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- Soit (M, g) une variété riemannienne connexe (sans bord).Le théorème de Hopf-Rinow dit que les propriétés suivantes sont équivalentes :
* Il existe un point m dans M pour lequel l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM.
* Pour tout point m dans M, l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM.
* La variété (M, g) est géodésiquement complète, c'est-à-dire que les géodésiques sont définies sur ℝ.
* L'espace M est complet pour la distance riemannienne.
* Les parties fermées et bornées sont compactes. En outre, dans cette situation, deux points quelconques a et b de M peuvent être reliés par une géodésique de longueur d(a, b). En particulier, l'application exponentielle (quelle que soit son origine) est surjective. Le théorème porte les noms de Heinz Hopf et de son étudiant (de) (1907-1979). Il admet une version plus générale dans le cadre des espaces de longueur. (fr)
- Soit (M, g) une variété riemannienne connexe (sans bord).Le théorème de Hopf-Rinow dit que les propriétés suivantes sont équivalentes :
* Il existe un point m dans M pour lequel l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM.
* Pour tout point m dans M, l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM.
* La variété (M, g) est géodésiquement complète, c'est-à-dire que les géodésiques sont définies sur ℝ.
* L'espace M est complet pour la distance riemannienne.
* Les parties fermées et bornées sont compactes. En outre, dans cette situation, deux points quelconques a et b de M peuvent être reliés par une géodésique de longueur d(a, b). En particulier, l'application exponentielle (quelle que soit son origine) est surjective. Le théorème porte les noms de Heinz Hopf et de son étudiant (de) (1907-1979). Il admet une version plus générale dans le cadre des espaces de longueur. (fr)
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- Soit (M, g) une variété riemannienne connexe (sans bord).Le théorème de Hopf-Rinow dit que les propriétés suivantes sont équivalentes :
* Il existe un point m dans M pour lequel l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM.
* Pour tout point m dans M, l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM.
* La variété (M, g) est géodésiquement complète, c'est-à-dire que les géodésiques sont définies sur ℝ.
* L'espace M est complet pour la distance riemannienne.
* Les parties fermées et bornées sont compactes. (fr)
- Soit (M, g) une variété riemannienne connexe (sans bord).Le théorème de Hopf-Rinow dit que les propriétés suivantes sont équivalentes :
* Il existe un point m dans M pour lequel l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM.
* Pour tout point m dans M, l'application exponentielle d'origine m est définie sur TmM.
* La variété (M, g) est géodésiquement complète, c'est-à-dire que les géodésiques sont définies sur ℝ.
* L'espace M est complet pour la distance riemannienne.
* Les parties fermées et bornées sont compactes. (fr)
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- Hopf–Rinow theorem (en)
- Satz von Hopf-Rinow (de)
- Stelling van Hopf-Rinow (nl)
- Teorema di Hopf-Rinow (it)
- Théorème de Hopf-Rinow (fr)
- Теорема Хопфа — Рінова (uk)
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