| prop-fr:contenu
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- Dans ce cas, on a
Le premier terme de l'intégrale est dominant. On a donc :
:
Donc et donc :
:
Donc,
:
On remplace maintenant et donc:
:
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:
En prenant la partie réelle, on obtient :
:
On rappelle que
On obtient donc :
:
Donc,
:
On remarque que :
:
Donc,
:
On observe donc une périodicité verticale de la vitesse verticale w. Dans le cas où , la périodicité verticale sera km. (fr)
- On définit
:
comme étant la somme de la vitesse du vent hors perturbation et de la perturbation du vecteur vitesse.
On définit de la même manière la masse volumique, la pression et la température hors perturbation et leurs perturbations respectives.
:
L'équation de conservation de la masse s'écrit :
:
On obtient donc :
On suppose que u0 et ρ0 ne dépendent que de z. On obtient alors :
:
On note que w0 est nul.
On supprime les termes de second ordre dans cette équation et l'on obtient alors :
:
On peut remplacer les dérivées partielles en z :
:
On utilise maintenant l'équation des gaz parfaits :
:
On définit . On différencie :
:
Le mouvement de la parcelle d'air est adiabatique :
:
où
Donc,
:
En remplaçant, on obtient :
:
On définit la vitesse du son adiabatique :
:
On obtient donc :
:
On développe l'équation suivante en termes d'advection :
:
On est en régime stationnaire :
:
Donc,
:
On rappelle que p0 et ρ0 ne dépendent que de z.
À nouveau, on linéarise et supprime les termes de second ordre :
:
On peut remplacer la dérivée partielle en z :
:
On linéarise à nouveau :
:
On obtient donc :
:
Ainsi,
:
La dérivée partielle de p' correspond aux ondes acoustiques. On peut donc ignorer ce terme :
:
On rappelle que
:
et donc,
:
Or
:
où θ0 est la température potentielle.
On définit la fréquence de Brunt-Väisälä comme étant :
:
Donc,
:
On reprend l'équation de conservation de la masse :
:
On remplace :
:
Finalement :
:
L'équation de conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
:
On obtient en étendant la dérivée :
:
On est en conditions stationnaires . Donc :
:
On développe :
:
On rappelle que w0 est nul. Donc,
:
On rappelle que et p0 ne dépendent que de z. Donc,
:
On linéarise et on supprime les termes de second ordre. Donc,
:
On remplace les dérivées partielles en z :
:
On multiplie par ρ :
:
On projette suivant :
:
On linéarise à nouveau :
:
On peut éliminer u' :
On projette suivant :
:
On note que :
:
Donc,
:
On linéarise à nouveau :
:
On rappelle que :
:
et aussi
On élimine p en différenciant ces deux équations :
:
On néglige les phénomènes de compressibilité et l'on considère que .
:
On développe un peu plus :
:
On utilise la loi des gaz parfaits :
:
Donc,
:
Donc,
:
On rappelle que et le fluide est supposé être incompressible :
:
On obtient donc finalement :
:
On considère la deuxième équation :
:
Sachant que ρ0 et u0 ne dépendent que de z :
:
On rappelle que :
:
Donc,
:
On écrit que :
:
Donc,
:
Finalement, l'on obtient la formule de Scorer :
:
On définit le paramètre de Scorer par :
:
Finalement l'équation de Scorer s'écrit :
:
Cette équation est linéaire en w' = w et peut être résolue analytiquement dans de nombreux cas. (fr)
- Le second terme de l'intégrale est dominant. On a donc :
:
On a . Donc,
:
On remplace et donc :
:
Finalement,
:
Donc en prenant la partie réelle, l'on obtient :
:
On a :
:
On rappelle que :
:
Donc,
On note que u peut devenir négatif et l'on peut même avoir u + u < 0. Si cela se produit, on n'est plus dans cas linéaire et l'hypothèse n'est plus valide.
