| dbo:abstract
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- Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un point de l'espace-temps de Minkowski à quatre dimensions.En relativité restreinte, elles correspondent aux lois de changement de référentiel galiléen pour lesquelles les équations de la physique sont préservées, et pour lesquelles la vitesse de la lumière demeure identique dans tous les référentiels galiléens. Elles sont parfois considérées comme l'équivalent relativiste des transformations de Galilée de la mécanique classique. La forme la plus courante est : Où (t, x, y, z) et (t′, x′, y′, z′) représentent les coordonnées d'un événement dans deux référentiels inertiels dont la vitesse relative est parallèle à l'axe des , est la vitesse de la lumière, et le facteur de Lorentz est . Le terme « transformations de Lorentz » peut faire référence aux changements de coordonnées présentés ci-dessus, parfois nommés transformations de Lorentz spéciales ou boost de Lorentz, ou bien à un ensemble plus vaste nommé groupe de Lorentz. Ce groupe est constitué de l'ensemble des transformations linéaires compatibles avec les postulats de la relativité restreinte, c'est-à-dire celles qui laissent invariant la pseudo-norme de l'espace de Minkowski. Le groupe de Lorentz inclut non seulement les boosts de Lorentz pour toute direction arbitraire de l'espace, mais également les pivotements du repère d'espace, nommés rotations statiques de l'espace. Dans le cadre des théories quantiques relativistes et de la description des particules élémentaires, les transformations qui renversent le sens du temps et l'orientation du repère d'espace sont également admises, bien qu'elles puissent sembler dénuées de sens en relativité restreinte.Le groupe de Lorentz est lui-même un sous-groupe du groupe de Poincaré qui étend la définition précédente aux transformations affines, sans se limiter aux transformations linéaires. Le groupe de Poincaré permet ainsi de représenter l'ensemble des changements de repère autorisés en relativité restreinte, y compris ceux impliquant un décalage de l'origine du repère d'espace-temps. Dans l'introduction à la publication « Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la physique mathématique », Acta Matematica, vol. 38, p. 293-308, en 1921, Hendrik Lorentz précise que c'est pour faire en sorte que les équations de Maxwell s'écrivent à l'identique dans tout référentiel galiléen que Henri Poincaré a introduit mathématiquement cette loi, en la baptisant du nom de Lorentz. Ce dernier en avait donné une version qu'il a, plus tard, jugée imparfaite. (fr)
- Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un point de l'espace-temps de Minkowski à quatre dimensions.En relativité restreinte, elles correspondent aux lois de changement de référentiel galiléen pour lesquelles les équations de la physique sont préservées, et pour lesquelles la vitesse de la lumière demeure identique dans tous les référentiels galiléens. Elles sont parfois considérées comme l'équivalent relativiste des transformations de Galilée de la mécanique classique. La forme la plus courante est : Où (t, x, y, z) et (t′, x′, y′, z′) représentent les coordonnées d'un événement dans deux référentiels inertiels dont la vitesse relative est parallèle à l'axe des , est la vitesse de la lumière, et le facteur de Lorentz est . Le terme « transformations de Lorentz » peut faire référence aux changements de coordonnées présentés ci-dessus, parfois nommés transformations de Lorentz spéciales ou boost de Lorentz, ou bien à un ensemble plus vaste nommé groupe de Lorentz. Ce groupe est constitué de l'ensemble des transformations linéaires compatibles avec les postulats de la relativité restreinte, c'est-à-dire celles qui laissent invariant la pseudo-norme de l'espace de Minkowski. Le groupe de Lorentz inclut non seulement les boosts de Lorentz pour toute direction arbitraire de l'espace, mais également les pivotements du repère d'espace, nommés rotations statiques de l'espace. Dans le cadre des théories quantiques relativistes et de la description des particules élémentaires, les transformations qui renversent le sens du temps et l'orientation du repère d'espace sont également admises, bien qu'elles puissent sembler dénuées de sens en relativité restreinte.Le groupe de Lorentz est lui-même un sous-groupe du groupe de Poincaré qui étend la définition précédente aux transformations affines, sans se limiter aux transformations linéaires. Le groupe de Poincaré permet ainsi de représenter l'ensemble des changements de repère autorisés en relativité restreinte, y compris ceux impliquant un décalage de l'origine du repère d'espace-temps. Dans l'introduction à la publication « Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la physique mathématique », Acta Matematica, vol. 38, p. 293-308, en 1921, Hendrik Lorentz précise que c'est pour faire en sorte que les équations de Maxwell s'écrivent à l'identique dans tout référentiel galiléen que Henri Poincaré a introduit mathématiquement cette loi, en la baptisant du nom de Lorentz. Ce dernier en avait donné une version qu'il a, plus tard, jugée imparfaite. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- Dans ce paragraphe, les coordonnées sont celles du référentiel inertiel et sont celles du référentiel inertiel , ces deux référentiels ayant les mêmes origines spatiales et temporelles.
