| dbo:abstract
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- En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant. La classe d'isométrie d'un espace métrique (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d'homéomorphie. Par exemple, un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géométrique des objets qu'une simple structure topologique ; ce qui n'a rien de surprenant, car la notion de distance entre deux points est centrale pour la géométrie usuelle. Le concept d'espace métrique a été formulé la première fois par le mathématicien français René Maurice Fréchet dans sa thèse soutenue en 1906. (fr)
- En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant. La classe d'isométrie d'un espace métrique (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d'homéomorphie. Par exemple, un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géométrique des objets qu'une simple structure topologique ; ce qui n'a rien de surprenant, car la notion de distance entre deux points est centrale pour la géométrie usuelle. Le concept d'espace métrique a été formulé la première fois par le mathématicien français René Maurice Fréchet dans sa thèse soutenue en 1906. (fr)
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| prop-fr:énoncé
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- L'ensemble est une topologie sur appelée la topologie engendrée par la distance . Cela signifie que
* L'ensemble vide ainsi que l'ensemble entier appartiennent à .
* L'ensemble est stable par union quelconque.
* L'ensemble est stable par intersection finie. (fr)
- Soit un espace métrique, et . On définit la boule ouverte et fermée, centrée en et de rayon de la manière suivante.
* Boule ouverte : .
* Boule fermée : .
On définit aussi la sphère centrée en et de rayon de la manière suivante.
* Sphère : . (fr)
- On utilise le vocabulaire suivant.
*Les éléments de sont appelés, les ouverts de .
*Les sous-ensembles de qui s'écrivent comme le complémentaire d'un ouvert, quant à eux, sont appelés les fermés de .
*Un ensemble est dit être un voisinage de si il existe un ouvert tel que . (fr)
- Un espace métrique est un couple où est un ensemble non vide et est une distance sur , c'est-à-dire une application qui vérifie les trois propriétés suivantes.
* Symétrie : .
* Séparation : .
* Inégalité triangulaire : . (fr)
- Soit une suite d'un espace métrique et .
*On dit que converge vers , ou que est la limite de , si
.
*On dit que est une valeur d'adhérence de si
.
*On dit que est une suite de Cauchy si
. (fr)
- L'ensemble est une topologie sur appelée la topologie engendrée par la distance . Cela signifie que
* L'ensemble vide ainsi que l'ensemble entier appartiennent à .
* L'ensemble est stable par union quelconque.
* L'ensemble est stable par intersection finie. (fr)
- Soit un espace métrique, et . On définit la boule ouverte et fermée, centrée en et de rayon de la manière suivante.
* Boule ouverte : .
* Boule fermée : .
On définit aussi la sphère centrée en et de rayon de la manière suivante.
* Sphère : . (fr)
- On utilise le vocabulaire suivant.
*Les éléments de sont appelés, les ouverts de .
*Les sous-ensembles de qui s'écrivent comme le complémentaire d'un ouvert, quant à eux, sont appelés les fermés de .
*Un ensemble est dit être un voisinage de si il existe un ouvert tel que . (fr)
- Un espace métrique est un couple où est un ensemble non vide et est une distance sur , c'est-à-dire une application qui vérifie les trois propriétés suivantes.
* Symétrie : .
* Séparation : .
* Inégalité triangulaire : . (fr)
- Soit une suite d'un espace métrique et .
*On dit que converge vers , ou que est la limite de , si
.
*On dit que est une valeur d'adhérence de si
.
*On dit que est une suite de Cauchy si
. (fr)
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| rdfs:comment
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- En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant. (fr)
- En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant. (fr)
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