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- En mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines (en), et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique. Le symbole de Hilbert (a, b)2 de deux éléments non nuls a et b d'un corps K est 1 ou –1, suivant que l'équation ax2 + by2 = 1 admet ou non une solution (x, y) dans K. Une telle équation revient en fait à se demander si a est une norme dans l'extension a priori quadratique K(√b). Cette définition se généralise, pour un corps local K, en une fonction (–, –) de K* × K* dans le groupe des racines de l'unité de K. Avec ce point de vue, en considérant tous les symboles de Hilbert définis sur le corps des réels et les différents corps ℚp de nombres p-adiques, on parvient à une formulation de la loi de réciprocité quadratique, et plus généralement à la loi de réciprocité pour les puissances n-ièmes. Ce symbole a été introduit par Hilbert dans son Zahlbericht, à la différence près que sa définition concernait les corps globaux. Il a été généralisé aux (en). (fr)
- En mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines (en), et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique. Le symbole de Hilbert (a, b)2 de deux éléments non nuls a et b d'un corps K est 1 ou –1, suivant que l'équation ax2 + by2 = 1 admet ou non une solution (x, y) dans K. Une telle équation revient en fait à se demander si a est une norme dans l'extension a priori quadratique K(√b). Cette définition se généralise, pour un corps local K, en une fonction (–, –) de K* × K* dans le groupe des racines de l'unité de K. Avec ce point de vue, en considérant tous les symboles de Hilbert définis sur le corps des réels et les différents corps ℚp de nombres p-adiques, on parvient à une formulation de la loi de réciprocité quadratique, et plus généralement à la loi de réciprocité pour les puissances n-ièmes. Ce symbole a été introduit par Hilbert dans son Zahlbericht, à la différence près que sa définition concernait les corps globaux. Il a été généralisé aux (en). (fr)
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- Corps local supérieur (fr)
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- Number theory (fr)
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- Introduction to algebraic K-theory (fr)
- Local fields and their extensions (fr)
- The theory of algebraic number fields (fr)
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- En mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines (en), et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique. Ce symbole a été introduit par Hilbert dans son Zahlbericht, à la différence près que sa définition concernait les corps globaux. Il a été généralisé aux (en). (fr)
- En mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines (en), et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique. Ce symbole a été introduit par Hilbert dans son Zahlbericht, à la différence près que sa définition concernait les corps globaux. Il a été généralisé aux (en). (fr)
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- Symbole de Hilbert (fr)
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