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- La singularité de Schwarzschild est le comportement divergent de la métrique de Schwarzschild quand . Il ne faut pas la confondre avec la singularité gravitationnelle d'un trou noir. Cette singularité n'est qu'apparente : elle se manifeste dans l'expression classique de cette métrique, mais pas dans d'autres. On considère donc que c'est une singularité mathématique pour la métrique classique de Schwarzschild, mais que ce n'est pas une singularité physique. Différents changements de notations ont été proposés pour le montrer, par exemple les coordonnées de Lemaître ou de Kruskal-Szekeres. Une autre démarche est possible avec les coordonnées isotropes, présentant des avantages et des inconvénients. Par contre, certaines propriété physiques qui s'y manifestent font qu'on nomme cette région de l'espace horizon de Schwarzschild ou horizon des événements. Avec les coordonnées de Lemaître ou de Kruskal-Szekeres, on conclut à l'existence d'un effondrement du trou noir en une singularité centrale (pour ). (fr)
- La singularité de Schwarzschild est le comportement divergent de la métrique de Schwarzschild quand . Il ne faut pas la confondre avec la singularité gravitationnelle d'un trou noir. Cette singularité n'est qu'apparente : elle se manifeste dans l'expression classique de cette métrique, mais pas dans d'autres. On considère donc que c'est une singularité mathématique pour la métrique classique de Schwarzschild, mais que ce n'est pas une singularité physique. Différents changements de notations ont été proposés pour le montrer, par exemple les coordonnées de Lemaître ou de Kruskal-Szekeres. Une autre démarche est possible avec les coordonnées isotropes, présentant des avantages et des inconvénients. Par contre, certaines propriété physiques qui s'y manifestent font qu'on nomme cette région de l'espace horizon de Schwarzschild ou horizon des événements. Avec les coordonnées de Lemaître ou de Kruskal-Szekeres, on conclut à l'existence d'un effondrement du trou noir en une singularité centrale (pour ). (fr)
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- On peut calculer et en résolvant les équations d'Einstein pour le champ de gravitation dans le vide, mais en comparant les deux formes précédentes de la métrique, la correspondance impose :
: et
La comparaison permet d'écrire :
L'intégration peut être simplifiée en remarquant que :
La constante peut être encore simplifiée en choisissant la variable : ainsi :
L'intégration donne ensuite : mais il semble plus pratique d'utiliser l'expression logarithmique de arcosh :
:
La constante peut être déterminée en considérant que l'espace est asymptotiquement plat à l'infini :
: ; ; ; ; ;
: ; ;
Ainsi dans cette limite le signe correspond forcément au signe et la constante d'intégration est :
:
.
On peut alors inverser la relation :
Ce changement de variable vérifie la correspondance : mais si on inverse à nouveau cette relation, on obtient ici encore un signe :
:
On constate alors que l'option avec le signe correspond à la limite :
: ; ; ;
: ; ;
: où la constante d'intégration est ici encore par comparaison.
On a donc effectivement trouvé ainsi la solution complète de l'équation différentielle.
On retrouve enfin en reportant simplement : puis en reportant de même et en simplifiant : (fr)
- On peut calculer et en résolvant les équations d'Einstein pour le champ de gravitation dans le vide, mais en comparant les deux formes précédentes de la métrique, la correspondance impose :
: et
La comparaison permet d'écrire :
L'intégration peut être simplifiée en remarquant que :
La constante peut être encore simplifiée en choisissant la variable : ainsi :
L'intégration donne ensuite : mais il semble plus pratique d'utiliser l'expression logarithmique de arcosh :
:
La constante peut être déterminée en considérant que l'espace est asymptotiquement plat à l'infini :
: ; ; ; ; ;
: ; ;
Ainsi dans cette limite le signe correspond forcément au signe et la constante d'intégration est :
:
.
On peut alors inverser la relation :
Ce changement de variable vérifie la correspondance : mais si on inverse à nouveau cette relation, on obtient ici encore un signe :
:
On constate alors que l'option avec le signe correspond à la limite :
: ; ; ;
: ; ;
: où la constante d'intégration est ici encore par comparaison.
On a donc effectivement trouvé ainsi la solution complète de l'équation différentielle.
On retrouve enfin en reportant simplement : puis en reportant de même et en simplifiant : (fr)
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| prop-fr:titre
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- Démonstration (fr)
- Démonstration (fr)
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- La singularité de Schwarzschild est le comportement divergent de la métrique de Schwarzschild quand . Il ne faut pas la confondre avec la singularité gravitationnelle d'un trou noir. Cette singularité n'est qu'apparente : elle se manifeste dans l'expression classique de cette métrique, mais pas dans d'autres. On considère donc que c'est une singularité mathématique pour la métrique classique de Schwarzschild, mais que ce n'est pas une singularité physique. Différents changements de notations ont été proposés pour le montrer, par exemple les coordonnées de Lemaître ou de Kruskal-Szekeres. Une autre démarche est possible avec les coordonnées isotropes, présentant des avantages et des inconvénients. (fr)
- La singularité de Schwarzschild est le comportement divergent de la métrique de Schwarzschild quand . Il ne faut pas la confondre avec la singularité gravitationnelle d'un trou noir. Cette singularité n'est qu'apparente : elle se manifeste dans l'expression classique de cette métrique, mais pas dans d'autres. On considère donc que c'est une singularité mathématique pour la métrique classique de Schwarzschild, mais que ce n'est pas une singularité physique. Différents changements de notations ont été proposés pour le montrer, par exemple les coordonnées de Lemaître ou de Kruskal-Szekeres. Une autre démarche est possible avec les coordonnées isotropes, présentant des avantages et des inconvénients. (fr)
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- Schwarzschild coordinates (en)
- Singularité de Schwarzschild (fr)
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