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- On doit à David Hilbert, en 1915, la première utilisation du principe de moindre action pour obtenir les équations de la relativité générale, notamment les équations du champ gravitationnel. Pour la relativité générale, comme pour la relativité restreinte, les équations peuvent être obtenues sans faire appel au principe de moindre action : le principe d'équivalence, exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation », permet de retrouver directement les équations du mouvement d'une particule ; et l'unicité de la forme du tenseur géométrique qui s'annule par la dérivée covariante, unicité prouvée par Élie Cartan, permet de trouver les équations du champ de gravitation, ce qui fut la méthode originelle d'Einstein (bien que l'unicité en question ne fût pas encore prouvée à l'époque). Si les équations de la relativité générale sont données, on peut en déduire l'action permettant d'appliquer le principe. En particulier, avec les équations des géodésiques on peut retrouver la métrique associée. (fr)
- On doit à David Hilbert, en 1915, la première utilisation du principe de moindre action pour obtenir les équations de la relativité générale, notamment les équations du champ gravitationnel. Pour la relativité générale, comme pour la relativité restreinte, les équations peuvent être obtenues sans faire appel au principe de moindre action : le principe d'équivalence, exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation », permet de retrouver directement les équations du mouvement d'une particule ; et l'unicité de la forme du tenseur géométrique qui s'annule par la dérivée covariante, unicité prouvée par Élie Cartan, permet de trouver les équations du champ de gravitation, ce qui fut la méthode originelle d'Einstein (bien que l'unicité en question ne fût pas encore prouvée à l'époque). Si les équations de la relativité générale sont données, on peut en déduire l'action permettant d'appliquer le principe. En particulier, avec les équations des géodésiques on peut retrouver la métrique associée. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- En utilisant la même méthode variationnelle, en sachant que , en utilisant l'intégration par parties, et le théorème d'Ostrogradski qui permet d'écrire dans un référentiel en apesanteur
En définissant le tenseur impulsion-énergie par l'égalité
On obtient :
D'où, en posant , et on conclut de la même manière que dans le cas extérieur. (fr)
- En utilisant l'égalité , on a
On a car
Pour la , on a
La est laissée inchangée.
Pour la , pour simplifier les calculs, on se place dans un référentiel en apesanteur et on a donc . .
D'où en supposant que la variation des laisse le référentiel en apesanteur en ce point, ce qui laisse encore une infinité de variations possibles pour les .
Dans n'importe quel référentiel, où le symbole est le symbole de Christoffel au même point que mais avec des termes modifiés
on a ce qui est une différence entre deux tenseurs définis au même point, donc est un tenseur .
Et pour ce tenseur, dans le référentiel en apesanteur , , d'où
car et aussi
d'où .
D'où, en utilisant le théorème d'Ostrogradski,
La nullité de la dernière intégrale est due au fait qu'elle est calculée sur l'hypersurface délimitant le volume d'intégration et au fait que les variations des sont nulles sur la frontière d'intégration.
On obtient :
Le principe de moindre action disant que et les variations étant quelconques, on obtient , ce que l'on écrit souvent en baissant les indices. (fr)
- Soient l'action dans deux référentiels différents.
On a : et
où est le jacobien du changement de variables.
On a :
Or : , en prenant les déterminants.
Donc :
Ainsi est une constante du champ par rapport aux changements de référentiels.
L'objectif est donc de trouver les scalaires du champ, invariants par rapport aux changements de référentiels. (fr)
- * Dériver signifie « déterminer la droite qui indique la direction du mouvement ». Tout le problème est de savoir ce qu'est une droite quand le système de coordonnées est quelconque, voire dans un espace courbe ; une fois les droites déterminées, la dérivation peut être définie.
* Dans le cadre qui nous intéresse, quand l'expérimentateur est dans un espace de Minkowski et qu'il a choisi un système de coordonnées quelconque, ce qui y induit éventuellement une gravitation, les droites de la dérivation sont celles de l'espace de Minkowski, qui sont aussi celles du mouvement inertiel. À moins de définir une nouvelle dérivation, l'égalité s'impose.