Dans l'espace-temps de Minkowski, la pseudo-norme est définie par le carré de l'intervalle d'espace-temps :
Les transformations de Lorentz sont les applications linéaires sur les quadri-coordonnées qui laissent invariante la pseudo-norme :
;Cas où la transformation ne concerne que les coordonnées spatiales
Dans ce cas, l'invariance de la pseudo-norme implique , c'est-à-dire que la transformation conserve la norme spatiale : la matrice 3x3 associée est une matrice orthogonale.
*Si son déterminant est positif, il s'agit d'une rotation dans l'espace et elle conserve donc l'orientation de l'espace. La transformation de l'espace-temps laisse le temps inchangé et agit comme une rotation d'un angle constant sur les vecteurs de l'espace, elle est considérée comme physiquement réaliste.
*Si son déterminant est négatif intervient en plus une symétrie planaire qui inverse l'orientation de l'espace. La transformation, laissant le temps inchangé mais inversant l'orientation spatiale, n'est pas considérée comme physiquement réaliste, mais peut être utilisée pour explorer les propriétés mathématiques des équations.
;Cas où la transformation concerne aussi la coordonnée temporelle
Pour plus de légèreté dans les notations, on remplace par , par , etc.
*La linéarité d'une telle transformation permet d'écrire :
:
:où est un réel constant, est une matrice 3x3 à coefficients constants, et sont deux vecteurs constants de l'espace, avec le transposé de , et le produit scalaire des vecteurs et .
:Par une transformation de Lorentz ne touchant que les coordonnées spatiales, on peut faire en sorte que les vecteurs et soient colinéaires : on a donc et où est un vecteur unitaire constant lui aussi, et et deux réels constants .
:On peut donc écrire
:
* La pseudo-norme étant une forme quadratique, son invariance par une transformation est équivalente à l'invariance de la forme bilinéaire associée :
:Or on a , donc , soit
:Cette égalité étant vraie pour tout et tout vecteur de l'espace , on a . Si , alors la matrice n'est pas inversible et la transformation de Lorentz associée n'est pas un changement de base de l'espace à quatre dimensions : ce qui ne correspond pas aux hypothèses. Si , alors ou et un court travail montre que l'on retombe alors dans le cas où la transformation ne concerne que les vecteurs de l'espace.
:Donc , , , et , avec .
*On pose et , on a , avec et .
*L'invariance par la transformation de Lorentz signifie que . En développant et en utilisant , avec , on obtient .
:Cette égalité étant vraie pour tout et tout vecteur de l'espace , on a :
:
:En exploitant le cas particulier , on obtient .
:En exploitant le cas particulier , on obtient , et l'endomorphisme de matrice est une isométrie de l'espace de dimension 2 des vecteurs perpendiculaires à dans lui-même.
:Donc, en posant = restriction de au plan des vecteurs perpendiculaires à , et , on a :
:
:Avec
:En utilisant à nouveau une transformation de Lorentz ne concernant que les coordonnées spatiales, et même plus précisément le sous-espace des vecteurs perpendiculaires à , on peut se ramener au cas , et on a alors :
:
:Avec
*En choisissant la direction du vecteur comme axe des , en utilisant les fonctions hyperboliques, et avec permettant de discuter de la conservation ou non des orientations du temps et de l'espace, on obtient :
: (fr)
- thumb|right|Représentation habituelle de deux référentiels inertiels
Soient deux référentiels et en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse relative v selon l'axe Ox. Soient les coordonnées spatio-temporelles d'un événement dans le référentiel , et
ses coordonnées dans le référentiel . .
* Utilisation du principe de relativité :
:Par le principe de relativité, les coefficients de la transformation linéaire ne dépendent que de la vitesse relative entre les référentiels, et d'aucune considération extérieure à ces deux référentiels. Pour plus de précision, on devrait dire des vitesses relatives des référentiels, le sujet est abordé un peu plus loin.
* Première utilisation de la vitesse de la lumière :
:Si dans le référentiel on considère le déplacement d'un signal lumineux dans le sens des x positifs, donc à la vitesse de la lumière, alors . Mais comme cette vitesse est la même dans le référentiel , en considérant le déplacement de ce même signal vu depuis ce référentiel, comme l'axe des x' a la même orientation que celui des x, et de même pour les axes temporels, on doit avoir . De même, en commençant par considérer le signal depuis .
