| dbo:abstract
|
- En géométrie euclidienne, l'isopérimétrie est initialement l'étude des propriétés des formes géométriques du plan qui partagent le même périmètre, ce qui se généralise ensuite dans les autres espaces euclidiens. En particulier, le problème le plus classique consiste à déterminer la forme géométrique plane qui maximise son aire avec un périmètre fixé. La réponse est intuitive, c'est le disque, mais malgré son apparence anodine ce problème fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse (particularité qu'il partage par exemple avec le théorème de Jordan qui indique qu'une boucle tracée sans croisement divise le plan en deux parties). Pour cette raison on simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées, par exemple en se restreignant aux seuls quadrilatères ou triangles, ce qui donne alors respectivement le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n côtés ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle : c'est le polygone régulier. L'isopérimétrie se généralise à des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la zone d'aire maximale pour un périmètre donné est le demi-disque. En dimension 3, il s'agit de trouver le solide de plus grand volume, enveloppé dans une surface de mesure fixée ; la bulle de savon, qui résout le problème inverse en « cherchant » à minimiser la surface par laquelle elle enveloppe un volume d'air donné, indique la solution : la sphère. Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes appelés théorèmes isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. En dimension 2, l'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration ; le terme de gauche est le quotient isopérimétrique, qui n'est égal à 1 que dans le cas du disque. Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans, ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne. Cet article traite uniquement des aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique. (fr)
- En géométrie euclidienne, l'isopérimétrie est initialement l'étude des propriétés des formes géométriques du plan qui partagent le même périmètre, ce qui se généralise ensuite dans les autres espaces euclidiens. En particulier, le problème le plus classique consiste à déterminer la forme géométrique plane qui maximise son aire avec un périmètre fixé. La réponse est intuitive, c'est le disque, mais malgré son apparence anodine ce problème fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse (particularité qu'il partage par exemple avec le théorème de Jordan qui indique qu'une boucle tracée sans croisement divise le plan en deux parties). Pour cette raison on simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées, par exemple en se restreignant aux seuls quadrilatères ou triangles, ce qui donne alors respectivement le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n côtés ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle : c'est le polygone régulier. L'isopérimétrie se généralise à des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la zone d'aire maximale pour un périmètre donné est le demi-disque. En dimension 3, il s'agit de trouver le solide de plus grand volume, enveloppé dans une surface de mesure fixée ; la bulle de savon, qui résout le problème inverse en « cherchant » à minimiser la surface par laquelle elle enveloppe un volume d'air donné, indique la solution : la sphère. Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes appelés théorèmes isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. En dimension 2, l'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration ; le terme de gauche est le quotient isopérimétrique, qui n'est égal à 1 que dans le cas du disque. Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans, ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne. Cet article traite uniquement des aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique. (fr)
|
| prop-fr:contenu
|
- * Tout triangle de périmètre p et d'aire maximale est équilatéral :
Le lemme 1 montre que si un triangle n'est pas équilatéral, il ne peut être solution du problème isopérimétrique. En effet, si les trois longueurs des trois côtés sont notés a, b et c, le lemme montre que a = b et que b = c est une condition nécessaire pour que le triangle soit d'aire maximal. On en déduit qu'un tel triangle est équilatéral.
Il suffit, pour conclure de montrer qu'il existe au moins une solution.
* Il existe une solution au problème isopérimétrique dans le cas des triangles :
right|thumb
Il faut montrer qu'il existe un triangle de périmètre p et d'aire maximale. Le lemme montre qu'il existe un triangle isocèle Ti de périmètre p et d'aire plus grande que celle du triangle initial. Il suffit donc de montrer que tout triangle isocèle de périmètre p est d'aire plus petite que celle d'un triangle Te de périmètre p et de côté c. Soit c + 2 la longueur de la base de Ti et c - la longueur des deux côtés égaux. Ici est un nombre réel compris entre -c /2 et c /4. La surface de Ti est le produit de la mi-longueur 1/2 par la hauteur h, donnée par le théorème de Pythagore :
Si ai est l'aire du triangle isocèle, on dispose de la formule :
La fonction, qui à associe ai est continue, elle est illustrée sur la figure de droite. En effet, c'est une fonction polynomiale du troisième degré. Elle est définie sur un segment, le théorème des bornes nous assure que le maximum est atteint. C'est-à-dire qu'il existe au moins une solution au problème isopérimétrique pour les triangles. Graphiquement, on remarque que celle solution correspond au point , c'est-à-dire au triangle équilatéral. Ce résultat concorde avec la proposition précédente. (fr)
- left|thumb
On suppose que S est une surface d'aire a et de périmètre p. On suppose de plus que l'aire a est maximale pour le périmètre p. Cette surface est illustrée à gauche, elle possède la forme d'un œuf posé horizontalement. L'objectif est de montrer que, pour éviter toute contradiction, S est nécessairement un disque. La forme initiale choisie n'est pas un disque pour illustrer de manière plus vivante la contradiction.