De même, l'on a :
:
Donc,
:
On remarque que :
:
Donc,
: (fr)
- La condition aux limites s'écrit donc :
:
On effectue un développement limité :
:
On utilise l'équation de continuité :
:
On note que u_0 ne dépend que de z :
:
En substituant, on obtient donc :
:
La quantité est une quantité du second ordre. On obtient alors :
:
On obtient donc la condition aux limites suivante :
:
On définit :
Ainsi,
: (fr)
- On définit . On peut donc écrire :
:.
L'équation de Scorer devient alors :
:
Les fonctions cosinus et sinus sont linéairement indépendantes. On obtient donc les équations différentielles suivantes :
:
:
La forme de la solution dépend des valeurs de k et .
Si la stabilité de l'atmosphère est neutre, on a en première approximation . (fr)
- On considère le cas où . On rappelle que :
:
On se restreint dans le cas où x est grand. Comme le terme oscille rapidement, la seconde intégrale est nulle. On a donc à nouveau :
:
On définit la phase :
:
Cette intégrale est presque nulle sauf si la dérivée de la phase est nulle.
:
On note que :
:
On résout donc :
:
Les solutions sont donc :
:
Une seule solution est physique et l'on a :
:
On effectue un développement limité et l'on a:
:
On définit ξc tel que :
:
Après quelques calculs, l'on obtient :
: (fr)
- On corrige légèrement le paramètre de Scorer où
:
avec
L'équation de Long est réécrite comme suit :
:
On suppose que la vitesse du vent augmente avec l'altitude. On écrit:
:
On obtient alors :
:
On définit (fr)
- Comme il a été dit plus haut, ce cas est assez courant. On a alors:
:
Le second terme de la somme est non physique et donc est éliminé. Il en est de même pour b. On a donc :
:
On a donc :
:
On applique la condition aux limites discutée ci-dessus.
On a donc à z = 0
:
Donc,
:
Les fonctions sinus et cosinus sont linéairement indépendantes.
Le seul terme non nul est α1. Donc,
: (fr)
- On pose
Donc,
:
Donc,
:
On pose :
:
On résout donc :
:
Donc,
:
À nouveau, on pose
On rappelle que :
:
On résout donc :
:
On multiplie par et donc :
:
Donc,
:
On définit
Donc,
:
On pose
On obtient donc :
:
Donc,
:
Donc,
:
Ceci est une équation de Bessel modifiée. Comme la solution y est finie à l'infini, la solution est :
:
où est la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce.
Donc,
:
Donc,
:
On fait z = 0. On obtient alors :
On suppose que la montagne est une sorcière d'Agnesi. Donc,
:
Sa transformée de Fourier est donc :
:
La condition aux limites s'écrit et donc :
:
Donc, sa transformée de Fourier devient :
:
On obtient donc :
:
Donc,
:
On effectue une transformée de Fourier inverse :
:
On suppose que β est petit et l'on utilise le théorème des résidus. Soient chacun des pôles de .
On a alors :
:
La vitesse verticale s'exprime donc comme suit :
: (fr)
- L'équation différentielle s'écrit :
:
On considère .
La solution est alors :
:
Le premier terme est non physique et donc, l'on a:
:
On considère .
La solution est alors :
:
La condition aux limites s'exprime par :
:
Exprimée dans l'espace de Fourier, cette condition aux limites s'exprime comme suit :
:
On rappelle que :
:
On obtient donc dans le cas
:
Donc,
:
Dans le cas
On a :
:
On a donc
:
Donc,
:
On élimine le deuxième terme car non physique. Donc,
:
On rappelle que
:.
Donc,
:
On obtient donc :
: pour
: pour
On effectue la transformation de Fourier inverse et l'on obtient donc :
:
Donc en développant, on obtient :
: (fr)
- On écrit :
:
On rappelle que :
:
:
On a alors :
:
De même,
:
Dans ce cas, on a :
:
On exprime les conditions aux limites au niveau du sol et l'on a donc :
:
On obtient donc pour :
:
On peut maintenant reformuler la vitesse verticale en utilisant les formules trigonométriques :
:
On considère maintenant la condition limite en z = 0. On a donc :
:
Donc,
:
On obtient donc et .
À cause de la friction, les ondes penchent en amont du flot.