:Donc :
:Et comme x, t, x', t' sont liés par des relations linéaires à coefficients constants, on doit avoir et , d'où , or comme , on en déduit , d'où pour un certain constant.
* Deuxième utilisation de la vitesse de la lumière :
:En considérant le déplacement d'un signal lumineux dans le sens des x négatifs, et en faisant le même raisonnement, on obtient : pour un certain constant.
* Conclusion sur la vitesse de la lumière :
:En additionnant et soustrayant les deux égalités précédentes, on obtient :
:
:avec : et .
* Première utilisation de la vitesse relative des référentiels :
:Pour l'origine du référentiel , on a et donc, d'après la première équation du système , on a :
:
:En désignant par la vitesse du référentiel par rapport au référentiel , on peut donc écrire
:, ou , avec
:On peut donc écrire :
:
* Deuxième utilisation de la vitesse relative des référentiels :
:Pour l'origine du référentiel , on a et donc, d'après les équations du système , on a :
:
:En désignant par la vitesse du référentiel par rapport au référentiel , on peut donc écrire
:.
* Utilisation des hypothèses sur l'espace :
:Quand , on a . Le coefficient permet donc de convertir la mesure d'une longueur faite dans le référentiel , en la mesure faite dans . Ce coefficient peut dépendre de la vitesse relative entre les référentiels, mais pas de sa direction ni de son sens par l'hypothèse de l'isotropie de l'espace. De plus, comme expliqué en début de paragraphe, est indépendant des coordonnées x, t, x', t'.
:Donc dépend de la norme de la vitesse , c'est-à-dire de .
* Utilisation du principe de relativité :
:En inversant les rôles des référentiels et , et ayant justifié que , et que ne dépend pas de la direction ni du sens de , donc , et on peut écrire :
:
:En utilisant les deux équations du système dans la première équation du système , on obtient soit :
:
:Le signe + est choisi, sinon il y a changement dans l'orientation entre l'axe des x et l'axe des x', ce qui n'est pas le cas par hypothèse.
* Conclusion :
:Les transformations de Lorentz s'écrivent :
:
:Ce que l'on écrit souvent :
:
:Avec et . (fr)
- Dans ce paragraphe, les coordonnées sont celles du référentiel inertiel et sont celles du référentiel inertiel , ces deux référentiels ayant les mêmes origines spatiales et temporelles.
Dans l'espace-temps de Minkowski, la pseudo-norme est définie par le carré de l'intervalle d'espace-temps :
Les transformations de Lorentz sont les applications linéaires sur les quadri-coordonnées qui laissent invariante la pseudo-norme :
;Cas où la transformation ne concerne que les coordonnées spatiales
Dans ce cas, l'invariance de la pseudo-norme implique , c'est-à-dire que la transformation conserve la norme spatiale : la matrice 3x3 associée est une matrice orthogonale.
*Si son déterminant est positif, il s'agit d'une rotation dans l'espace et elle conserve donc l'orientation de l'espace. La transformation de l'espace-temps laisse le temps inchangé et agit comme une rotation d'un angle constant sur les vecteurs de l'espace, elle est considérée comme physiquement réaliste.
*Si son déterminant est négatif intervient en plus une symétrie planaire qui inverse l'orientation de l'espace. La transformation, laissant le temps inchangé mais inversant l'orientation spatiale, n'est pas considérée comme physiquement réaliste, mais peut être utilisée pour explorer les propriétés mathématiques des équations.
;Cas où la transformation concerne aussi la coordonnée temporelle
Pour plus de légèreté dans les notations, on remplace par , par , etc.
*La linéarité d'une telle transformation permet d'écrire :
:
:où est un réel constant, est une matrice 3x3 à coefficients constants, et sont deux vecteurs constants de l'espace, avec le transposé de , et le produit scalaire des vecteurs et .
:Par une transformation de Lorentz ne touchant que les coordonnées spatiales, on peut faire en sorte que les vecteurs et soient colinéaires : on a donc et où est un vecteur unitaire constant lui aussi, et et deux réels constants .
