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- Dans une variété riemannienne, on obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition. Un système de coordonnées étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale : . Le signe optionnel est choisi en fonction du signe de l'intervalle etde la signature du tenseur métrique. Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable , on écrit , où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à .La longueur de la trajectoire est donc égale à l'intégrale : En utilisant la méthode de Lagrange relative au calcul des variations pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique La paramétrisation canonique des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu les symboles de Christoffel : Démonstration Explicitant dans l'équation géodésique précédente : , on a, en notant la dérivée partielle du tenseur métrique par rapport à la k-ème coordonnée : Paramétrons la trajectoire par sa longueur , c’est-à-dire posons .Avec ce choix, on a et l'équation géodésique devient Comme le tenseur métrique dépend de mais pas explicitement de , on a et l'équation géodésique prend la forme ou encore, en utilisant le fait que les indices i et j jouent des rôles symétriques, et donc que : Or la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique permet d'affirmer que : donc, en utilisant la symétrie du tenseur métrique et des symboles de Christoffel : et donc : en renommant l'indice i en l dans la dernière égalité. Il suffit alors d'appliquer l'inverse du tenseur g pour conclure que : . (fr)
- Dans une variété riemannienne, on obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition. Un système de coordonnées étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale : . Le signe optionnel est choisi en fonction du signe de l'intervalle etde la signature du tenseur métrique. Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable , on écrit , où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à .La longueur de la trajectoire est donc égale à l'intégrale : En utilisant la méthode de Lagrange relative au calcul des variations pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique La paramétrisation canonique des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu les symboles de Christoffel : Démonstration Explicitant dans l'équation géodésique précédente : , on a, en notant la dérivée partielle du tenseur métrique par rapport à la k-ème coordonnée : Paramétrons la trajectoire par sa longueur , c’est-à-dire posons .Avec ce choix, on a et l'équation géodésique devient Comme le tenseur métrique dépend de mais pas explicitement de , on a et l'équation géodésique prend la forme ou encore, en utilisant le fait que les indices i et j jouent des rôles symétriques, et donc que : Or la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique permet d'affirmer que : donc, en utilisant la symétrie du tenseur métrique et des symboles de Christoffel : et donc : en renommant l'indice i en l dans la dernière égalité. Il suffit alors d'appliquer l'inverse du tenseur g pour conclure que : . (fr)
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- Dans une variété riemannienne, on obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition. Un système de coordonnées étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale : . Le signe optionnel est choisi en fonction du signe de l'intervalle etde la signature du tenseur métrique. Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable , on écrit , où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à .La longueur de la trajectoire est donc égale à l'intégrale : Démonstration Explicitant dans l'équation géodésique précédente : , . (fr)
- Dans une variété riemannienne, on obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition. Un système de coordonnées étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale : . Le signe optionnel est choisi en fonction du signe de l'intervalle etde la signature du tenseur métrique. Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable , on écrit , où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à .La longueur de la trajectoire est donc égale à l'intégrale : Démonstration Explicitant dans l'équation géodésique précédente : , . (fr)
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- Équation des géodésiques (fr)
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