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- L'étude des espaces à courbure positive est un des domaines d'intérêt classiques en géométrie riemannienne. Pour une variété riemannienne (M,g), il existe plusieurs hypothèses courantes de positivité de la courbure, qui sont plus ou moins fortes et amènent des conséquences plus ou moins importantes. Sans autre précision, (M,g) est dite à courbure positive lorsque sa courbure sectionnelle est positive en tout point. En termes imagés, il s'agit d'« espaces courbes » tels qu'en chaque point, les géodésiques (lignes de plus court chemin) ont tendance à se rapprocher plus que dans l'espace euclidien. Mais on peut parler aussi par exemple d'espaces à courbure de Ricci positive, hypothèse qui se traduit géométriquement par une tendance des boules à être de volume plus faible que dans le cas euclidien, ... Contrairement à l'étude de la courbure négative pour laquelle des théorèmes essentiels ont été mis en place dès les dernières années du XIXe siècle, le domaine de la courbure positive a connu des résultats tardifs et se voit encore qualifié par Marcel Berger de mystère presque complet, même si c'est un champ très actif de recherche, renouvelé par les outils de l'analyse globale. (fr)
- L'étude des espaces à courbure positive est un des domaines d'intérêt classiques en géométrie riemannienne. Pour une variété riemannienne (M,g), il existe plusieurs hypothèses courantes de positivité de la courbure, qui sont plus ou moins fortes et amènent des conséquences plus ou moins importantes. Sans autre précision, (M,g) est dite à courbure positive lorsque sa courbure sectionnelle est positive en tout point. En termes imagés, il s'agit d'« espaces courbes » tels qu'en chaque point, les géodésiques (lignes de plus court chemin) ont tendance à se rapprocher plus que dans l'espace euclidien. Mais on peut parler aussi par exemple d'espaces à courbure de Ricci positive, hypothèse qui se traduit géométriquement par une tendance des boules à être de volume plus faible que dans le cas euclidien, ... Contrairement à l'étude de la courbure négative pour laquelle des théorèmes essentiels ont été mis en place dès les dernières années du XIXe siècle, le domaine de la courbure positive a connu des résultats tardifs et se voit encore qualifié par Marcel Berger de mystère presque complet, même si c'est un champ très actif de recherche, renouvelé par les outils de l'analyse globale. (fr)
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- Burkhard Wilking (fr)
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- conjecture de Hopf (fr)
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- Journal of Differential Geometry (fr)
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- Nonnegatively and Positively curved manifolds (fr)
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- Hopf conjecture (fr)
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- L'étude des espaces à courbure positive est un des domaines d'intérêt classiques en géométrie riemannienne. Pour une variété riemannienne (M,g), il existe plusieurs hypothèses courantes de positivité de la courbure, qui sont plus ou moins fortes et amènent des conséquences plus ou moins importantes. Sans autre précision, (M,g) est dite à courbure positive lorsque sa courbure sectionnelle est positive en tout point. En termes imagés, il s'agit d'« espaces courbes » tels qu'en chaque point, les géodésiques (lignes de plus court chemin) ont tendance à se rapprocher plus que dans l'espace euclidien. Mais on peut parler aussi par exemple d'espaces à courbure de Ricci positive, hypothèse qui se traduit géométriquement par une tendance des boules à être de volume plus faible que dans le cas eucli (fr)
- L'étude des espaces à courbure positive est un des domaines d'intérêt classiques en géométrie riemannienne. Pour une variété riemannienne (M,g), il existe plusieurs hypothèses courantes de positivité de la courbure, qui sont plus ou moins fortes et amènent des conséquences plus ou moins importantes. Sans autre précision, (M,g) est dite à courbure positive lorsque sa courbure sectionnelle est positive en tout point. En termes imagés, il s'agit d'« espaces courbes » tels qu'en chaque point, les géodésiques (lignes de plus court chemin) ont tendance à se rapprocher plus que dans l'espace euclidien. Mais on peut parler aussi par exemple d'espaces à courbure de Ricci positive, hypothèse qui se traduit géométriquement par une tendance des boules à être de volume plus faible que dans le cas eucli (fr)
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- Courbure positive (fr)
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