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- En géométrie, la somme de Minkowski est une opération sur les parties d'un espace vectoriel. À deux parties A et B elle associe leur ensemble somme, formé des sommes d'un élément de A et d'un élément de B : . La somme de deux compacts est compacte. Il est ainsi possible de restreindre l'opération à cet ensemble, qui peut être muni d'une distance, dite de Hausdorff. La somme de Minkowski est alors une opération continue. De plus elle respecte les convexes, c'est-à-dire que la somme de deux convexes est encore convexe. La mesure de la somme de deux convexes vérifie une majoration, dite inégalité de Brunn-Minkowski. La somme de Minkowski intervient dans de nombreux domaines des mathématiques pures ou appliquées. Cet outil est à la base de nombreuses démonstrations de théorèmes isopérimétriques, visant à déterminer la partie de l'espace de plus vaste volume possible, la contrainte étant la donnée de la mesure de sa frontière. En géométrie euclidienne, on trouve les sphères de dimension n. La somme de Minkowski intervient aussi pour le comptage du nombre de face d'un polyèdre, résoudre des questions de pavages ou encore pour étudier la géométrie des convexes. Ils sont appliqués par exemple en cristallographie pour des raisons de pavages d'espace, en économie pour optimiser les productions possibles d'un groupe d'entreprises, ou encore pour étudier les mélanges. (fr)
- En géométrie, la somme de Minkowski est une opération sur les parties d'un espace vectoriel. À deux parties A et B elle associe leur ensemble somme, formé des sommes d'un élément de A et d'un élément de B : . La somme de deux compacts est compacte. Il est ainsi possible de restreindre l'opération à cet ensemble, qui peut être muni d'une distance, dite de Hausdorff. La somme de Minkowski est alors une opération continue. De plus elle respecte les convexes, c'est-à-dire que la somme de deux convexes est encore convexe. La mesure de la somme de deux convexes vérifie une majoration, dite inégalité de Brunn-Minkowski. La somme de Minkowski intervient dans de nombreux domaines des mathématiques pures ou appliquées. Cet outil est à la base de nombreuses démonstrations de théorèmes isopérimétriques, visant à déterminer la partie de l'espace de plus vaste volume possible, la contrainte étant la donnée de la mesure de sa frontière. En géométrie euclidienne, on trouve les sphères de dimension n. La somme de Minkowski intervient aussi pour le comptage du nombre de face d'un polyèdre, résoudre des questions de pavages ou encore pour étudier la géométrie des convexes. Ils sont appliqués par exemple en cristallographie pour des raisons de pavages d'espace, en économie pour optimiser les productions possibles d'un groupe d'entreprises, ou encore pour étudier les mélanges. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- Ici, E désigne un espace euclidien de dimension n.
:* Si P est un polyèdre compact et convexe de E, la fonction qui à associe la mesure μ est un polynôme homogène de degré n :
Notons M cette mesure. M est la somme de la mesure μ et de la croute ajoutée par la somme de t.B. Le terme associé à la mesure de μ est une constante que multiplie sn.
Sur chaque face, on trouve un hypercube Hi1 de dimension n, de base la face en question et de hauteur t de dimension n - 1 et de mesure le produit d'une constante et de sn-1. Chacune de ces faces contribue au volume μ sous la forme d'une expression linéaire en sn-1.t.
Entre ces hypercubes, on trouve des interstices Hj2, ayant la forme d'un prisme, d'arête l'intersection de deux faces, et de dimension n - 2, dont la mesure est le produit d'une constante avec sn-2 et de côtés deux faces d'hypercubes Hi1 ayant une arête de longueur t, le sommet un composé du produit d'un disque de rayon t et d'un hypercube isomorphe à l'arête. Ces prismes sont donc des portions de cylindre d'axe un hypercube de dimension n - 2 et de rayon r. Chacune de ces portions de cylindre contribue au volume μ sous la forme d'une expression en sn-2.t2.