:On peut donc écrire
:
* La pseudo-norme étant une forme quadratique, son invariance par une transformation est équivalente à l'invariance de la forme bilinéaire associée :
:Or on a , donc , soit
:Cette égalité étant vraie pour tout et tout vecteur de l'espace , on a . Si , alors la matrice n'est pas inversible et la transformation de Lorentz associée n'est pas un changement de base de l'espace à quatre dimensions : ce qui ne correspond pas aux hypothèses. Si , alors ou et un court travail montre que l'on retombe alors dans le cas où la transformation ne concerne que les vecteurs de l'espace.
:Donc , , , et , avec .
*On pose et , on a , avec et .
*L'invariance par la transformation de Lorentz signifie que . En développant et en utilisant , avec , on obtient .
:Cette égalité étant vraie pour tout et tout vecteur de l'espace , on a :
:
:En exploitant le cas particulier , on obtient .
:En exploitant le cas particulier , on obtient , et l'endomorphisme de matrice est une isométrie de l'espace de dimension 2 des vecteurs perpendiculaires à dans lui-même.
:Donc, en posant = restriction de au plan des vecteurs perpendiculaires à , et , on a :
:
:Avec
:En utilisant à nouveau une transformation de Lorentz ne concernant que les coordonnées spatiales, et même plus précisément le sous-espace des vecteurs perpendiculaires à , on peut se ramener au cas , et on a alors :
:
:Avec
*En choisissant la direction du vecteur comme axe des , en utilisant les fonctions hyperboliques, et avec permettant de discuter de la conservation ou non des orientations du temps et de l'espace, on obtient :
: (fr)
- thumb|right|Représentation habituelle de deux référentiels inertiels
Soient deux référentiels et en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse relative v selon l'axe Ox. Soient les coordonnées spatio-temporelles d'un événement dans le référentiel , et
ses coordonnées dans le référentiel . .
* Utilisation du principe de relativité :
:Par le principe de relativité, les coefficients de la transformation linéaire ne dépendent que de la vitesse relative entre les référentiels, et d'aucune considération extérieure à ces deux référentiels. Pour plus de précision, on devrait dire des vitesses relatives des référentiels, le sujet est abordé un peu plus loin.
* Première utilisation de la vitesse de la lumière :
:Si dans le référentiel on considère le déplacement d'un signal lumineux dans le sens des x positifs, donc à la vitesse de la lumière, alors . Mais comme cette vitesse est la même dans le référentiel , en considérant le déplacement de ce même signal vu depuis ce référentiel, comme l'axe des x' a la même orientation que celui des x, et de même pour les axes temporels, on doit avoir . De même, en commençant par considérer le signal depuis .
:Donc :
:Et comme x, t, x', t' sont liés par des relations linéaires à coefficients constants, on doit avoir et , d'où , or comme , on en déduit , d'où pour un certain constant.
* Deuxième utilisation de la vitesse de la lumière :
:En considérant le déplacement d'un signal lumineux dans le sens des x négatifs, et en faisant le même raisonnement, on obtient : pour un certain constant.
* Conclusion sur la vitesse de la lumière :
:En additionnant et soustrayant les deux égalités précédentes, on obtient :
:
:avec : et .
* Première utilisation de la vitesse relative des référentiels :
:Pour l'origine du référentiel , on a et donc, d'après la première équation du système , on a :
:
:En désignant par la vitesse du référentiel par rapport au référentiel , on peut donc écrire
:, ou , avec
:On peut donc écrire :
:
* Deuxième utilisation de la vitesse relative des référentiels :
:Pour l'origine du référentiel , on a et donc, d'après les équations du système , on a :
:
:En désignant par la vitesse du référentiel par rapport au référentiel , on peut donc écrire
:.
* Utilisation des hypothèses sur l'espace :
:Quand , on a . Le coefficient permet donc de convertir la mesure d'une longueur faite dans le référentiel , en la mesure faite dans . Ce coefficient peut dépendre de la vitesse relative entre les référentiels, mais pas de sa direction ni de son sens par l'hypothèse de l'isotropie de l'espace. De plus, comme expliqué en début de paragraphe, est indépendant des coordonnées x, t, x', t'.
:Donc dépend de la norme de la vitesse , c'est-à-dire de .
* Utilisation du principe de relativité :
:En inversant les rôles des référentiels et , et ayant justifié que , et que ne dépend pas de la direction ni du sens de , donc , et on peut écrire :
:
:En utilisant les deux équations du système dans la première équation du système , on obtient soit :
:
:Le signe + est choisi, sinon il y a changement dans l'orientation entre l'axe des x et l'axe des x', ce qui n'est pas le cas par hypothèse.
* Conclusion :
:Les transformations de Lorentz s'écrivent :
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:Ce que l'on écrit souvent :
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:Avec et . (fr)
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