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- Srinivasa Ramanujan (en tamoul : சீனிவாச இராமானுஜன் ; ), né le 22 décembre 1887 à Erode et mort le 26 avril 1920 à Kumbakonam, est un mathématicien indien. Issu d'une famille modeste de brahmanes orthodoxes, il est autodidacte, faisant toujours preuve d'une pensée indépendante et originale. Il apprend seul les mathématiques à partir de deux livres qu'il s'est procurés avant l'âge de seize ans, ouvrages qui lui permettent d'établir une grande quantité de résultats sur la théorie des nombres, sur les fractions continues et sur les séries divergentes, tandis qu'il se crée son propre système de notations. Jugeant son entourage académique dépassé, il publie plusieurs articles dans des journaux mathématiques indiens et tente d'intéresser les mathématiciens européens à son travail par des lettres qu'il leur envoie. Une de ces lettres, envoyée en janvier 1913 à Godfrey Harold Hardy, contient une longue liste de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy considère tout d'abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis en discute longuement avec John Littlewood pour aboutir à la conviction que son auteur est certainement un « génie », un qualificatif souvent repris de nos jours. Hardy répond en invitant Ramanujan à venir en Angleterre ; une collaboration fructueuse, en compagnie de Littlewood, en résulte. Affecté toute sa vie par des problèmes de santé, Ramanujan voit son état empirer lors de son séjour en Angleterre ; il retourne en Inde en 1919 où il meurt peu de temps après à Kumbakonam à l'âge de trente-deux ans. Il laisse derrière lui des cahiers entiers de résultats non démontrés (appelés les cahiers de Ramanujan) qui, en ce début de XXIe siècle, continuent à être étudiés. Ramanujan a travaillé principalement sur les fonctions elliptiques et sur la théorie analytique des nombres ; il est devenu célèbre pour ses résultats calculatoires impliquant des constantes telles que π et e, les nombres premiers ou encore la fonction partition d'un entier, qu'il a étudiée avec Hardy. Grand créateur de formules mathématiques, il en a inventé plusieurs milliers qui se sont pratiquement toutes révélées exactes, mais dont certaines ne purent être démontrées qu'après 1980 ; à propos de certaines d'entre elles, Hardy, stupéfié par leur originalité, a déclaré qu’« un seul coup d'œil suffisait à se rendre compte qu'elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang. Elles devaient être vraies, car si elles avaient été fausses, personne n'aurait eu assez d'imagination pour les inventer ». (fr)
- Srinivasa Ramanujan (en tamoul : சீனிவாச இராமானுஜன் ; ), né le 22 décembre 1887 à Erode et mort le 26 avril 1920 à Kumbakonam, est un mathématicien indien. Issu d'une famille modeste de brahmanes orthodoxes, il est autodidacte, faisant toujours preuve d'une pensée indépendante et originale. Il apprend seul les mathématiques à partir de deux livres qu'il s'est procurés avant l'âge de seize ans, ouvrages qui lui permettent d'établir une grande quantité de résultats sur la théorie des nombres, sur les fractions continues et sur les séries divergentes, tandis qu'il se crée son propre système de notations. Jugeant son entourage académique dépassé, il publie plusieurs articles dans des journaux mathématiques indiens et tente d'intéresser les mathématiciens européens à son travail par des lettres qu'il leur envoie. Une de ces lettres, envoyée en janvier 1913 à Godfrey Harold Hardy, contient une longue liste de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy considère tout d'abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis en discute longuement avec John Littlewood pour aboutir à la conviction que son auteur est certainement un « génie », un qualificatif souvent repris de nos jours. Hardy répond en invitant Ramanujan à venir en Angleterre ; une collaboration fructueuse, en compagnie de Littlewood, en résulte. Affecté toute sa vie par des problèmes de santé, Ramanujan voit son état empirer lors de son séjour en Angleterre ; il retourne en Inde en 1919 où il meurt peu de temps après à Kumbakonam à l'âge de trente-deux ans. Il laisse derrière lui des cahiers entiers de résultats non démontrés (appelés les cahiers de Ramanujan) qui, en ce début de XXIe siècle, continuent à être étudiés. Ramanujan a travaillé principalement sur les fonctions