Les arêtes de dimension n - 2 ont comme extrémités des hypercubes de dimension n - 3 qui laissent place à des interstices, laissée vacant par les solides Hi1 et Hj2. Ces interstices Hk3, sont remplis par des primes, d'arêtes les intersections des arêtes précédentes, sont de dimension n - 3 et de mesure le produit d'une constante et de sn-3. Ces primes correspondent à des portions de produit de boule de dimension 3 et d'hypercubes arêtes de dimension n - 3. Leur somme correspond à une expression en sn-3.t3.
On continue ainsi jusqu'à la dimension 1, l'intersection des arêtes est alors de dimension 0 et correspond à un point. L'interstice correspond à une portion de boule, dont l'expression est le produit d'une constante par tn.
Le terme en sn correspond à la mesure de P, celui en sn-1.t à la mesure de la surface de P. Si s est égal à 0, on remarque que le volume est celui d'une boule de rayon t, la constante est celle associée au volume n dimensionnel d'une sphère.
:* Si C est un compact, convexe non vide de E, la fonction qui à associe la mesure μ est un polynôme homogène de degré n :
Soit une suite décroissante de polyèdres convexes dont la limite, au sens de Hausdorff, est égale à C. Le paragraphe ensemble dense de l'article Distance de Hausdorff montre qu'une telle suite existe. Soit Pp le polynôme homogène de degré n qui à associe μ, l'objectif est de montrer que la suite converge simplement.
La suite est une suite de compacts, décroissante pour l'inclusion, elle est nécessairement convergente au sens de Hausdorff, montrons que la limite est égale à s.C + t.B. Tout ensemble de la suite contient s.C + t.B, la limite contient donc cet ensemble. Réciproquement si y n'est pas élément de s.C + t.B, il existe un nombre réel strictement positif ε tel que la boule de centre y et de rayon ε ait une intersection nulle avec s.C + t.B car cet ensemble est fermé. On en déduit que tout élément de s.Cn est à une distance supérieure à t + ε de y. Si s n'est pas nul, cela signifie aussi que y est à une distance supérieure à /s de C. À partir d'un certain N, pour toute valeur de p plus grande que N, Cp est à une distance de y strictement supérieure à t/s, et s.Cp + t.B ne peut contenir y. Si s est nul, la suite s.Cp + t.B est constante égale à t.B et est trivialement convergente.
Comme la suite est une suite de compacts strictement décroissante, de limite s.C + t.B, et que la fonction μ est semi-continue supérieurement, la suite μ est convergente '. Ce qui signifie exactement que la suite converge simplement.
Chaque polynôme de la suite est un polynôme homogène de degré n, cette suite fait partie de l'espace vectoriel des polynômes à deux variables de degré inférieur à n et est de dimension finie. Sur cet espace, la topologie de la convergence simple est compatible avec l'addition et la multiplication externe, ce qui signifie que ces deux opérations sont continues. Or, sur un espace vectoriel réel de dimension finie, il n'existe qu'une topologie compatible avec ses deux opérations, '. Cette topologie est induite par n'importe quelle norme, par exemple celle de la convergence uniforme sur le disque de rayon r, où r désigne un nombre réel strictement positif. L'espace vectoriel des polynômes à deux variables homogènes et de degré n est complet pour cette norme, ce qui montre que la suite converge vers un polynôme P homogène de degré n.
Cette limite P est, par construction, la fonction qui à associe μ, ce qui démontre la proposition. (fr)
- Ici, E désigne un espace euclidien de dimension n.
:* Si P est un polyèdre compact et convexe de E, la fonction qui à associe la mesure μ est un polynôme homogène de degré n :
Notons M cette mesure. M est la somme de la mesure μ et de la croute ajoutée par la somme de t.B. Le terme associé à la mesure de μ est une constante que multiplie sn.
Sur chaque face, on trouve un hypercube Hi1 de dimension n, de base la face en question et de hauteur t de dimension n - 1 et de mesure le produit d'une constante et de sn-1. Chacune de ces faces contribue au volume μ sous la forme d'une expression linéaire en sn-1.t.
