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- En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation. Il fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres, les propriétés d’indépendance linéaire de certaines familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel, par exemple dans la formule de changement de variables dans les intégrales multiples. Comme pour de nombreuses opérations, le déterminant peut être défini par une collection de propriétés (axiomes) qu'on résume par le terme « forme multilinéaire alternée ». Cette définition permet d'en faire une étude théorique complète et d'élargir ses champs d'applications.Le déterminant peut aussi se concevoir comme une généralisation à l'espace de dimension n de la notion d'aire ou de volume orientés. Un domaine spécifique de l'algèbre est consacré à l'étude du déterminant et de ses généralisations : il s'agit de l'algèbre multilinéaire. (fr)
- En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation. Il fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres, les propriétés d’indépendance linéaire de certaines familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel, par exemple dans la formule de changement de variables dans les intégrales multiples. Comme pour de nombreuses opérations, le déterminant peut être défini par une collection de propriétés (axiomes) qu'on résume par le terme « forme multilinéaire alternée ». Cette définition permet d'en faire une étude théorique complète et d'élargir ses champs d'applications.Le déterminant peut aussi se concevoir comme une généralisation à l'espace de dimension n de la notion d'aire ou de volume orientés. Un domaine spécifique de l'algèbre est consacré à l'étude du déterminant et de ses généralisations : il s'agit de l'algèbre multilinéaire. (fr)
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- Déterminants (fr)
- Un outil pratique : le déterminant (fr)
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- Méthodes (fr)
- Méthodes (fr)
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- On introduit l'application qui à x1, ..., xn associe
:.
C'est une forme n-linéaire alternée et sa valeur sur les vecteurs de B, qu'on note , est justement le déterminant de la matrice représentative de u dans la base B.
La forme est donc proportionnelle au déterminant en base B, le rapport de proportionnalité se calculant en prenant l'image des vecteurs de B
:,
ce qui signifie, pour un n-uplet de vecteurs :
:.
Il reste à prouver que si B est une autre base de E, du, B est identique à du, B. Pour cela, on utilise la formule de changement de base dans les deux membres de . (fr)
- On introduit l'application qui à x1, ..., xn associe
:.
C'est une forme n-linéaire alternée et sa valeur sur les vecteurs de B, qu'on note , est justement le déterminant de la matrice représentative de u dans la base B.
La forme est donc proportionnelle au déterminant en base B, le rapport de proportionnalité se calculant en prenant l'image des vecteurs de B
:,
ce qui signifie, pour un n-uplet de vecteurs :
:.
Il reste à prouver que si B est une autre base de E, du, B est identique à du, B. Pour cela, on utilise la formule de changement de base dans les deux membres de . (fr)
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- Éditions Cépaduès (fr)
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- avec exercices (fr)
- cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés (fr)
- cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés (fr)
- avec exercices (fr)
- cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés (fr)
- cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés (fr)
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| prop-fr:texte
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- Le cas particulier n =0, correspondant à l'espace nul, demande donc le calcul du déterminant d'une famille de 0 vecteurs, c'est-à-dire d'une famille vide ; on prend par convention le déterminant égal à 1 dans ce cas. (fr)
- Le cas particulier n =0, correspondant à l'espace nul, demande donc le calcul du déterminant d'une famille de 0 vecteurs, c'est-à-dire d'une famille vide ; on prend par convention le déterminant égal à 1 dans ce cas. (fr)
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| prop-fr:titre
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- Algèbre linéaire (fr)
- Algèbre et analyse (fr)
- Algèbre linéaire et bilinéaire (fr)
- Cours de calcul différentiel (fr)
- Démonstration de ces deux propriétés (fr)
- Mathématiques L1 (fr)
- Algèbre linéaire (fr)
- Algèbre et analyse (fr)
- Algèbre linéaire et bilinéaire (fr)
- Cours de calcul différentiel (fr)
- Démonstration de ces deux propriétés (fr)
- Mathématiques L1 (fr)
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- Determinant (fr)
- Determinant (fr)
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- https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Debats-et-controverses/Divers/Dorier.pdf|titre=Lettre à Jean-Luc Dorier sur l'importance des déterminants (fr)
- https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Debats-et-controverses/Divers/Dorier.pdf|titre=Lettre à Jean-Luc Dorier sur l'importance des déterminants (fr)
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- Matrice/Déterminant (fr)
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- Déterminant (fr)
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- En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation. Il fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres, les propriétés d’indépendance linéaire de certaines familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel, par exemple dans la formule de changement de variables dans les intégra (fr)
- En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation. Il fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres, les propriétés d’indépendance linéaire de certaines familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel, par exemple dans la formule de changement de variables dans les intégra (fr)
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- Determinante (eu)
- Determinante (pt)
- Determinante (matemática) (es)
- Déterminant (mathématiques) (fr)
- Wyznacznik (pl)
- محدد (رياضيات) (ar)
- 行列式 (zh)
- Determinante (eu)
- Determinante (pt)
- Determinante (matemática) (es)
- Déterminant (mathématiques) (fr)
- Wyznacznik (pl)
- محدد (رياضيات) (ar)
- 行列式 (zh)
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