Finalement :
: (fr)
- La transformée de Fourier de la courbe de Gauß est la suivante :
:
On rappelle que :
:
soit
:
On constate que le terme sous l'intégrale est la transformée de Fourier d'une courbe gaussienne. En application du résultat précédent, on a :
:
Donc,
:
Dans ce cas, aucune onde de ressaut n'est formée. Cette formule approchée permet aussi d'évaluer l'ascendance au-dessus d'une pente. On remarque que l'effet ascensionnel s'atténue avec la hauteur au-dessus de la colline. Cette formule approchée pourra être utilisée pour estimer la vitesse ascensionnelle lors d'un vol de pente. (fr)
- Donc,
:
On définit le nombre de Richardson comme :
:
On résout donc :
:
On définit
:
On a :
:
Donc,
:
On résout donc :
:
On multiplie par . Donc,
:
Donc,
:
On a :
:
On obtient donc :
:
L'équation devient donc :
:
On définit l'opérateur linéaire :
:
On résout donc :
!
qu'on peut donc factoriser en :
On obtient donc les équations linéaires :
:
Cela consiste donc à résoudre :
:
Donc,
:
et
:
La solution s'écrit donc sous la forme :
:
La solution est donc :
:
Après quelques calculs, l'on obtient :
:
On rappelle que
Donc,
: (fr)
- Une formulation plus complexe est donnée dans les références .
On définit les quantités non dimensionnelles suivantes :
* où L est une longueur de référence comme par exemple la demi largeur de la montagne.
* où N0 est la fréquence de Brunt-Väisälä caractéristique, est la vitesse uniforme le long de la ligne de courant.
*
*
* où est la masse volumique charactéristique.
* où g est l'accélération de la gravité.
On définit :
:
Il existe une fonction ψ sans dimension telle que
L'équation non linéaire concernant ψ est la suivante :
:
On a typiquement , et g = 10. Donc, . On peut donc supposer que et l'on peut donc ignorer les termes non linéaires. La largeur caractéristique d'une montagne de 1000 mètres de haut est de l'ordre de 5000 mètres. On obtient alors et il peut être inapproprié de négliger ce terme. (fr)
- Dans ce cas, on a
Le premier terme de l'intégrale est dominant. On a donc :
:
Donc et donc :
:
Donc,
:
On remplace maintenant et donc:
:
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:
En prenant la partie réelle, on obtient :
:
On rappelle que
On obtient donc :
:
Donc,
:
On remarque que :
:
Donc,
:
On observe donc une périodicité verticale de la vitesse verticale w. Dans le cas où , la périodicité verticale sera km. (fr)
- On définit
:
comme étant la somme de la vitesse du vent hors perturbation et de la perturbation du vecteur vitesse.
On définit de la même manière la masse volumique, la pression et la température hors perturbation et leurs perturbations respectives.
:
L'équation de conservation de la masse s'écrit :
:
On obtient donc :
On suppose que u0 et ρ0 ne dépendent que de z. On obtient alors :
:
On note que w0 est nul.
On supprime les termes de second ordre dans cette équation et l'on obtient alors :
:
On peut remplacer les dérivées partielles en z :
:
On utilise maintenant l'équation des gaz parfaits :
:
On définit . On différencie :
:
Le mouvement de la parcelle d'air est adiabatique :
:
où
Donc,
:
En remplaçant, on obtient :
:
On définit la vitesse du son adiabatique :
:
On obtient donc :
:
On développe l'équation suivante en termes d'advection :
:
On est en régime stationnaire :
:
Donc,
:
On rappelle que p0 et ρ0 ne dépendent que de z.
À nouveau, on linéarise et supprime les termes de second ordre :
:
On peut remplacer la dérivée partielle en z :
:
On linéarise à nouveau :
:
On obtient donc :
:
Ainsi,
:
La dérivée partielle de p' correspond aux ondes acoustiques. On peut donc ignorer ce terme :
:
On rappelle que
:
et donc,
:
Or
:
où θ0 est la température potentielle.