Entre ces hypercubes, on trouve des interstices Hj2, ayant la forme d'un prisme, d'arête l'intersection de deux faces, et de dimension n - 2, dont la mesure est le produit d'une constante avec sn-2 et de côtés deux faces d'hypercubes Hi1 ayant une arête de longueur t, le sommet un composé du produit d'un disque de rayon t et d'un hypercube isomorphe à l'arête. Ces prismes sont donc des portions de cylindre d'axe un hypercube de dimension n - 2 et de rayon r. Chacune de ces portions de cylindre contribue au volume μ sous la forme d'une expression en sn-2.t2.
Les arêtes de dimension n - 2 ont comme extrémités des hypercubes de dimension n - 3 qui laissent place à des interstices, laissée vacant par les solides Hi1 et Hj2. Ces interstices Hk3, sont remplis par des primes, d'arêtes les intersections des arêtes précédentes, sont de dimension n - 3 et de mesure le produit d'une constante et de sn-3. Ces primes correspondent à des portions de produit de boule de dimension 3 et d'hypercubes arêtes de dimension n - 3. Leur somme correspond à une expression en sn-3.t3.
On continue ainsi jusqu'à la dimension 1, l'intersection des arêtes est alors de dimension 0 et correspond à un point. L'interstice correspond à une portion de boule, dont l'expression est le produit d'une constante par tn.
Le terme en sn correspond à la mesure de P, celui en sn-1.t à la mesure de la surface de P. Si s est égal à 0, on remarque que le volume est celui d'une boule de rayon t, la constante est celle associée au volume n dimensionnel d'une sphère.
:* Si C est un compact, convexe non vide de E, la fonction qui à associe la mesure μ est un polynôme homogène de degré n :
Soit une suite décroissante de polyèdres convexes dont la limite, au sens de Hausdorff, est égale à C. Le paragraphe ensemble dense de l'article Distance de Hausdorff montre qu'une telle suite existe. Soit Pp le polynôme homogène de degré n qui à associe μ, l'objectif est de montrer que la suite converge simplement.
La suite est une suite de compacts, décroissante pour l'inclusion, elle est nécessairement convergente au sens de Hausdorff, montrons que la limite est égale à s.C + t.B. Tout ensemble de la suite contient s.C + t.B, la limite contient donc cet ensemble. Réciproquement si y n'est pas élément de s.C + t.B, il existe un nombre réel strictement positif ε tel que la boule de centre y et de rayon ε ait une intersection nulle avec s.C + t.B car cet ensemble est fermé. On en déduit que tout élément de s.Cn est à une distance supérieure à t + ε de y. Si s n'est pas nul, cela signifie aussi que y est à une distance supérieure à /s de C. À partir d'un certain N, pour toute valeur de p plus grande que N, Cp est à une distance de y strictement supérieure à t/s, et s.Cp + t.B ne peut contenir y. Si s est nul, la suite s.Cp + t.B est constante égale à t.B et est trivialement convergente.
Comme la suite est une suite de compacts strictement décroissante, de limite s.C + t.B, et que la fonction μ est semi-continue supérieurement, la suite μ est convergente '. Ce qui signifie exactement que la suite converge simplement.
Chaque polynôme de la suite est un polynôme homogène de degré n, cette suite fait partie de l'espace vectoriel des polynômes à deux variables de degré inférieur à n et est de dimension finie. Sur cet espace, la topologie de la convergence simple est compatible avec l'addition et la multiplication externe, ce qui signifie que ces deux opérations sont continues. Or, sur un espace vectoriel réel de dimension finie, il n'existe qu'une topologie compatible avec ses deux opérations, '. Cette topologie est induite par n'importe quelle norme, par exemple celle de la convergence uniforme sur le disque de rayon r, où r désigne un nombre réel strictement positif. L'espace vectoriel des polynômes à deux variables homogènes et de degré n est complet pour cette norme, ce qui montre que la suite converge vers un polynôme P homogène de degré n.
Cette limite P est, par construction, la fonction qui à associe μ, ce qui démontre la proposition. (fr)
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