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- (fr)
- = . (fr)
- s'identifiant à un sous-groupe de , il suffit d'étendre à . On peut donc supposer sans perte de généralité que m = e. Soit d l'ordre de H. Alors donc , autrement dit, est un endomorphisme du groupe cyclique H, noté additivement. C'est donc simplement la multiplication par un certain entier. On peut alors définir sur comme la multiplication par ce même entier. (fr)
- Raisonnons par récurrence sur l'ordre n de G.
Existence d'une décomposition :
Si n = 1, la suite vide convient. Supposons n > 1 et l'existence démontrée pour tous les groupes abéliens finis d'ordre strictement inférieur à n. Soient G un groupe abélien fini d'ordre n, et e son exposant. Alors G possède un sous-groupe cyclique C d'ordre e et un sous-groupe K tel que G = C×K. L'hypothèse de récurrence montre que K est somme directe d'une suite de sous-groupes cycliques C, … ,C telle que pour tout entier i compris entre 2 et k – 1, l'ordre de C'i+1 divise celui de Ci. De plus, l'ordre de C divise celui de C, par définition de e et C.
Unicité de la décomposition :'
Pour n = 1, l'unicité est immédiate. Supposons n > 1 et l'unicité démontrée pour tous les groupes abéliens finis d'ordre strictement inférieur à n. Soient G un groupe abélien fini d'ordre n et
deux décompositions de G en sommes directes de sous-groupes cycliques dont les ordres , vérifient les conditions du théorème. Soient x un générateur de C et ses composantes dans la seconde décomposition. L'ordre de x est égal à l'exposant e de G donc il existe au moins un indice j tel que y est d'ordre e . En remplaçant C par C dans la seconde décomposition, la somme est alors encore directe et de l'égalité , on déduit, en quotientant par C'' : donc = , si bien que (fr)
- Soit C un tel sous-groupe. Raisonnons par récurrence sur le nombre minimal k d'éléments qu'il faut adjoindre à C pour engendrer G. Si k = 0 alors C = G, facteur direct dans lui-même. Supposons k > 0, C engendré par g et G engendré par g, … , g et C facteur direct dans le sous-groupe G engendré par g, … , g. Il existe donc un projecteur φ' défini sur G dont l'image est égale à C. Pour l'étendre en un projecteur φ défini sur G, on pose
pour un morphisme convenablement choisi. Plus précisément, la condition sur φ" est que le se factorise par , pour que l'application φ soit bien définie sur G .
La condition pour que se factorise par + est qu'il s'annule sur le noyau de ce morphisme, c'est-à-dire sur l'ensemble des couples quand h parcourt le sous-groupe H := G ∩ ⟨g⟩, autrement dit : que φ" coïncide sur H avec φ'. L'ordre de ⟨g⟩ divise celui de C donc un tel φ" existe toujours, d'après le lemme suivant. (fr)
- (fr)
- = . (fr)
- s'identifiant à un sous-groupe de , il suffit d'étendre à . On peut donc supposer sans perte de généralité que m = e. Soit d l'ordre de H. Alors donc , autrement dit, est un endomorphisme du groupe cyclique H, noté additivement. C'est donc simplement la multiplication par un certain entier. On peut alors définir sur comme la multiplication par ce même entier. (fr)
- Raisonnons par récurrence sur l'ordre n de G.
Existence d'une décomposition :
Si n = 1, la suite vide convient. Supposons n > 1 et l'existence démontrée pour tous les groupes abéliens finis d'ordre strictement inférieur à n. Soient G un groupe abélien fini d'ordre n, et e son exposant. Alors G possède un sous-groupe cyclique C d'ordre e et un sous-groupe K tel que G = C×K. L'hypothèse de récurrence montre que K est somme directe d'une suite de sous-groupes cycliques C, … ,C telle que pour tout entier i compris entre 2 et k – 1, l'ordre de C'i+1 divise celui de Ci. De plus, l'ordre de C divise celui de C, par définition de e et C.
Unicité de la décomposition :'
Pour n = 1, l'unicité est immédiate. Supposons n > 1 et l'unicité démontrée pour tous les groupes abéliens finis d'ordre strictement inférieur à n. Soient G un groupe abélien fini d'ordre n et
deux décompositions de G en sommes directes de sous-groupes cycliques dont les ordres , vérifient les conditions du théorème. Soient x un générateur de C et ses composantes dans la seconde décomposition. L'ordre de x est égal à l'exposant e de G donc il existe au moins un indice j tel que y est d'ordre e . En remplaçant C par C dans la seconde décomposition, la somme est alors encore directe et de l'égalité , on déduit, en quotientant par C'' : donc = , si bien que (fr)
- Soit C un tel sous-groupe. Raisonnons par récurrence sur le nombre minimal k d'éléments qu'il faut adjoindre à C pour engendrer G. Si k = 0 alors C = G, facteur direct dans lui-même. Supposons k > 0, C engendré par g et G engendré par g, … , g et C facteur direct dans le sous-groupe G engendré par g, … , g. Il existe donc un projecteur φ' défini sur G dont l'image est égale à C. Pour l'étendre en un projecteur φ défini sur G, on pose
pour un morphisme convenablement choisi. Plus précisément, la condition sur φ" est que le se factorise par , pour que l'application φ soit bien définie sur G .
La condition pour que se factorise par + est qu'il s'annule sur le noyau de ce morphisme, c'est-à-dire sur l'ensemble des couples quand h parcourt le sous-groupe H := G ∩ ⟨g⟩, autrement dit : que φ" coïncide sur H avec φ'. L'ordre de ⟨g⟩ divise celui de C donc un tel φ" existe toujours, d'après le lemme suivant. (fr)
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