On définit la fréquence de Brunt-Väisälä comme étant :
:
Donc,
:
On reprend l'équation de conservation de la masse :
:
On remplace :
:
Finalement :
:
L'équation de conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
:
On obtient en étendant la dérivée :
:
On est en conditions stationnaires . Donc :
:
On développe :
:
On rappelle que w0 est nul. Donc,
:
On rappelle que et p0 ne dépendent que de z. Donc,
:
On linéarise et on supprime les termes de second ordre. Donc,
:
On remplace les dérivées partielles en z :
:
On multiplie par ρ :
:
On projette suivant :
:
On linéarise à nouveau :
:
On peut éliminer u' :
On projette suivant :
:
On note que :
:
Donc,
:
On linéarise à nouveau :
:
On rappelle que :
:
et aussi
On élimine p en différenciant ces deux équations :
:
On néglige les phénomènes de compressibilité et l'on considère que .
:
On développe un peu plus :
:
On utilise la loi des gaz parfaits :
:
Donc,
:
Donc,
:
On rappelle que et le fluide est supposé être incompressible :
:
On obtient donc finalement :
:
On considère la deuxième équation :
:
Sachant que ρ0 et u0 ne dépendent que de z :
:
On rappelle que :
:
Donc,
:
On écrit que :
:
Donc,
:
Finalement, l'on obtient la formule de Scorer :
:
On définit le paramètre de Scorer par :
:
Finalement l'équation de Scorer s'écrit :
:
Cette équation est linéaire en w' = w et peut être résolue analytiquement dans de nombreux cas. (fr)
- Le second terme de l'intégrale est dominant. On a donc :
:
On a . Donc,
:
On remplace et donc :
:
Finalement,
:
Donc en prenant la partie réelle, l'on obtient :
:
On a :
:
On rappelle que :
:
Donc,
On note que u peut devenir négatif et l'on peut même avoir u + u < 0. Si cela se produit, on n'est plus dans cas linéaire et l'hypothèse n'est plus valide.
De même, l'on a :
:
Donc,
:
On remarque que :
:
Donc,
: (fr)
- La condition aux limites s'écrit donc :
:
On effectue un développement limité :
:
On utilise l'équation de continuité :
:
On note que u_0 ne dépend que de z :
:
En substituant, on obtient donc :
:
La quantité est une quantité du second ordre. On obtient alors :
:
On obtient donc la condition aux limites suivante :
:
On définit :
Ainsi,
: (fr)
- On définit . On peut donc écrire :
:.
L'équation de Scorer devient alors :
:
Les fonctions cosinus et sinus sont linéairement indépendantes. On obtient donc les équations différentielles suivantes :
:
:
La forme de la solution dépend des valeurs de k et .
Si la stabilité de l'atmosphère est neutre, on a en première approximation . (fr)
- On considère le cas où . On rappelle que :
:
On se restreint dans le cas où x est grand. Comme le terme oscille rapidement, la seconde intégrale est nulle. On a donc à nouveau :
:
On définit la phase :
:
Cette intégrale est presque nulle sauf si la dérivée de la phase est nulle.
:
On note que :
:
On résout donc :
:
Les solutions sont donc :
:
Une seule solution est physique et l'on a :
:
On effectue un développement limité et l'on a:
:
On définit ξc tel que :
:
Après quelques calculs, l'on obtient :
: (fr)
- On corrige légèrement le paramètre de Scorer où
:
avec
L'équation de Long est réécrite comme suit :
:
On suppose que la vitesse du vent augmente avec l'altitude. On écrit:
:
On obtient alors :
:
On définit (fr)
- Comme il a été dit plus haut, ce cas est assez courant. On a alors:
:
Le second terme de la somme est non physique et donc est éliminé. Il en est de même pour b. On a donc :
:
On a donc :
:
On applique la condition aux limites discutée ci-dessus.
On a donc à z = 0
:
Donc,
:
Les fonctions sinus et cosinus sont linéairement indépendantes.
Le seul terme non nul est α1. Donc,
: (fr)
- On pose
Donc,
:
Donc,
:
On pose :
:
On résout donc :
:
Donc,
:
À nouveau, on pose
On rappelle que :
:
On résout donc :
:
On multiplie par et donc :
:
Donc,
:
On définit
Donc,
:
On pose
On obtient donc :
:
Donc,
:
Donc,
:
Ceci est une équation de Bessel modifiée. Comme la solution y est finie à l'infini, la solution est :
:
où est la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce.
