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- En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un théorème isopérimétrique est une généralisation des résultats plus élémentaires d'isopérimétrie montrant par exemple que le disque est, à périmètre donné, la figure ayant la plus grande aire. Les questions traitées par cette généralisation concernent les compacts d'un espace métrique muni d'une mesure. Un exemple simple est donné par les compacts d'un plan euclidien. Les compacts concernés sont ceux de mesures finies ayant une frontière aussi de mesure finie. Dans l'exemple choisi, les compacts concernés sont ceux dont la frontière est une courbe rectifiable, c'est-à-dire essentiellement non fractale. Les mesures du compact et de sa frontière sont naturellement différentes : dans l'exemple, la mesure du compact est une aire, tandis que celle de sa courbe frontière est une longueur. Un théorème isopérimétrique caractérise les compacts ayant la mesure la plus grande possible pour une mesure de leur frontière fixée. Dans le plan euclidien en utilisant la mesure de Lebesgue, un théorème isopérimétrique indique qu'un tel compact est un disque. En dimension 3, toujours avec une géométrie euclidienne, une autre version du théorème indique que c'est une boule. D'une manière plus générale, dans un espace euclidien de dimension n, muni de la mesure de Lebesgue, l'optimum est obtenu par une boule, ce qui donne l'inégalité isopérimétrique suivante, si K est un compact et B la boule unité : Les théorèmes isopérimétriques sont souvent difficiles à établir. Même un cas simple, comme celui du plan euclidien muni de la mesure de Lebesgue, est relativement technique à démontrer. Une des méthodes de preuve, connue depuis la démonstration de Hurwitz en 1901, est d'utiliser un résultat d'analyse issu de la théorie des séries de Fourier : l'inégalité de Wirtinger. Le résultat reste partiel car il ne traite que des surfaces dont la frontière est une courbe de classe C1. Les théorèmes isopérimétriques sont actuellement l'objet d'une intense recherche en mathématiques, en particulier en analyse fonctionnelle et en théorie des probabilités, à la suite de leurs liens étroits avec les phénomènes de concentration de mesure.[réf. souhaitée] (fr)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un théorème isopérimétrique est une généralisation des résultats plus élémentaires d'isopérimétrie montrant par exemple que le disque est, à périmètre donné, la figure ayant la plus grande aire. Les questions traitées par cette généralisation concernent les compacts d'un espace métrique muni d'une mesure. Un exemple simple est donné par les compacts d'un plan euclidien. Les compacts concernés sont ceux de mesures finies ayant une frontière aussi de mesure finie. Dans l'exemple choisi, les compacts concernés sont ceux dont la frontière est une courbe rectifiable, c'est-à-dire essentiellement non fractale. Les mesures du compact et de sa frontière sont naturellement différentes : dans l'exemple, la mesure du compact est une aire, tandis que celle de sa courbe frontière est une longueur. Un théorème isopérimétrique caractérise les compacts ayant la mesure la plus grande possible pour une mesure de leur frontière fixée. Dans le plan euclidien en utilisant la mesure de Lebesgue, un théorème isopérimétrique indique qu'un tel compact est un disque. En dimension 3, toujours avec une géométrie euclidienne, une autre version du théorème indique que c'est une boule. D'une manière plus générale, dans un espace euclidien de dimension n, muni de la mesure de Lebesgue, l'optimum est obtenu par une boule, ce qui donne l'inégalité isopérimétrique suivante, si K est un compact et B la boule unité : Les théorèmes isopérimétriques sont souvent difficiles à établir. Même un cas simple, comme celui du plan euclidien muni de la mesure de Lebesgue, est relativement technique à démontrer. Une des méthodes de preuve, connue depuis la démonstration de Hurwitz en 1901, est d'utiliser un résultat d'analyse issu de la théorie des séries de Fourier : l'inégalité de Wirtinger. Le résultat reste partiel car il ne traite que des surfaces dont la frontière est une courbe de classe C1. Les théorèmes isopérimétriques sont actuellement l'objet d'une intense recherche en mathématiques, en particulier en analyse fonctionnelle et en théorie des probabilités, à la suite de leurs liens étroits avec les phénomènes de concentration de mesure.[réf. souhaitée] (fr)
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- * Il existe un polygone à n côtés et de périmètre p qui possède une aire maximale :
On munit le plan d'un repère orthonormal, et on considère l'application, qui à un polygone convexe à n sommets, associe dans ℝ la suite des coordonnées de ses sommets. Ici ℝ désigne l'ensemble des nombres réels et ℝ l'espace vectoriel canonique de dimension 2n. Réciproquement à tout élément u de ℝ, on associe l'enveloppe convexe des points ayant comme suite de coordonnées u. On obtient une application de ℝ dans l'ensemble des polygones ayant un nombre de sommets inférieur ou égal à n. Cette application n'est pas injective, mais est surjective.
