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- Dans une approche axiomatique de la géométrie affine, un plan affine arguésien ou plan affine de Desargues (ou desarguésien) est un plan affine au sens des axiomes d'incidence, vérifiant de plus l'axiome de Desargues : Pour toutes droites distinctes d1, d2 et d3 concourantes ou parallèles et pour tous points A1 et B1 incidents à d1, A2 et B2 incidents à d2, A3 et B3 incidents à d3, si (A1A2)//(B1B2) et (A2A3)//(B2B3) alors (A1A3)//(B1B3). Ajouté aux axiomes d'incidence des plans affines, qui permettent de définir les homothéties et les translations, cet axiome équivaut à l'existence de suffisamment d'homothéties (dans le cas de droites concourantes) et de translations (dans le cas de droites parallèles). De ce fait, tout plan de Desargues se réalise comme un plan affine sur un corps K (éventuellement non commutatif), dont le plan vectoriel directeur est défini comme l'ensemble des translations du plan ; le groupe multiplicatif de K s'identifie au groupe des homothéties de centre un point donné. Réciproquement, d'après le théorème de Desargues, tout plan affine, au sens « espace affine de dimension 2 sur un corps », satisfait (les axiomes d'incidence et) l'axiome de Desargues. En dimension supérieure ou égale à 3, la propriété de Desargues est un théorème qui se démontre à l'aide des seuls . Pour un plan affine arguésien, la commutativité du corps sous-jacent équivaut à la propriété de Pappus, que l'on peut prendre pour axiome. On appelle alors plan affine de Pappus un plan affine arguésien vérifiant l'axiome de Pappus. Il s'avère que l'axiome de Desargues devient alors redondant, d'après le théorème de Hessenberg. (fr)
- Dans une approche axiomatique de la géométrie affine, un plan affine arguésien ou plan affine de Desargues (ou desarguésien) est un plan affine au sens des axiomes d'incidence, vérifiant de plus l'axiome de Desargues : Pour toutes droites distinctes d1, d2 et d3 concourantes ou parallèles et pour tous points A1 et B1 incidents à d1, A2 et B2 incidents à d2, A3 et B3 incidents à d3, si (A1A2)//(B1B2) et (A2A3)//(B2B3) alors (A1A3)//(B1B3). Ajouté aux axiomes d'incidence des plans affines, qui permettent de définir les homothéties et les translations, cet axiome équivaut à l'existence de suffisamment d'homothéties (dans le cas de droites concourantes) et de translations (dans le cas de droites parallèles). De ce fait, tout plan de Desargues se réalise comme un plan affine sur un corps K (éventuellement non commutatif), dont le plan vectoriel directeur est défini comme l'ensemble des translations du plan ; le groupe multiplicatif de K s'identifie au groupe des homothéties de centre un point donné. Réciproquement, d'après le théorème de Desargues, tout plan affine, au sens « espace affine de dimension 2 sur un corps », satisfait (les axiomes d'incidence et) l'axiome de Desargues. En dimension supérieure ou égale à 3, la propriété de Desargues est un théorème qui se démontre à l'aide des seuls . Pour un plan affine arguésien, la commutativité du corps sous-jacent équivaut à la propriété de Pappus, que l'on peut prendre pour axiome. On appelle alors plan affine de Pappus un plan affine arguésien vérifiant l'axiome de Pappus. Il s'avère que l'axiome de Desargues devient alors redondant, d'après le théorème de Hessenberg. (fr)
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- M. Aiello, I. Pratt-Hartmann et J. van Benthem (fr)
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- Axiome de Desargues. (fr)
- Cas de trois droites concourantes. (fr)
- Cas de trois droites parallèles. (fr)
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- Fondements de la géométrie (fr)
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- Logical Theories for Fragments of Elementary Geometry (fr)
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- Handbook of Spatial Logics (fr)
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- Dans une approche axiomatique de la géométrie affine, un plan affine arguésien ou plan affine de Desargues (ou desarguésien) est un plan affine au sens des axiomes d'incidence, vérifiant de plus l'axiome de Desargues : Pour toutes droites distinctes d1, d2 et d3 concourantes ou parallèles et pour tous points A1 et B1 incidents à d1, A2 et B2 incidents à d2, A3 et B3 incidents à d3, si (A1A2)//(B1B2) et (A2A3)//(B2B3) alors (A1A3)//(B1B3). En dimension supérieure ou égale à 3, la propriété de Desargues est un théorème qui se démontre à l'aide des seuls . (fr)
- Dans une approche axiomatique de la géométrie affine, un plan affine arguésien ou plan affine de Desargues (ou desarguésien) est un plan affine au sens des axiomes d'incidence, vérifiant de plus l'axiome de Desargues : Pour toutes droites distinctes d1, d2 et d3 concourantes ou parallèles et pour tous points A1 et B1 incidents à d1, A2 et B2 incidents à d2, A3 et B3 incidents à d3, si (A1A2)//(B1B2) et (A2A3)//(B2B3) alors (A1A3)//(B1B3). En dimension supérieure ou égale à 3, la propriété de Desargues est un théorème qui se démontre à l'aide des seuls . (fr)
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- Plan affine arguésien (fr)
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