Donc,
:
Donc,
:
On fait z = 0. On obtient alors :
On suppose que la montagne est une sorcière d'Agnesi. Donc,
:
Sa transformée de Fourier est donc :
:
La condition aux limites s'écrit et donc :
:
Donc, sa transformée de Fourier devient :
:
On obtient donc :
:
Donc,
:
On effectue une transformée de Fourier inverse :
:
On suppose que β est petit et l'on utilise le théorème des résidus. Soient chacun des pôles de .
On a alors :
:
La vitesse verticale s'exprime donc comme suit :
: (fr)
- L'équation différentielle s'écrit :
:
On considère .
La solution est alors :
:
Le premier terme est non physique et donc, l'on a:
:
On considère .
La solution est alors :
:
La condition aux limites s'exprime par :
:
Exprimée dans l'espace de Fourier, cette condition aux limites s'exprime comme suit :
:
On rappelle que :
:
On obtient donc dans le cas
:
Donc,
:
Dans le cas
On a :
:
On a donc
:
Donc,
:
On élimine le deuxième terme car non physique. Donc,
:
On rappelle que
:.
Donc,
:
On obtient donc :
: pour
: pour
On effectue la transformation de Fourier inverse et l'on obtient donc :
:
Donc en développant, on obtient :
: (fr)
- On écrit :
:
On rappelle que :
:
:
On a alors :
:
De même,
:
Dans ce cas, on a :
:
On exprime les conditions aux limites au niveau du sol et l'on a donc :
:
On obtient donc pour :
:
On peut maintenant reformuler la vitesse verticale en utilisant les formules trigonométriques :
:
On considère maintenant la condition limite en z = 0. On a donc :
:
Donc,
:
On obtient donc et .
À cause de la friction, les ondes penchent en amont du flot.
Finalement :
: (fr)
- La transformée de Fourier de la courbe de Gauß est la suivante :
:
On rappelle que :
:
soit
:
On constate que le terme sous l'intégrale est la transformée de Fourier d'une courbe gaussienne. En application du résultat précédent, on a :
:
Donc,
:
Dans ce cas, aucune onde de ressaut n'est formée. Cette formule approchée permet aussi d'évaluer l'ascendance au-dessus d'une pente. On remarque que l'effet ascensionnel s'atténue avec la hauteur au-dessus de la colline. Cette formule approchée pourra être utilisée pour estimer la vitesse ascensionnelle lors d'un vol de pente. (fr)
- Donc,
:
On définit le nombre de Richardson comme :
:
On résout donc :
:
On définit
:
On a :
:
Donc,
:
On résout donc :
:
On multiplie par . Donc,
:
Donc,
:
On a :
:
On obtient donc :
:
L'équation devient donc :
:
On définit l'opérateur linéaire :
:
On résout donc :
!
qu'on peut donc factoriser en :
On obtient donc les équations linéaires :
:
Cela consiste donc à résoudre :
:
Donc,
:
et
:
La solution s'écrit donc sous la forme :
:
La solution est donc :
:
Après quelques calculs, l'on obtient :
:
On rappelle que
Donc,
: (fr)
- Une formulation plus complexe est donnée dans les références .
On définit les quantités non dimensionnelles suivantes :
* où L est une longueur de référence comme par exemple la demi largeur de la montagne.
* où N0 est la fréquence de Brunt-Väisälä caractéristique, est la vitesse uniforme le long de la ligne de courant.
*
*
* où est la masse volumique charactéristique.
* où g est l'accélération de la gravité.
On définit :
:
Il existe une fonction ψ sans dimension telle que
L'équation non linéaire concernant ψ est la suivante :
:
On a typiquement , et g = 10. Donc, . On peut donc supposer que et l'on peut donc ignorer les termes non linéaires. La largeur caractéristique d'une montagne de 1000 mètres de haut est de l'ordre de 5000 mètres. On obtient alors et il peut être inapproprié de négliger ce terme. (fr)
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