Soit φ la fonction, de ℝ dans ℝ, qui associe à un vecteur u le barycentre des n vecteurs dont u est la suite des coordonnées. La fonction φ est continue, l'image réciproque du vecteur nul est un fermé de ℝ , que l'on note F1. On ne cherche que des solutions dans ce fermé, ce qui n'est pas contraignant. En effet, si un polygone P est une solution quelconque du problème isopérimétrique, la translation de P par l'opposé de son barycentre est une solution dans F1. Comme la translation est une isométrie, les propriétés géométriques de l'image par la translation sont les mêmes que celle de P.
Soit ψ l'application de ℝ dans ℝ qui associe à un vecteur u le périmètre du polygone associé à u. Cette application est encore continue et l'image réciproque du nombre réel p est encore un fermé F2 de ℝ. L'intersection C de F1 et de F2 est fermé, car intersection de deux fermés. Cet ensemble est aussi borné. Un vecteur est dans F1 seulement si l'enveloppe convexe des vecteurs de dimension 2 contient le vecteur nul. Le segment allant du vecteur nul à un l'un des vecteurs de dimension 2 possède une longueur inférieure à la moitié du périmètre de l'enveloppe convexe. Un élément de C ne possède donc aucune coordonnée supérieure à la moitié de p. L'ensemble C possède les bonnes propriétés pour conclure. Si une solution au problème isopérimétrique posé existe, on en trouve nécessairement au moins une dans C. De plus, C est un fermé borné, or dans un espace vectoriel de dimension finie, comme ℝ, les fermés bornés sont compacts.
On considère l'application ξ, de ℝ dans ℝ, qui à un vecteur u associe l'aire de son polygone. Cette application est définie et continue sur le compact C. L'image de C par ξ est un compact, la borne supérieure de cet ensemble est atteinte car tout compact de ℝ contient sa borne supérieure. L'enveloppe convexe d'un vecteur u ayant pour image par ξ cette borne supérieure, est un polygone ayant au plus n côtés, de périmètre p et d'aire maximale. C'est une solution au problème isopérimétrique posé.
* Il n'existe aucune surface d'aire supérieure à celle d'un disque de même périmètre :
thumb|right
On raisonne par l'absurde. Quitte à effectuer une homothétie, on suppose qu'il existe une surface S de périmètre égal à 2π et d'aire égal à π + A, où A est un nombre réel strictement positif. On suppose que S est convexe, sinon, il est toujours possible de choisir son enveloppe convexe de périmètre plus petit et d'aire plus grande.
On construit un polygone de périmètre plus petit que 2π et d'aire supérieure à π + A/2. La démonstration précédente montre qu'un tel polygone n'existe pas, ce qui démontre que la surface S ne peut pas plus exister et constitue l'absurdité recherchée. Ce polygone est illustré sur la figure de droite. Soit ε un nombre réel strictement positif plus petit que 1 et que le rapport de A/6π. Enfin, soit P le polygone dont les sommets sont des points de la frontière de S, régulièrement espacés à une distance ε l'un de l'autre. Le polygone correspond à la figure constituée par les bases des carrés rouges. Il existe peut-être une arête du polygone de longueur inférieure à ε, celle la plus à droite sur la figure.
On considère l'enveloppe E constituée des points à une distance inférieure ou égale à ε de P. Cette enveloppe est l'union de l'intérieur du polygone P, en bleu, des carrés rouges d'arêtes de longueur ε et de portions d'un disque de rayon ε, en vert sur la figure. L'union des portions vertes forme un disque complet. L'aire ae de l'enveloppe E est la somme des aires de ces différentes surfaces. Si pp désigne le périmètre du polygone, on obtient :
Le périmètre du polygone est par construction plus petit que celui de la surface S, qui est égale à 2π, on en déduit :
Un petit lemme, démontré ci-dessous, montre que l'enveloppe E contient la surface S. L'aire de S, c'est-à-dire π + A est en conséquence plus petite que celle de ae :
On a bien construit un polygone d'aire strictement supérieure à π et de périmètre strictement inférieur à 2π. Or aucun polygone de même périmètre qu'un disque ne possède une aire supérieure à celle du disque : ce résultat est absurde. Cette absurdité montre qu'une surface S d'aire strictement supérieure à celle d'un disque de même périmètre ne peut exister.
