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- En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix en admettant les autres axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Le lemme de Zorn permet d'utiliser l'axiome du choix sans recourir à la théorie des ordinaux (ou à celle des bons ordres via le théorème de Zermelo). En effet, sous les hypothèses du lemme de Zorn, on peut obtenir un élément maximal par une définition par récurrence transfinie, la fonction itérée étant obtenue par axiome du choix. Cependant, les constructions par récurrence transfinie sont parfois plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives. Le lemme de Zorn a des applications aussi bien en topologie, comme le théorème de Tychonov, qu'en analyse fonctionnelle, comme le théorème de Hahn-Banach, ou en algèbre, comme le théorème de Krull ou l'existence d'une clôture algébrique. Il doit son nom au mathématicien Max Zorn qui, dans un article de 1935, en donnait le premier un grand nombre d'applications, en redémontrant des résultats connus d'algèbre. Cependant Kazimierz Kuratowski en avait déjà publié une version en 1922, et plusieurs mathématiciens, à commencer par Felix Hausdorff en 1907, avaient introduit des principes de maximalité proches du lemme de Zorn. (fr)
- En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix en admettant les autres axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Le lemme de Zorn permet d'utiliser l'axiome du choix sans recourir à la théorie des ordinaux (ou à celle des bons ordres via le théorème de Zermelo). En effet, sous les hypothèses du lemme de Zorn, on peut obtenir un élément maximal par une définition par récurrence transfinie, la fonction itérée étant obtenue par axiome du choix. Cependant, les constructions par récurrence transfinie sont parfois plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives. Le lemme de Zorn a des applications aussi bien en topologie, comme le théorème de Tychonov, qu'en analyse fonctionnelle, comme le théorème de Hahn-Banach, ou en algèbre, comme le théorème de Krull ou l'existence d'une clôture algébrique. Il doit son nom au mathématicien Max Zorn qui, dans un article de 1935, en donnait le premier un grand nombre d'applications, en redémontrant des résultats connus d'algèbre. Cependant Kazimierz Kuratowski en avait déjà publié une version en 1922, et plusieurs mathématiciens, à commencer par Felix Hausdorff en 1907, avaient introduit des principes de maximalité proches du lemme de Zorn. (fr)
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- Jerry Bona (fr)
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- Serge Lang (fr)
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- Amsterdam (fr)
- New York/Berlin/Heidelberg etc. (fr)
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- février (fr)
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- dbpedia-fr:Yiannis_Moschovakis
- Bourbaki (fr)
- Campbell (fr)
- Moore (fr)
- Rubin (fr)
- Lang (fr)
- Lemme de Zorn (fr)
- Lemme de Zorn pour l'inclusion. (fr)
- Principe de maximalité de Hausdorff. (fr)
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- appendix 2 (fr)
- E.III.20, E.III.21 et fascicule de résultats E.R.29 (fr)
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- N. (fr)
- Serge (fr)
- Herman (fr)
- Paul J. (fr)
- Jean E. (fr)
- Gregory H. (fr)
- N. (fr)
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- Herman (fr)
- Paul J. (fr)
- Jean E. (fr)
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| prop-fr:revue
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| prop-fr:titre
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- Algebra (fr)
- Notes on Set Theory (fr)
- A remark on method in transfinite algebra (fr)
- Equivalents of the Axiom of Choice, II (fr)
- The Origin of “Zorn's Lemma” (fr)
- Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques (fr)
- Zermelo's Axiom of Choice Its Origins, Development, and Influence (fr)
- Éléments de mathématique, Théorie des ensembles (fr)
- The Mathematical Import of Zermelo's Well-Ordering Theorem (fr)
- Algebra (fr)
- Notes on Set Theory (fr)
- A remark on method in transfinite algebra (fr)
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- The Origin of “Zorn's Lemma” (fr)
- Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques (fr)
- Zermelo's Axiom of Choice Its Origins, Development, and Influence (fr)
- Éléments de mathématique, Théorie des ensembles (fr)
- The Mathematical Import of Zermelo's Well-Ordering Theorem (fr)
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- Part I §4 : Maximal principles (fr)
- Part I §4 : Maximal principles (fr)
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- Si un ensemble d'ensembles, ordonné par inclusion, est tel que la réunion de toute chaîne d'éléments de est encore un élément de , alors possède un élément maximal pour l'inclusion. (fr)
- Tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. (fr)
- Tout ensemble ordonné contient une chaîne maximale pour l'inclusion. (fr)
- Si un ensemble d'ensembles, ordonné par inclusion, est tel que la réunion de toute chaîne d'éléments de est encore un élément de , alors possède un élément maximal pour l'inclusion. (fr)
- Tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. (fr)
- Tout ensemble ordonné contient une chaîne maximale pour l'inclusion. (fr)
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- En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix en admettant les autres axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. (fr)
- En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix en admettant les autres axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. (fr)
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- Lemme de Zorn (fr)
- Bổ đề Zorn (vi)
- Lema de Zorn (ca)
- Lema de Zorn (es)
- Lema de Zorn (pt)
- Lemat Kuratowskiego-Zorna (pl)
- Lemma di Zorn (it)
- Lemma van Zorn (nl)
- Lemma von Zorn (de)
- Zorns lemma (sv)
- Лема Цорна (uk)
- Лемма Цорна (ru)
- ツォルンの補題 (ja)
- Lemme de Zorn (fr)
- Bổ đề Zorn (vi)
- Lema de Zorn (ca)
- Lema de Zorn (es)
- Lema de Zorn (pt)
- Lemat Kuratowskiego-Zorna (pl)
- Lemma di Zorn (it)
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