elliptiques et sur la théorie analytique des nombres ; il est devenu célèbre pour ses résultats calculatoires impliquant des constantes telles que π et e, les nombres premiers ou encore la fonction partition d'un entier, qu'il a étudiée avec Hardy. Grand créateur de formules mathématiques, il en a inventé plusieurs milliers qui se sont pratiquement toutes révélées exactes, mais dont certaines ne purent être démontrées qu'après 1980 ; à propos de certaines d'entre elles, Hardy, stupéfié par leur originalité, a déclaré qu’« un seul coup d'œil suffisait à se rendre compte qu'elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang. Elles devaient être vraies, car si elles avaient été fausses, personne n'aurait eu assez d'imagination pour les inventer ». (fr)
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- 7.8894E8
- 1.735668E9
- --11-28
- Parfois mentionnés comme les en raison de leur état d'usure. (fr)
- Cette photographie, la meilleure parmi les rares que l'on possède de Ramanujan, provenant de son passeport, a été transmise à Hardy pour ce livre par sa veuve, Janaki Ammal, comme Chandrasekhar le raconte dans ce livre de souvenirs. (fr)
- Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est 635318657 ; il a été découvert par Leonhard Euler vers 1770, mais ce n'est qu'en 1957 que John Leech démontra que c'était le plus petit. (fr)
- C'est à la suite de cette anecdote qu'on a défini un nombre taxicab comme un entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes . (fr)
- Bruce Carl Berndt tenait cette information de Paul Erdős. (fr)
- L'importance de ces résultats ne sera pleinement reconnue qu'après la redécouverte du « cahier perdu » en 1976. (fr)
- , et achevé pour l'essentiel en 1996, est en grande partie dû à Bruce Carl Berndt, avec la collaboration de plusieurs autres mathématiciens, dont George Andrews et les frères Jonathan et Peter Borwein ; beaucoup de vérifications de routine ont pu être confiées à Mathematica, mais Berndt attire à plusieurs reprises l'attention sur l'extraordinaire puissance de calcul de Ramanujan, lui ayant permis de découvrir et de contrôler ces résultats sans aide. (fr)
- Whittaker expliquera par la suite que des papiers disparates couvraient le sol d'une vaste pièce sur une épaisseur de , et qu'il avait eu de tomber sur quelque chose d'intéressant. (fr)
- C'est un cas particulier de la fraction continue de Rogers-Ramanujan , dont il a obtenu beaucoup de valeurs non triviales, liées aux identités qu'il avait découvertes. (fr)
- Andrews explique alors que Whittaker et Rankin, dont les intérêts mathématiques ne vont pas dans la direction des résultats de ces documents , ne se sont pas rendu compte de leur importance, pensant qu'il s'agit de notes éparses de Ramanujan et non d'un ensemble cohérent couvrant ses dernières recherches. (fr)
- Son nom complet, Srinivasa Ramanujan , est en fait composé avec le nom de son père Srinivasa, auquel on ajoute parfois son nom de caste brahmane Aiyangar ; il signe le plus souvent S. Ramanujan, et expliquait à ses amis anglais . (fr)
- Ce livre même, qui était encore exposé dans cette bibliothèque lorsque Berndt l'avait visitée, a été volé depuis, comme le raconte Ken Ono, qui espérait y trouver des notes marginales de Ramanujan. (fr)
- Une copie de ce taxi a été réalisée pour les besoins du film L'Homme qui défiait l'infini. (fr)
- Le Tamil Nadu est l'État où résidait Ramanujan. (fr)
- L'écriture de Ramanujan est généralement lisible, mais il a développé un système de notations personnelles, utilisant par exemple des lettres inhabituelles pour certaines constantes et variables, qui ne permettent pas toujours de se rendre compte de l'importance des résultats obtenus. (fr)
- Elle avait demandé à Ramanujan de l'accompagner, mais il avait refusé , lui expliquant qu'il ne pourrait pas se concentrer sur ses mathématiques, tant elle était jeune et jolie. (fr)
- Contrairement à ce que pourrait laisser croire son titre, ce livre contient beaucoup d'autres formules d'analyse, par exemple sur les fonctions logarithmes et exponentielles. (fr)
- De fait, ce nombre est lui aussi presque entier : = 262537412640768743,99999999999925… Cependant, sans moyens informatiques, et sans utiliser les résultats théoriques liés à ces nombres , il est impossible d'obtenir une valeur approchée assez précise pour trancher la question. Le théorème de Gelfond-Schneider montre de toute façon que ce nombre, égal à , est nécessairement transcendant. (fr)
