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- Ces deux démonstrations s'appuient sur la propriété de la borne supérieure.
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:Considérons l'ensemble C des réels y éléments de [a, b] tels que le segment [a, y] possède une subdivision marquée δ-fine. L'ensemble C est non vide et majoré . Il admet donc une borne supérieure c. Comme c – δ est strictement inférieur à c, il minore un élément d de C. Le segment [a, d] possède alors une subdivision marquée δ-fine. Si d < c, on joint à cette subdivision l'intervalle [d, c] marqué par c ; si (fr)
- on pourrait rajouter également l'intervalle [c, e] marqué par c, ce qui donnerait une subdivision marquée δ-fine de [a, e], impliquant que e appartient à C et contredisant la maximalité de c.
;Seconde méthode
:Raisonnons par l'absurde en supposant que n'a pas de subdivision marquée -fine , puis par dichotomie. Si les deux segments et en avaient chacun une, en les juxtaposant, on en aurait une pour . Donc l'un au moins des deux n'en a pas. On peut ainsi définir par récurrence deux suites dans , croissante et décroissante, telles que et qu'aucun des segments n'ait de subdivision marquée -fine. Soit la limite commune de ces deux suites adjacentes. En considérant marqué par , avec assez grand pour que , on obtient une contradiction. (fr)
- d = c, (fr)
- e – c ≤ δ, (fr)
- on ne fait rien. Dans les deux cas, on obtient une subdivision marquée δ-fine de [a, c], ce qui prouve que c est élément de C. Il en résulte que c = b : sinon, en choisissant dans [a, b] un élément e > c tel que (fr)
- Ces deux démonstrations s'appuient sur la propriété de la borne supérieure.
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:Considérons l'ensemble C des réels y éléments de [a, b] tels que le segment [a, y] possède une subdivision marquée δ-fine. L'ensemble C est non vide et majoré . Il admet donc une borne supérieure c. Comme c – δ est strictement inférieur à c, il minore un élément d de C. Le segment [a, d] possède alors une subdivision marquée δ-fine. Si d < c, on joint à cette subdivision l'intervalle [d, c] marqué par c ; si (fr)
- on pourrait rajouter également l'intervalle [c, e] marqué par c, ce qui donnerait une subdivision marquée δ-fine de [a, e], impliquant que e appartient à C et contredisant la maximalité de c.
;Seconde méthode
:Raisonnons par l'absurde en supposant que n'a pas de subdivision marquée -fine , puis par dichotomie. Si les deux segments et en avaient chacun une, en les juxtaposant, on en aurait une pour . Donc l'un au moins des deux n'en a pas. On peut ainsi définir par récurrence deux suites dans , croissante et décroissante, telles que et qu'aucun des segments n'ait de subdivision marquée -fine. Soit la limite commune de ces deux suites adjacentes. En considérant marqué par , avec assez grand pour que , on obtient une contradiction. (fr)
- d = c, (fr)
- e – c ≤ δ, (fr)
- on ne fait rien. Dans les deux cas, on obtient une subdivision marquée δ-fine de [a, c], ce qui prouve que c est élément de C. Il en résulte que c = b : sinon, en choisissant dans [a, b] un élément e > c tel que (fr)
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