* Construction de l'axe Δ et du point O :
L'objectif est de couper la figure en deux parties égales et symétrique. On considère tout d'abord un point P de la surface, une demi droite D d'extrémité P, dont l'intersection avec S est réduite au point P. Soit f la fonction de [0, 2π], qui à un angle φ associe l'aire de l'intersection entre S et la zone délimitée par les demi droite D et sa rotation d'angle φ. La valeur f correspond à l'aire de la zone de couleur bleu foncé sur la figure. On remarque que f est égal à 0 et f à a. Comme la fonction f est continue, il existe une valeur de φ dont l'image par f est égale à la moitié de la surface de S. Sur la figure, cette valeur de φ est égale à π. Soit Δ la droite associée à cette valeur de φ, elle coupe la surface S en deux parties d'aire égale.
Le point P est un des deux points frontière de S appartenant à Δ, soit Qle deuxième point frontière et O le milieu de ces deux points. Le périmètre de la partie supérieure à Δ de S est le même que le périmètre de la partie inférieure. En effet, si le périmètre était plus petit en haut, la surface de périmètre, au-dessus de Δ égale à celle de S, puis en dessous à la rotation d'un demi-tour de la partie supérieure par rapport au point O, aurait exactement la même surface pour un périmètre moindre. Une dilatation de cette surface donnerait une zone de surface strictement plus grande pour un même périmètre. Ceci est impossible car S est choisie maximale. Si S est un disque, l'axe Δ est celui d'un diamètre, O le centre du disque et la zone inférieure la parfaite symétrique de celle supérieure.
* Construction du quadrilatère QAPB :
right|thumb
On ne travaille néanmoins pas sur S, mais sur S1, représentée sur la figure de droite. La frontière de la zone inférieure est choisie égale à la rotation d'un demi tour de celle de la zone supérieure. Une rotation étant une isométrie, ni le périmètre ni la surface n'ont été modifiés. L'aire de S1 est aussi maximale pour le périmètre p.
Soit A un point de la frontière de S1 et B son symétrique par rapport à O. La figure S1 étant symétrique par rapport à O, le point B est aussi sur la frontière de S1 . Les quatre segments QA, AP, PB et BQ coupe la nouvelle surface en 5 parties, 4 lunules de couleur violette sur la figure de droite et un parallélogramme rose.
* Position de A :
left|thumb
La démonstration sur les quadrilatères montre que le losange de plus grande aire, à isopérimètre est le carré. Cette même démonstration prouve que le parallélogramme de plus grande aire, à isopérimètre et sans modifier la longueur des côtés est le rectangle. Si le parallélogramme QAPB n'est pas un rectangle, il est possible de construire une nouvelle surface S2 en déplaçant les quatre lunules de manière à rendre la zone QAPB rectangulaire, comme illustré sur la figure de gauche.
Si QA et AP n'étaient pas deux segments initialement perpendiculaires, on obtiendrait une nouvelle figure de même périmètre que S et de surface strictement supérieure, ce qui est impossible par hypothèse. Le triangle QAP est donc rectangle en A ce qui, selon le théorème du triangle inscrit dans un demi-cercle place le point A sur le cercle de diamètre [PQ]. Le point A ayant été choisi quelconque sur la frontière de S1 , tous les points de la frontière sont sur le cercle de diamètre [PQ] et S1 est donc un disque. (fr)
- * Tout triangle de périmètre p et d'aire maximale est équilatéral :
Le lemme 1 montre que si un triangle n'est pas équilatéral, il ne peut être solution du problème isopérimétrique. En effet, si les trois longueurs des trois côtés sont notés a, b et c, le lemme montre que a = b et que b = c est une condition nécessaire pour que le triangle soit d'aire maximal. On en déduit qu'un tel triangle est équilatéral.
Il suffit, pour conclure de montrer qu'il existe au moins une solution.