- Iyer est le nom de caste brahmane, ce qui explique sa présence fréquente comme nom propre dans certaines sources, et les confusions qui en résultent. (fr)
- pouvaient légitimement être nommés ainsi. (fr)
- Cette appellation, due à Andrews, a été contestée, Rankin expliquant par exemple que ce n'était pas un cahier, et que, bien classé dans la bibliothèque Wren de Cambridge, il n'était pas perdu ; Andrews faisait cependant remarquer que des documents dont on avait ignoré l'existence durant (fr)
- Il a en particulier découvert dans la dernière année de sa vie des fonctions analogues, les « fausses fonctions thêta » ; il a consigné dans le « cahier perdu » des formules et des conjectures à leur sujet dont l'importance n'a été vraiment reconnue qu'après la redécouverte de ce cahier en 1976, et qui n'étaient pas encore pleinement comprises au début du . (fr)
- Hardy, repris par de nombreux commentateurs, parle de , mais en réalité, Berndt ne recense dans ce livre qu'un peu plus de . (fr)
- Le nombre exact n'est pas tout à fait clair, d'une part à cause de répétitions, d'autre part parce que certaines « formules » regroupent plusieurs résultats similaires. (fr)
- Il souffre d'un hydrocèle qui sera finalement opéré gratuitement en 1910 ; l'opération le laisse affaibli et anxieux. (fr)
- Ce timbre illustre la couverture du livre de Berndt et Rankin, Ramanujan : Letters and Commentary. (fr)
- On trouvera d'autres exemples avec les identités de Rogers-Ramanujan, l'estimation asymptotique de la fonction de partition, ou encore la conjecture de Ramanujan. (fr)
- Il utilise par exemple des lettres non conventionnelles pour certaines variables et fonctions. (fr)
- Consignés pour l'essentiel dans le « cahier perdu », il s'agit de résultats concernant les fonctions thêta et des fonctions analogues qu'il a construites, les « fausses fonctions thêta » ; certains de ces résultats n'ont été confirmés qu'en 2012 par des calculs informatiques, mais on n'en possède encore que des justifications théoriques partielles. (fr)
- Arrêté par des agents de Scotland Yard, sain et sauf , il est libéré grâce à l'intervention de Hardy. (fr)
- Il souffre en permanence de douleurs à l'estomac, et son caractère, jusque là tranquille et optimiste, s'en ressent, mais, alité, il continue ses recherches jusqu'à ses derniers jours. (fr)
- Selon Hardy, il avait reçu la lettre au courrier du matin, y avait jeté un bref coup d'œil, estimé qu'il s'agissait d'une plaisanterie, et n'y avait plus pensé. Mais certaines des formules le hantèrent toute la journée ; il prit finalement contact avec Littlewood et ils s'isolèrent dans la soirée dans la bibliothèque de Cambridge, pour en ressortir au bout de deux heures et demi, . (fr)
- On trouvera des versions numérisées de ces photocopies sur ce site consacré aux écrits de Ramanujan . (fr)
- Il affirmait par exemple que Namagiri Thayar, sa déesse tutélaire, lui avait dévoilé certaines formules en rêve. (fr)
- Trois autres enfants naissent en 1889, 1891 et 1894, mais ne vivront que quelques mois. (fr)
- Ce travail de vérification, s'étalant sur plus de (fr)
- Prendre et ; montrer la convergence de ce radical infini n'est pas très difficile, mais obtenir le résultat de Ramanujan demande d'ingénieuses manipulations algébriques . (fr)
- Les témoignages diffèrent sur ce mariage. Arrangé depuis déjà quelque temps, et symbolique jusqu'à la puberté de la jeune fille, il aurait failli être annulé, Ramanujan ne s'étant rendu chez ses beaux-parents que très tardivement. Cependant, une fois marié, il prit ses responsabilités de chef de famille très au sérieux, et après sa mort, sa veuve devait déployer une énergie sans faille pour que ses travaux et sa mémoire soient préservés. (fr)
- Les premières notes de ses carnets, écrites alors qu'il était encore écolier, décrivent ses recherches sur les carrés magiques, et mentionnent en particulier sa construction d'un étonnant carré diabolique dont la première ligne, 22 12 18 87, représente sa date de naissance. (fr)
- Berndt considère la découverte du « cahier perdu » comme essentielle dans le renouveau d'attention pour Ramanujan au début des années 1980 ; Emma Lehmer a ainsi déclaré que sa découverte . (fr)