* Quand l'expérimentateur est dans un référentiel où il y a de la gravitation, et en l'absence d'information sur les causes de cette gravitation les seules droites auxquelles il a accès, en tant que physicien, sont celles du mouvement inertiel : la dérivation est donc définie par .
:Mais ce choix est basé sur l'hypothèse que, dans son référentiel, le mouvement inertiel suit bien une droite. Si l'expérimentateur choisit comme droites les axes de son référentiel, il impose donc , le mouvement « inertiel » observé n'est pas droit et est interprétable comme dû à une force .
:Ces deux choix, comme d'autres que l'on peut imaginer, ne sont valables que localement :Le premier assimile localement la gravitation à un référentiel accéléré dans un espace de Minkowski, le deuxième émet l'hypothèse d'une force dans un espace initialement droit ; deux choix qui redressent à leur manière l'espace-temps, ce qui ne peut se faire que localement. (fr)
- On obtient :
En prenant dès maintenant temps propre, on peut utiliser l'égalité qui simplifie la dérivation ,
sans changer le résultat si on dérive avant, et on obtient
En remarquant que , que nous utiliserons essentiellement par souci d'esthétisme, et en changeant les indices pour n'utiliser que i, j et k,
Les équations d'Euler-Lagrange donnent :
Avec l'égalité
et le symbole de Christoffel : (fr)
- * À partir d'un point M quelconque de la variété, considérons deux variations infinitésimales et le long de deux géodésiques quelconques, et considérons les deux trajets distincts qui utilisent alternativement l'une puis l'autre de ces géodésiques.
:1er trajet :
:2e trajet :
:Afin que ces deux trajets aboutissent au même point, on suppose que , ce qui est réalisable car les géodésiques utilisées à partir des points et sont quelconques.
* Étudions les variations des coordonnées d'un vecteur transporté parallèlement le long de chacun des chemins :
:1er trajet :
:2e trajet :
:On a :
:Après quelques calculs, on obtient :
* On définit le tenseur de Riemann par :
:L'égalité indique que ce tenseur mesure la différence entre deux vecteurs issus du même vecteur d'origine par transport parallèle par deux chemins différents. (fr)
- En utilisant la même méthode variationnelle, en sachant que , en utilisant l'intégration par parties, et le théorème d'Ostrogradski qui permet d'écrire dans un référentiel en apesanteur
En définissant le tenseur impulsion-énergie par l'égalité
On obtient :
D'où, en posant , et on conclut de la même manière que dans le cas extérieur. (fr)
- En utilisant l'égalité , on a
On a car
Pour la , on a
La est laissée inchangée.
Pour la , pour simplifier les calculs, on se place dans un référentiel en apesanteur et on a donc . .
D'où en supposant que la variation des laisse le référentiel en apesanteur en ce point, ce qui laisse encore une infinité de variations possibles pour les .
Dans n'importe quel référentiel, où le symbole est le symbole de Christoffel au même point que mais avec des termes modifiés
on a ce qui est une différence entre deux tenseurs définis au même point, donc est un tenseur .
Et pour ce tenseur, dans le référentiel en apesanteur , , d'où
car et aussi
d'où .
D'où, en utilisant le théorème d'Ostrogradski,
La nullité de la dernière intégrale est due au fait qu'elle est calculée sur l'hypersurface délimitant le volume d'intégration et au fait que les variations des sont nulles sur la frontière d'intégration.
On obtient :
Le principe de moindre action disant que et les variations étant quelconques, on obtient , ce que l'on écrit souvent en baissant les indices. (fr)
- Soient l'action dans deux référentiels différents.
On a : et
où est le jacobien du changement de variables.
On a :
Or : , en prenant les déterminants.
Donc :
Ainsi est une constante du champ par rapport aux changements de référentiels.
L'objectif est donc de trouver les scalaires du champ, invariants par rapport aux changements de référentiels. (fr)
- * Dériver signifie « déterminer la droite qui indique la direction du mouvement ». Tout le problème est de savoir ce qu'est une droite quand le système de coordonnées est quelconque, voire dans un espace courbe ; une fois les droites déterminées, la dérivation peut être définie.
