ.
*Si L/K et K/H sont des extensions algébriques, alors L/H est une extension algébrique. (fr)
- *L est stable pour l'addition :
*Les éléments neutres de l'addition et de la multiplication appartiennent clairement à L.
*L'opposé de tout élément de L appartient à L :
*Le produit laisse aussi L stable :
*Enfin, l'inverse de tout élément non nul de L appartient à L. En effet, pour a et b rationnels non tous les deux nuls, a² - 2b² est non nul car n'est pas un rationnel. Ceci permet d'écrire : (fr)
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