- Berndt fait remarquer qu'il n'est pas très difficile de démontrer ces formules , mais que leur forme relativement simple pour ce choix précis de coefficients et de signes montre, sinon l'existence de théories profondes sous-jacentes, du moins la virtuosité de Ramanujan. (fr)
- Hardy fait cependant remarquer que ces formules ne produisent pas toutes les solutions de ce problème, et semble les trouver plus anecdotiques que profondes. (fr)
- Une analyse plus nuancée de cette décision est donnée par Kanigel : Ramanujan aurait prétendu par la suite que son refus ne venait pas de lui, mais de son ami Narayana, cependant cette déclaration pourrait n'avoir été qu'un moyen de sauver la face. (fr)
- Bien que ce ne soit peut-être qu'une coïncidence, plusieurs mathématiciens ont fait remarquer que le nombre 1729 intervenait dans l'étude que Ramanujan avait fait de courbes elliptiques en relation avec une certaine surface K3. (fr)
- Pour un brahmane orthodoxe, traverser l'océan était à cette époque un tabou connu sous le nom de Kala pani. (fr)
- En 2003, Bruce Carl Berndt a retracé les vicissitudes de ces trois cahiers. Le premier était resté en Angleterre en 1919 ; après la mort de Ramanujan, Hardy l'envoya à l'université de Madras, qui lui en fournit une copie manuscrite, suivie de l'envoi des deux autres cahiers, ainsi que de notes éparses constituant le « cahier perdu », entre 1923 et 1925. À une date indéterminée après 1935, les cahiers furent retournés à Madras par George Neville Watson, qui avait commencé à les exploiter, mais s'en était désintéressé. (fr)
- Lors d'une interview, en 1978, Janaki a déclaré : C'est en lisant cette interview que Richard Askey décide de faire réaliser ces bustes. (fr)
- Robert Kanigel a ainsi donné à la biographie qu'il a écrite le titre [« L'homme qui connaissait l'infini : une vie du génie Ramanujan »]. (fr)
- Certaines déclarations de Ramanujan, attribuant par exemple ces formules à Namagiri Thayar, sa déesse tutélaire, ont contribué à entretenir le mystère. Si Hardy a insisté pour qu'on ne voie là qu'une , Ken Ono mentionne sa perplexité devant certaines prédictions de Ramanujan, confirmées récemment par de pénibles calculs informatiques, et qui lui paraissent inaccessibles avec les outils dont Ramanujan disposait. (fr)
- Bien que certaines des critiques de Hill soient judicieuses, Ramanujan devait se plaindre dans sa deuxième lettre à Hardy que Hill ait cru bon de lui conseiller un livre d'analyse élémentaire pour lui , comme si Ramanujan n'était pas capable de se rendre compte tout seul qu'écrire que n'avait aucun sens dans le langage usuel des sommes de séries ; on trouvera plus de détails dans l'article Somme de Ramanujan. (fr)
- Hardy remarquera par la suite que ces erreurs proviennent du manque de maîtrise par Ramanujan des techniques modernes de l'analyse, mais, ajoutera-t-il, ces échecs sont en un sens plus spectaculaires encore que ses réussites ; il reviendra sur cette remarque dans ses conférences à partir de 1937, observant que ces erreurs apparentes cachent souvent des résultats exacts plus profonds, qu'il faut découvrir. (fr)
- Il s'agit du discriminant du corps quadratique réel , c'est-à-dire du discriminant de la forme quadratique ; on trouvera une étude plus approfondie de cette notion et de ses applications dans le livre de Gérald Tenenbaum : Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres. (fr)
- Il explique en 1927 que les plus grands échecs de Ramanujan ont eu lieu en théorie analytique des nombres, là où . (fr)
- Ses convictions religieuses sont heurtées par les dissections de grenouilles auxquelles on l'oblige. (fr)
- Ramanujan semblait s'y attribuer des théorèmes bien connus ; de plus, l'un des résultats qu'il énonçait sur les nombres premiers était certainement faux. Hardy devait déclarer par la suite qu'il comprenait la réaction de ses collègues, lesquels avaient certainement dû penser qu'il s'agissait d'un « illuminé » comme on en voyait si souvent. (fr)
- Bien qu’il ait contribué par exemple au développement de la méthode du cercle, son intuition l’a ainsi trompé dans l’étude de la répartition des nombres premiers : (fr)
- Il obtient en particulier des formules analogues aux formules d'Euler, mais, mortifié d'apprendre qu'elles sont déjà connues, cache sous le toit de sa maison les papiers où il les a notées. (fr)
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