* Toute surface S possède une aire plus petite que celle du disque de même périmètre. L'égalité n'a lieu que si la surface S est elle aussi un disque :
Il ne reste plus qu'à étudier le cas de l'égalité. La preuve précédente montre qu'il existe bien au moins une surface d'aire optimale pour un périmètre donné, le disque. La démonstration de Steiner montre que, si une telle surface existe, elle est nécessairement un disque.
* L'enveloppe E contient la surface S :
thumb|right
On raisonne par l'absurde et on suppose l'existence d'un point Q de S qui ne soit pas élément de E. La figure illustrative est à droite, la surface E est celle sur fond rouge. La convexité de S met en évidence une absurdité. On utilise un théorème indiquant qu'il existe une droite d'appui pour chaque point de la frontière d'un convexe. C'est-à-dire une droite passant par le point frontière et séparant le plan en deux demi-plans dont l'un est fermé. Ce demi-plan fermé contient l'intégralité du convexe.
Soit M un point de l'intérieur du polygone P. On considère le segment d'extrémité Q et M. Ce segment croise la frontière du polygone et il existe une arête AB dont l'intersection avec le segment QM est non vide. Ce point d'intersection ne peut être un sommet. En effet, si ce point est un sommet, par exemple A, comme A est aussi un point frontière de S, il possède une droite d'appui, qui est nécessairement celle passant par Q et M car ces deux points sont éléments de S. Or, un voisinage de M est contenu dans l'intérieur du polygone et donc dans celui de S, ce voisinage contient des points de chaque côté de la droite, ce qui est impossible.
Considérons la frontière du convexe S entre A et B, en bleu sur la figure ; elle traverse la droite QM. Soit C le point d'intersection, par construction du polygone P, le point C est à une distance inférieure à ε de A et se trouve dans E, à la différence de Q qui n'est pas élément de E, ces deux points sont donc différents. Le point C est un point frontière du convexe S, il possède une droite d'appui. Le même argument que celui utilisé précédemment montre que cette droite d'appui est nécessairement celle passant par Q et M. Or, on a vu qu'une telle droite ne peut être une droite d'appui. (fr)
- * Il existe un polygone à n côtés et de périmètre p qui possède une aire maximale :
On munit le plan d'un repère orthonormal, et on considère l'application, qui à un polygone convexe à n sommets, associe dans ℝ la suite des coordonnées de ses sommets. Ici ℝ désigne l'ensemble des nombres réels et ℝ l'espace vectoriel canonique de dimension 2n. Réciproquement à tout élément u de ℝ, on associe l'enveloppe convexe des points ayant comme suite de coordonnées u. On obtient une application de ℝ dans l'ensemble des polygones ayant un nombre de sommets inférieur ou égal à n. Cette application n'est pas injective, mais est surjective.
Soit φ la fonction, de ℝ dans ℝ, qui associe à un vecteur u le barycentre des n vecteurs dont u est la suite des coordonnées. La fonction φ est continue, l'image réciproque du vecteur nul est un fermé de ℝ , que l'on note F1. On ne cherche que des solutions dans ce fermé, ce qui n'est pas contraignant. En effet, si un polygone P est une solution quelconque du problème isopérimétrique, la translation de P par l'opposé de son barycentre est une solution dans F1. Comme la translation est une isométrie, les propriétés géométriques de l'image par la translation sont les mêmes que celle de P.
Soit ψ l'application de ℝ dans ℝ qui associe à un vecteur u le périmètre du polygone associé à u. Cette application est encore continue et l'image réciproque du nombre réel p est encore un fermé F2 de ℝ. L'intersection C de F1 et de F2 est fermé, car intersection de deux fermés. Cet ensemble est aussi borné. Un vecteur est dans F1 seulement si l'enveloppe convexe des vecteurs de dimension 2 contient le vecteur nul. Le segment allant du vecteur nul à un l'un des vecteurs de dimension 2 possède une longueur inférieure à la moitié du périmètre de l'enveloppe convexe. Un élément de C ne possède donc aucune coordonnée supérieure à la moitié de p. L'ensemble C possède les bonnes propriétés pour conclure. Si une solution au problème isopérimétrique posé existe, on en trouve nécessairement au moins une dans C. De plus, C est un fermé borné, or dans un espace vectoriel de dimension finie, comme ℝ, les fermés bornés sont compacts.
On considère l'application ξ, de ℝ dans ℝ, qui à un vecteur u associe l'aire de son polygone. Cette application est définie et continue sur le compact C. L'image de C par ξ est un compact, la borne supérieure de cet ensemble est atteinte car tout compact de ℝ contient sa borne supérieure. L'enveloppe convexe d'un vecteur u ayant pour image par ξ cette borne supérieure, est un polygone ayant au plus n côtés, de périmètre p et d'aire maximale. C'est une solution au problème isopérimétrique posé.