* Dans le cadre qui nous intéresse, quand l'expérimentateur est dans un espace de Minkowski et qu'il a choisi un système de coordonnées quelconque, ce qui y induit éventuellement une gravitation, les droites de la dérivation sont celles de l'espace de Minkowski, qui sont aussi celles du mouvement inertiel. À moins de définir une nouvelle dérivation, l'égalité s'impose.
* Quand l'expérimentateur est dans un référentiel où il y a de la gravitation, et en l'absence d'information sur les causes de cette gravitation les seules droites auxquelles il a accès, en tant que physicien, sont celles du mouvement inertiel : la dérivation est donc définie par .
:Mais ce choix est basé sur l'hypothèse que, dans son référentiel, le mouvement inertiel suit bien une droite. Si l'expérimentateur choisit comme droites les axes de son référentiel, il impose donc , le mouvement « inertiel » observé n'est pas droit et est interprétable comme dû à une force .
:Ces deux choix, comme d'autres que l'on peut imaginer, ne sont valables que localement :Le premier assimile localement la gravitation à un référentiel accéléré dans un espace de Minkowski, le deuxième émet l'hypothèse d'une force dans un espace initialement droit ; deux choix qui redressent à leur manière l'espace-temps, ce qui ne peut se faire que localement. (fr)
- On obtient :
En prenant dès maintenant temps propre, on peut utiliser l'égalité qui simplifie la dérivation ,
sans changer le résultat si on dérive avant, et on obtient
En remarquant que , que nous utiliserons essentiellement par souci d'esthétisme, et en changeant les indices pour n'utiliser que i, j et k,
Les équations d'Euler-Lagrange donnent :
Avec l'égalité
et le symbole de Christoffel : (fr)
- * À partir d'un point M quelconque de la variété, considérons deux variations infinitésimales et le long de deux géodésiques quelconques, et considérons les deux trajets distincts qui utilisent alternativement l'une puis l'autre de ces géodésiques.
:1er trajet :
:2e trajet :
:Afin que ces deux trajets aboutissent au même point, on suppose que , ce qui est réalisable car les géodésiques utilisées à partir des points et sont quelconques.
* Étudions les variations des coordonnées d'un vecteur transporté parallèlement le long de chacun des chemins :
:1er trajet :
:2e trajet :
:On a :
:Après quelques calculs, on obtient :
* On définit le tenseur de Riemann par :
:L'égalité indique que ce tenseur mesure la différence entre deux vecteurs issus du même vecteur d'origine par transport parallèle par deux chemins différents. (fr)
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| rdfs:comment
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- On doit à David Hilbert, en 1915, la première utilisation du principe de moindre action pour obtenir les équations de la relativité générale, notamment les équations du champ gravitationnel. Pour la relativité générale, comme pour la relativité restreinte, les équations peuvent être obtenues sans faire appel au principe de moindre action : le principe d'équivalence, exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation », permet de retrouver directement les équations du mouvement d'une particule ; et l'unicité de la forme du tenseur géométrique qui s'annule par la dérivée covariante, unicité prouvée par Élie Cartan, permet de trouver les équations du champ de gravitation, ce qui fut la méthode originelle d'Einstein (bien que l'unicité e (fr)
- On doit à David Hilbert, en 1915, la première utilisation du principe de moindre action pour obtenir les équations de la relativité générale, notamment les équations du champ gravitationnel. Pour la relativité générale, comme pour la relativité restreinte, les équations peuvent être obtenues sans faire appel au principe de moindre action : le principe d'équivalence, exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation », permet de retrouver directement les équations du mouvement d'une particule ; et l'unicité de la forme du tenseur géométrique qui s'annule par la dérivée covariante, unicité prouvée par Élie Cartan, permet de trouver les équations du champ de gravitation, ce qui fut la méthode originelle d'Einstein (bien que l'unicité e (fr)
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