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- En théorie des ensembles, l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A désigne le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A. Son existence utilise le remplacement et se démontre sans l'axiome du choix, contrairement au théorème de Zermelo qui revient à l'existence d'un ordinal en bijection avec A, et équivaut, lui, à l'axiome du choix. L'ordinal de Hartogs étant nécessairement un ordinal initial, ou cardinal, on parle également de cardinal de Hartogs. En présence de l'axiome du choix, le cardinal de Hartogs de A est le plus petit cardinal strictement supérieur au cardinal de A, au sens où il s'injecte dans tout ensemble qui ne s'injecte pas dans A. Le théorème de Hartogs sous sa forme originale énonce que l'on peut associer à tout ensemble A un ensemble bien ordonné qui ne s'injecte pas dans A. Il particularise à l'ensemble A la construction qui mène au paradoxe de Burali-Forti. Cette version ne nécessite pas le schéma d'axiomes de remplacement, et se démontre donc dans la théorie de Zermelo sans axiome du choix. Hartogs en déduit que la comparabilité cardinale (étant donné deux ensembles, il existe une injection de l'un dans l'autre) entraîne l'axiome du choix, et donc est équivalente à ce dernier. (fr)
- En théorie des ensembles, l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A désigne le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A. Son existence utilise le remplacement et se démontre sans l'axiome du choix, contrairement au théorème de Zermelo qui revient à l'existence d'un ordinal en bijection avec A, et équivaut, lui, à l'axiome du choix. L'ordinal de Hartogs étant nécessairement un ordinal initial, ou cardinal, on parle également de cardinal de Hartogs. En présence de l'axiome du choix, le cardinal de Hartogs de A est le plus petit cardinal strictement supérieur au cardinal de A, au sens où il s'injecte dans tout ensemble qui ne s'injecte pas dans A. Le théorème de Hartogs sous sa forme originale énonce que l'on peut associer à tout ensemble A un ensemble bien ordonné qui ne s'injecte pas dans A. Il particularise à l'ensemble A la construction qui mène au paradoxe de Burali-Forti. Cette version ne nécessite pas le schéma d'axiomes de remplacement, et se démontre donc dans la théorie de Zermelo sans axiome du choix. Hartogs en déduit que la comparabilité cardinale (étant donné deux ensembles, il existe une injection de l'un dans l'autre) entraîne l'axiome du choix, et donc est équivalente à ce dernier. (fr)
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- Friedrich Moritz Hartogs (fr)
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- Mathematische Annalen (fr)
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- Herrlich (fr)
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- Math. Ann. (fr)
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- Axiom of Choice (fr)
- Über das Problem der Wohlordnung (fr)
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- En théorie des ensembles, l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A désigne le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A. Son existence utilise le remplacement et se démontre sans l'axiome du choix, contrairement au théorème de Zermelo qui revient à l'existence d'un ordinal en bijection avec A, et équivaut, lui, à l'axiome du choix. Hartogs en déduit que la comparabilité cardinale (étant donné deux ensembles, il existe une injection de l'un dans l'autre) entraîne l'axiome du choix, et donc est équivalente à ce dernier. (fr)
- En théorie des ensembles, l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A désigne le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A. Son existence utilise le remplacement et se démontre sans l'axiome du choix, contrairement au théorème de Zermelo qui revient à l'existence d'un ordinal en bijection avec A, et équivaut, lui, à l'axiome du choix. Hartogs en déduit que la comparabilité cardinale (étant donné deux ensembles, il existe une injection de l'un dans l'autre) entraîne l'axiome du choix, et donc est équivalente à ce dernier. (fr)
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- Hartogs number (en)
- Número de Hartogs (pt)
- Ordinal de Hartogs (fr)
- ハルトークス数 (ja)
- 哈特格斯数 (zh)
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