* Il n'existe aucune surface d'aire supérieure à celle d'un disque de même périmètre :
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On raisonne par l'absurde. Quitte à effectuer une homothétie, on suppose qu'il existe une surface S de périmètre égal à 2π et d'aire égal à π + A, où A est un nombre réel strictement positif. On suppose que S est convexe, sinon, il est toujours possible de choisir son enveloppe convexe de périmètre plus petit et d'aire plus grande.
On construit un polygone de périmètre plus petit que 2π et d'aire supérieure à π + A/2. La démonstration précédente montre qu'un tel polygone n'existe pas, ce qui démontre que la surface S ne peut pas plus exister et constitue l'absurdité recherchée. Ce polygone est illustré sur la figure de droite. Soit ε un nombre réel strictement positif plus petit que 1 et que le rapport de A/6π. Enfin, soit P le polygone dont les sommets sont des points de la frontière de S, régulièrement espacés à une distance ε l'un de l'autre. Le polygone correspond à la figure constituée par les bases des carrés rouges. Il existe peut-être une arête du polygone de longueur inférieure à ε, celle la plus à droite sur la figure.
On considère l'enveloppe E constituée des points à une distance inférieure ou égale à ε de P. Cette enveloppe est l'union de l'intérieur du polygone P, en bleu, des carrés rouges d'arêtes de longueur ε et de portions d'un disque de rayon ε, en vert sur la figure. L'union des portions vertes forme un disque complet. L'aire ae de l'enveloppe E est la somme des aires de ces différentes surfaces. Si pp désigne le périmètre du polygone, on obtient :
Le périmètre du polygone est par construction plus petit que celui de la surface S, qui est égale à 2π, on en déduit :
Un petit lemme, démontré ci-dessous, montre que l'enveloppe E contient la surface S. L'aire de S, c'est-à-dire π + A est en conséquence plus petite que celle de ae :
On a bien construit un polygone d'aire strictement supérieure à π et de périmètre strictement inférieur à 2π. Or aucun polygone de même périmètre qu'un disque ne possède une aire supérieure à celle du disque : ce résultat est absurde. Cette absurdité montre qu'une surface S d'aire strictement supérieure à celle d'un disque de même périmètre ne peut exister.
* Toute surface S possède une aire plus petite que celle du disque de même périmètre. L'égalité n'a lieu que si la surface S est elle aussi un disque :
Il ne reste plus qu'à étudier le cas de l'égalité. La preuve précédente montre qu'il existe bien au moins une surface d'aire optimale pour un périmètre donné, le disque. La démonstration de Steiner montre que, si une telle surface existe, elle est nécessairement un disque.
* L'enveloppe E contient la surface S :
thumb|right
On raisonne par l'absurde et on suppose l'existence d'un point Q de S qui ne soit pas élément de E. La figure illustrative est à droite, la surface E est celle sur fond rouge. La convexité de S met en évidence une absurdité. On utilise un théorème indiquant qu'il existe une droite d'appui pour chaque point de la frontière d'un convexe. C'est-à-dire une droite passant par le point frontière et séparant le plan en deux demi-plans dont l'un est fermé. Ce demi-plan fermé contient l'intégralité du convexe.
Soit M un point de l'intérieur du polygone P. On considère le segment d'extrémité Q et M. Ce segment croise la frontière du polygone et il existe une arête AB dont l'intersection avec le segment QM est non vide. Ce point d'intersection ne peut être un sommet. En effet, si ce point est un sommet, par exemple A, comme A est aussi un point frontière de S, il possède une droite d'appui, qui est nécessairement celle passant par Q et M car ces deux points sont éléments de S. Or, un voisinage de M est contenu dans l'intérieur du polygone et donc dans celui de S, ce voisinage contient des points de chaque côté de la droite, ce qui est impossible.
Considérons la frontière du convexe S entre A et B, en bleu sur la figure ; elle traverse la droite QM. Soit C le point d'intersection, par construction du polygone P, le point C est à une distance inférieure à ε de A et se trouve dans E, à la différence de Q qui n'est pas élément de E, ces deux points sont donc différents. Le point C est un point frontière du convexe S, il possède une droite d'appui. Le même argument que celui utilisé précédemment montre que cette droite d'appui est nécessairement celle passant par Q et M. Or, on a vu qu'une telle droite ne peut être une droite d'appui. (fr)
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