* Il existe une solution au problème isopérimétrique dans le cas des triangles :
right|thumb
Il faut montrer qu'il existe un triangle de périmètre p et d'aire maximale. Le lemme montre qu'il existe un triangle isocèle Ti de périmètre p et d'aire plus grande que celle du triangle initial. Il suffit donc de montrer que tout triangle isocèle de périmètre p est d'aire plus petite que celle d'un triangle Te de périmètre p et de côté c. Soit c + 2 la longueur de la base de Ti et c - la longueur des deux côtés égaux. Ici est un nombre réel compris entre -c /2 et c /4. La surface de Ti est le produit de la mi-longueur 1/2 par la hauteur h, donnée par le théorème de Pythagore :
Si ai est l'aire du triangle isocèle, on dispose de la formule :
La fonction, qui à associe ai est continue, elle est illustrée sur la figure de droite. En effet, c'est une fonction polynomiale du troisième degré. Elle est définie sur un segment, le théorème des bornes nous assure que le maximum est atteint. C'est-à-dire qu'il existe au moins une solution au problème isopérimétrique pour les triangles. Graphiquement, on remarque que celle solution correspond au point , c'est-à-dire au triangle équilatéral. Ce résultat concorde avec la proposition précédente. (fr)
- left|thumb
On suppose que S est une surface d'aire a et de périmètre p. On suppose de plus que l'aire a est maximale pour le périmètre p. Cette surface est illustrée à gauche, elle possède la forme d'un œuf posé horizontalement. L'objectif est de montrer que, pour éviter toute contradiction, S est nécessairement un disque. La forme initiale choisie n'est pas un disque pour illustrer de manière plus vivante la contradiction.
* Construction de l'axe Δ et du point O :
L'objectif est de couper la figure en deux parties égales et symétrique. On considère tout d'abord un point P de la surface, une demi droite D d'extrémité P, dont l'intersection avec S est réduite au point P. Soit f la fonction de [0, 2π], qui à un angle φ associe l'aire de l'intersection entre S et la zone délimitée par les demi droite D et sa rotation d'angle φ. La valeur f correspond à l'aire de la zone de couleur bleu foncé sur la figure. On remarque que f est égal à 0 et f à a. Comme la fonction f est continue, il existe une valeur de φ dont l'image par f est égale à la moitié de la surface de S. Sur la figure, cette valeur de φ est égale à π. Soit Δ la droite associée à cette valeur de φ, elle coupe la surface S en deux parties d'aire égale.
Le point P est un des deux points frontière de S appartenant à Δ, soit Qle deuxième point frontière et O le milieu de ces deux points. Le périmètre de la partie supérieure à Δ de S est le même que le périmètre de la partie inférieure. En effet, si le périmètre était plus petit en haut, la surface de périmètre, au-dessus de Δ égale à celle de S, puis en dessous à la rotation d'un demi-tour de la partie supérieure par rapport au point O, aurait exactement la même surface pour un périmètre moindre. Une dilatation de cette surface donnerait une zone de surface strictement plus grande pour un même périmètre. Ceci est impossible car S est choisie maximale. Si S est un disque, l'axe Δ est celui d'un diamètre, O le centre du disque et la zone inférieure la parfaite symétrique de celle supérieure.
* Construction du quadrilatère QAPB :
right|thumb
On ne travaille néanmoins pas sur S, mais sur S1, représentée sur la figure de droite. La frontière de la zone inférieure est choisie égale à la rotation d'un demi tour de celle de la zone supérieure. Une rotation étant une isométrie, ni le périmètre ni la surface n'ont été modifiés. L'aire de S1 est aussi maximale pour le périmètre p.
Soit A un point de la frontière de S1 et B son symétrique par rapport à O. La figure S1 étant symétrique par rapport à O, le point B est aussi sur la frontière de S1 . Les quatre segments QA, AP, PB et BQ coupe la nouvelle surface en 5 parties, 4 lunules de couleur violette sur la figure de droite et un parallélogramme rose.
* Position de A :
left|thumb
La démonstration sur les quadrilatères montre que le losange de plus grande aire, à isopérimètre est le carré. Cette même démonstration prouve que le parallélogramme de plus grande aire, à isopérimètre et sans modifier la longueur des côtés est le rectangle. Si le parallélogramme QAPB n'est pas un rectangle, il est possible de construire une nouvelle surface S2 en déplaçant les quatre lunules de manière à rendre la zone QAPB rectangulaire, comme illustré sur la figure de gauche.
Si QA et AP n'étaient pas deux segments initialement perpendiculaires, on obtiendrait une nouvelle figure de même périmètre que S et de surface strictement supérieure, ce qui est impossible par hypothèse. Le triangle QAP est donc rectangle en A ce qui, selon le théorème du triangle inscrit dans un demi-cercle place le point A sur le cercle de diamètre [PQ]. Le point A ayant été choisi quelconque sur la frontière de S1 , tous les points de la frontière sont sur le cercle de diamètre [PQ] et S1 est donc un disque. (fr)
|
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
