| dbo:abstract
|
- Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que , et l'on en déduit alors que
* f(e) = e' (où e et e' désignent les neutres respectifs de G et G') et
* ∀x ∈ G f(x−1) = [f(x)]−1.Démonstration
* donc ; en composant par l'inverse de , on obtient (autrement dit, un morphisme de groupes conserve l'idempotence, et l'élément neutre d'un groupe est son unique élément idempotent).
* donc ; ainsi et sont inverses l'un de l'autre. Ces démonstrations s'appliquent dans un contexte plus général : voir les § « Morphisme de monoïdes » et « Symétrique d'un élément » de l'article sur les monoïdes. Un morphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé un endomorphisme de G. On dit que est un isomorphisme de groupes si est un morphisme bijectif. Dans ce cas, est aussi un isomorphisme de groupes. Si de plus , autrement dit si l'isomorphisme est un endomorphisme, on dit que est un automorphisme du groupe . Un morphisme de groupes transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes sous l'effet des morphismes. (fr)
- Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que , et l'on en déduit alors que
* f(e) = e' (où e et e' désignent les neutres respectifs de G et G') et
* ∀x ∈ G f(x−1) = [f(x)]−1.Démonstration
* donc ; en composant par l'inverse de , on obtient (autrement dit, un morphisme de groupes conserve l'idempotence, et l'élément neutre d'un groupe est son unique élément idempotent).
* donc ; ainsi et sont inverses l'un de l'autre. Ces démonstrations s'appliquent dans un contexte plus général : voir les § « Morphisme de monoïdes » et « Symétrique d'un élément » de l'article sur les monoïdes. Un morphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé un endomorphisme de G. On dit que est un isomorphisme de groupes si est un morphisme bijectif. Dans ce cas, est aussi un isomorphisme de groupes. Si de plus , autrement dit si l'isomorphisme est un endomorphisme, on dit que est un automorphisme du groupe . Un morphisme de groupes transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes sous l'effet des morphismes. (fr)
|
| rdfs:comment
|
- Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que , et l'on en déduit alors que Ces démonstrations s'appliquent dans un contexte plus général : voir les § « Morphisme de monoïdes » et « Symétrique d'un élément » de l'article sur les monoïdes. Un morphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé un endomorphisme de G. (fr)
- Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que , et l'on en déduit alors que Ces démonstrations s'appliquent dans un contexte plus général : voir les § « Morphisme de monoïdes » et « Symétrique d'un élément » de l'article sur les monoïdes. Un morphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé un endomorphisme de G. (fr)
|
